202X版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（第3課時(shí)）導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用課件文北師大版

1、第第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用課時(shí)導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式所以當(dāng)0 x2時(shí)，f(x)2時(shí)，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，又由(1)知xln x1(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，且等號(hào)不同時(shí)取得，規(guī)律方法1.證明不等式的基本方法：(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則任意xa，b，有f(a)f(x)f(b)，任意x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論.(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則任意xD，有f(x)M(或f(x)m).2.證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(

2、x)f(x)g(x)，證明F(x)g(x)max，則f(x)g(x)”證明不等式【例2】 已知函數(shù)f(x)xln xax.(1)解函數(shù)f(x)xln xax的定義域?yàn)?0，).當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln xx，f(x)ln x2.當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取到，從而可知對(duì)一切x(0，)，都有f(x)G(x)，規(guī)律方法1.在證明不等式中，若無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，則可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題.2.在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)ming(x)max恒成立.從而f(x)g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”.(1)求f(x)的極值；(2)求證：對(duì)任意x1，x2(

3、0，)，都有f(x1)g(x2).(1)解依題意得f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，知f(x)在(，1)和(1，)上是減函數(shù)，在(1，1)上是增函數(shù)，所以f(x)極小值f(1)3，f(x)極大值f(1)1.(2)證明易得x0時(shí)，f(x)最大值1，注意到h(1)0，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0；當(dāng)0 x1時(shí)，h(x)0，即h(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，h(x)最小值h(1)1，即g(x)最小值1.綜上知對(duì)任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).考點(diǎn)三不等式恒成立或有解問(wèn)題 多維探究角度1不等式恒成立求參數(shù)所以(x)(0)0，故sin xax0，故(

4、x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，且(0)0，從而(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sin xax0恒成立，這與sin xax0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，所以g(x)是增函數(shù)，所以g(x)g(1)2，故k2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，2.角度2不等式能成立求參數(shù)的取值范圍【例32】 已知函數(shù)f(x)x2(2a1)xaln x(aR).(1)若f(x)在區(qū)間1，2上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)函數(shù)g(x)(1a)x，若存在x01，e使得f(x0)g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)由題意知，不等式f(x)g(x)在區(qū)間1，e上有解，即x22xa(ln xx

5、)0在區(qū)間1，e上有解.因?yàn)楫?dāng)x1，e時(shí)，ln x1x(不同時(shí)取等號(hào))，xln x0，因?yàn)閤1，e，所以x222ln x，所以h(x)0，h(x)在1，e上單調(diào)遞增，規(guī)律方法1.含參數(shù)的能成立(存在型)問(wèn)題的解題方法af(x)在xD上能成立，則af(x)min；af(x)在xD上能成立，則af(x)max.2.含全稱、存在量詞不等式能成立問(wèn)題(1)存在x1A，任意x2B使f(x1)g(x2)成立，則f(x)maxg(x)max；(2)任意x1A，存在x2B，使f(x1)g(x2)成立，則f(x)ming(x)min.解依題意，不等式f(x)0f(x)min0；任意xD，f(x)0f(x)max

6、0f(x)max0；存在xD，f(x)0f(x)min0)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立.(2)指數(shù)形式：exx1(xR)，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號(hào)成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：exx1x1ln x(x0，且x1).即x|x1，且x0，所以排除選項(xiàng)D.當(dāng)x0時(shí)，由經(jīng)典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，即x0或1x0時(shí)均有f(x)0，排除A，C，易知B正確.答案B則g(x)exx1，由經(jīng)典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g(0)0.所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).【例2】 (2017全國(guó)卷改編)已知函數(shù)f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0；所以f(x)在(0，a)單調(diào)遞減，在(a，)單調(diào)遞增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值點(diǎn).因?yàn)閒(1)0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，f(x)0，故a1.(2)證明由(1)知當(dāng)x(1，)時(shí)，x1ln x0.