24線段的垂直平分線

1、線段的垂直平分線線段的垂直平分線本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.4觀察觀察 如圖如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)關(guān)于線段于線段CD所在的直線所在的直線l 對(duì)稱對(duì)稱，問(wèn)，問(wèn)線段線段CD所在的直所在的直線線l 與線段與線段AA有什么關(guān)系有什么關(guān)系？我發(fā)現(xiàn)我發(fā)現(xiàn)AD=A D lAA ., , 我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡(jiǎn)化得到下圖我們可以把人字形屋頂框架圖進(jìn)行簡(jiǎn)化得到下圖. 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線l 對(duì)稱，如果沿直線對(duì)稱，如果沿直線l折疊，折疊，則點(diǎn)則點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)A重合，重合，AD=AD，1=2= 90，即直線，即直線l 既平分線段既平分線段AA，又垂直線段

2、，又垂直線段AA.lAAD21(A) 我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的線段的垂直平分線垂直平分線. 由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸分線是它的對(duì)稱軸. 如圖，在線段如圖，在線段AB的垂直平分線的垂直平分線l 上任上任取一點(diǎn)取一點(diǎn)P，連接，連接PA，PB，線段，線段PA，PB之之間有什么關(guān)系間有什么關(guān)系？探究探究探究探究 作關(guān)于直線作關(guān)于直線l 的軸反射的軸反射（即沿直線即沿直線l 對(duì)折對(duì)折），由于，由于l 是線段是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合

3、. 從從而線段而線段PA與線段與線段PB重合，于是重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl結(jié)論結(jié)論 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等的距離相等.由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩我們知道線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，反過(guò)來(lái)，如果已知一點(diǎn)端的距離相等，反過(guò)來(lái)，如果已知一點(diǎn)P到線段到線段AB兩端的距離兩端的距離PA與與PB相等，那么點(diǎn)相等，那么點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上嗎的垂直平分線上嗎？（1）當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在線段在線段AB上時(shí)，上時(shí)，因?yàn)橐驗(yàn)镻A=PB，所以

4、點(diǎn)所以點(diǎn)P為線段為線段AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.（2）當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在線段在線段AB外時(shí)，如下圖所示外時(shí)，如下圖所示.因?yàn)橐驗(yàn)镻A=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.過(guò)頂點(diǎn)過(guò)頂點(diǎn)P作作PCAB，垂足為點(diǎn)，垂足為點(diǎn)C，從而底邊從而底邊AB上的高上的高PC也是底邊也是底邊AB上的中線上的中線.即即 PCAB，且，且AC=BC.因此直線因此直線PC是線段是線段AB的垂直平分線，的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)P也在線段也在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.結(jié)論結(jié)論 到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平

5、分線上直平分線上.由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：例例 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分線相交于點(diǎn)分線相交于點(diǎn)O，連接，連接OA，OB，OC. 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)O在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上.舉舉例例證明證明 點(diǎn)點(diǎn)O在線段在線段AB的垂直平分線上，的垂直平分線上， OA=OB.同理同理OB=OC. OA=OC. 點(diǎn)點(diǎn)O在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上.練習(xí)練習(xí)1. 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB的垂直平分線分別交的垂直平分線分別交 AB，BC于點(diǎn)于點(diǎn)D，E，B=30，BAC= 80， 求

6、求CAE的度數(shù)的度數(shù).答：答：CAE=50.2.已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段是線段AB外的兩點(diǎn)，且外的兩點(diǎn)，且 AC =BC，AD=BD，AB與與CD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O. 求證：求證：AO=BO.證明：證明： AC =BC，AD=BD，點(diǎn)點(diǎn)C和點(diǎn)和點(diǎn)D在線段在線段AB的垂直平分線上，的垂直平分線上， CD為線段為線段AB的垂直平分線的垂直平分線.又又 AB與與CD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)OAO=BO.做一做做一做如圖，已知線段如圖，已知線段AB，作線段，作線段AB的垂直平分線的垂直平分線. 根據(jù)根據(jù)“到線段兩端距離相等到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”，要

7、作線段要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵的垂直平分線，關(guān)鍵是找出到線段是找出到線段AB兩端距離相等的兩端距離相等的兩點(diǎn)兩點(diǎn). 因?yàn)榫€段因?yàn)榫€段AB的垂直平分線的垂直平分線CD與線段與線段AB的的交點(diǎn)就是線段交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以可以用這種方法的中點(diǎn)，所以可以用這種方法作出線段的中點(diǎn)作出線段的中點(diǎn).動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋如何過(guò)一點(diǎn)如何過(guò)一點(diǎn)P作已知直線作已知直線l的垂線呢的垂線呢？ 由于兩點(diǎn)確定一條直線，由于兩點(diǎn)確定一條直線， 因此我們可以通過(guò)在已知直線因此我們可以通過(guò)在已知直線上作線段的垂直平分線來(lái)找出上作線段的垂直平分線來(lái)找出垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已垂線上的另一點(diǎn)，從而確定已知直線的垂線知直線的垂線. 用尺規(guī)完成下列作圖用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要只保留作圖痕跡，不要求寫出作法求寫出作法）. .1. 如圖，在直線如圖，在直線l上求作一點(diǎn)上求作一點(diǎn)P，使，使PA= PB.練習(xí)練習(xí)2. 如圖，作出如圖，作出ABC的的BC邊上的高邊上的高. 如圖，在如圖，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直的垂直平分線交平分線交AB于點(diǎn)于點(diǎn)D，交邊，交邊AC于點(diǎn)于點(diǎn)E，BCE的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)等于18cm，則，則AC的長(zhǎng)等于（的長(zhǎng)等于（ ）.A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm中考中考 試題試題例例解析解析DE是是AB的垂直平分線，的垂直平分線，AE=BE( (