202X版高考數(shù)學大一輪復習第四章三角函數(shù)、解三角形4.7解三角形的實際應用課件理新人教A版

1、4.7解三角形的實際應用第四章三角函數(shù)、解三角形NEIRONGSUOYIN內容索引基礎知識 自主學習題型分類 深度剖析課時作業(yè)1基礎知識 自主學習PART ONE實際測量中的常見問題知識梳理ZHISHISHULIZHISHISHULI求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可達ACB，ADB，CDa解兩個直角三角形AB求水平距離山兩側ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河兩岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB河對岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC ；在BDC中，BC ；在ABC中，應用余弦定理求AB在實際測量問題中有哪

2、幾種常見類型，解決這些問題的基本思想是什么？提示實際測量中有高度、距離、角度等問題，基本思想是根據已知條件，構造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解決問題.【概念方法微思考】題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為 ()(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系.()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是 ()基礎自測JICHUZICEJICHUZICE123456題組二教材改編2.如圖所示，設A，B兩點

3、在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出A，C的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A，B兩點的距離為_m.123456又B30，3.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30，沿傾斜角為15的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60，則山高h_米.解析由題圖可得PAQ30，BAQ15，在PAB中，PAB15，又PBC60，BPA(90)(90)30，123456題組三易錯自糾4.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為A.10 m B.20

4、 mC.20 m D.40 m123456在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240 xcos 120，即x220 x8000，解得x20(舍去)或x40.故電視塔的高度為40 m.5.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60，C點的俯角是70，則BAC_.130解析6070130.1234566.海上有A，B，C三個小島，A，B相距5 海里，從A島望C和B成45視角，從B島望C和A成75視角，則B，C兩島間的距離是_海里.1234562題型分類深度剖析PART TWO題型一測量距離問題1.(2018營口檢測)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面

5、上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.解析如圖，OMAOtan 4530(m)，自主演練自主演練2.如圖，A，B兩點在河的同側，且A，B兩點均不可到達，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，若測得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，則A，B兩點間的距離為_ km.解析ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，在BCD中，DBC45，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB為公共邊，PABPQ

6、B，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900，P，Q兩點間的距離為900 m.3.如圖，為了測量兩座山峰上P，Q兩點之間的距離，選擇山坡上一段長度為300 m且和P，Q兩點在同一平面內的路段AB的兩個端點作為觀測點，現(xiàn)測得PAB90，PAQPBAPBQ60，則P，Q兩點間的距離為_ m.900求距離問題的兩個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.思維升華例1(2018赤峰測試)如圖，小明同學在山頂A處觀

7、測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，且BAC135，若山高AD100 m，汽車從B點到C點歷時14 s，則這輛汽車的速度約為_ m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據： )題型二測量高度問題師生共研師生共研22.6解析因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45，設這輛汽車的速度為v m/s，在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，(1)高度也是兩點之間的距離，其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的，基本思想是把要求的高度(某線段的長度)納入到一個可解的三角形中.

8、(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.思維升華跟蹤訓練1如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為，在塔底C處測得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，則山高CD_.解析由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD.題型三角度問題例2如圖所示，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得山頂P在北偏東15(BAC15)的方向，勻速向北航行20分鐘后到達B處，測得山頂P位于北偏東60的方向，此時測得山頂P的仰角為60，已知山高為 千米.(1)船的航行速度是每小時多少千米？師生共研師生共研(

9、2)若該船繼續(xù)航行10分鐘到達D處，問此時山頂位于D處南偏東多少度的方向？所以，山頂位于D處南偏東45的方向.解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角和方向角的含義.(2)分析題意，分清已知與所求，再根據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步.(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.思維升華跟蹤訓練2(2018襄陽模擬)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的A.北偏東10 B.北偏西10C.南偏東80 D.南偏西80解析由條件及圖可知，ACBA40，又BCD6

10、0，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80.3課時作業(yè)PART THREE1.(2018沈陽調研)已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得ABC120，則A，C兩地間的距離為解析如圖所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，AC10 .基礎保分練123456789101112131415162.如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15，向山頂前進100 m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45，若CD50 m，山坡對于地平面的坡度為，則cos 等于12345678910

11、1112131415163.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是解析如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，123456789101112131415164.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為A.30 B.45 C.60 D.75又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.12345

12、6789101112131415165.(2018呼和浩特質檢)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得BCD15，BDC30，CD30，并在點C測得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于解析在BCD中，CBD1801530135.12345678910111213141516故選D.6.(2018丹東模擬)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于12345678910111213141516解析如圖，ACD30，ABD75，AD60 m，12345678910111213141516

13、7.(2018烏海模擬)如圖，某工程中要將一長為100 m，傾斜角為75的斜坡改造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長_m.解析設坡底需加長x m，123456789101112131415168.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_.12345678910111213141516解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由BAC120，知ACB為銳角，由ACB30，得cos cos(AC

14、B30)123456789101112131415169.(2018阜新模擬)一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60，另一燈塔在船的南偏西75，則這艘船的速度是每小時_海里.10解析如圖所示，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10，在RtABC中，得AB5，1234567891011121314151610.(2018盤錦質檢)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC

15、走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米.12345678910111213141516解析如圖，連接OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC .11.如圖所示，經過村莊A有兩條夾角為60的公路AB，AC，根據規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米).記AMN.(1)將AN，AM用含的關系式表示出來；解AMN，在AMN中，由正弦定理，得12345678910111213141516(2)如

16、何設計(即AN，AM為多長時)，使得工廠產生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)?1234567891011121314151612345678910111213141516解AP2AM2MP22AMMPcosAMP當且僅當2150270，即60時，工廠產生的噪聲對居民的影響最小，此時ANAM2千米.12.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.(1)求漁船甲的速度；解依題意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在A

17、BC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.12345678910111213141516(2)求sin 的值.12345678910111213141516解在ABC中，因為AB12，BAC120，BC28，BCA，13.如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60 m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為_；塔BB1的高為_ m.45技能提升練123456

18、78910111213141516解析設從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角為，則AA160tan ，BB160tan 2.從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，12345678910111213141516AA1BB1900，3 600tan tan 2900，14.如圖，據氣象部門預報，在距離某碼頭南偏東45方向600 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450 km以內的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為_h.1512345678910111213141516解析記現(xiàn)在熱帶風暴中心的位置為點A，t小時后熱帶風暴中心到達B點位置，在OAB中，OA600，AB20t，OAB45，12345678910111213141516拓展