2019年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：12.2總體期望值和方差的估計

1、12.2 總體期望值和方差的估計知識梳理1（ 1）如果有n 個數(shù)據(jù)x1， x2，xn，那么x= （ x1+x2+ +xn）叫做這n 個數(shù)據(jù)的平n均數(shù)， x讀作“ x拔” .（ 2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1 ， x2，xn 的各個數(shù)值較大時，可將各數(shù)據(jù)同時減去一個適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么，x= x +a.（3）加權(quán)平均數(shù)：如果在 n 個數(shù)據(jù)中，x1出現(xiàn)f1 次，x2出現(xiàn)f2次，xk出現(xiàn)fk次（f1+f2+fk=n） ，那么x1 f1x2 f 2xk fkx=.n2.方差的計算方法（ 1）對于一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn，s2=1 （ x1x） 2+（x2x） 2+（ x

2、nx） 2n叫做這組數(shù)據(jù)的方差，而s 叫做標(biāo)準(zhǔn)差.（ 2）公式s2= 1 （ x12+x22+ +xn2）nx2 .n（ 3） 當(dāng)一組數(shù)據(jù)x1， x2， ，xn中的各數(shù)較大時，可以將各數(shù)據(jù)減去一個適當(dāng)?shù)某?shù)a，得到x1=x1a，x2=x2a，xn=xna.則 s2= 1 （ x1 2+x2 2+ +xn 2）n x 2 .n3.總體平均值和方差的估計人類的長期實(shí)踐和理論研究都充分證明了用樣本的平均數(shù)估計總體平均值，用樣本方差估計總體方差是可行的，而且樣本容量越大，估計就越準(zhǔn)確.點(diǎn)擊雙基1 .描述總體離散型程度或穩(wěn)定性的特征數(shù)是總體方差，以下統(tǒng)計量估計總體穩(wěn)定性的是A. 樣本均值xB.樣本方差C

3、.樣本最大值D.樣本最小值解析：統(tǒng)計學(xué)的基本思想是用樣本來估計總體.因此選B.答案： B2 .甲、乙兩人在相同的條件下，射擊10 次，命中環(huán)數(shù)如下：甲：8，6，9，5，10，7， 4， 8，9， 5；乙：7，6，5，8，6，9， 6，8，7，7.根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計兩人的技術(shù)穩(wěn)定性，結(jié)論是A. 甲優(yōu)于乙B.乙優(yōu)于甲C.兩人沒區(qū)別D.兩人區(qū)別不大解析： x 甲 = 1 （ 8+6+ +5） =7.1 ， x 乙 = 1 （ 7+6+ +7） =6.9.1010s甲 2= 1 （ 8 7.1）102+ +（ 5 7.1） 2 =3.69，s乙2=1 （76.9）2+（76.9）2=1.29.10乙優(yōu)于

4、甲.答案： B3.樣本a1，a2，a3，a10的平均數(shù)為a，樣本b1，b2，b3，b10的平均數(shù)為b，那么樣本a1，b1， a2， b2，a10， b10的平均數(shù)為A. a +bB. 1 （ a+b）2C.2（ a+b）D. 1 （ a+b）10解析：樣本a1，a2，a3，a10中ai的概率為Pi，樣本b1，b2，b3，b10中 bi的概率為Pi ，樣本Pi=2qi，故樣本a1，b1，a2，b2，a3，b3，a1，b1，a2，b2，a3，b3，a10， b10中ai 的概率為qi， bi 的概率為qi，則a10， b10的平均數(shù)為a1q1+b1q1 +a2q2+b2q2 +a10q10+b10

5、q101（ a1P1+ +a10P10） +211（ b1P1 +b2P222+ + b10P 10）= （ a +b ） .答案： B4.電池廠從某日生產(chǎn)的電池中抽取10個進(jìn)行壽命測試，得到數(shù)據(jù)如下（單位：h） ： 30，35， 25， 25， 30， 34， 26， 25， 29， 21.則該電池的平均壽命估計為，方差估計為 .解析： x = 1 （ 30+35+25+25+30+34+26+25+29+21 ）10= 1 （ 0+5 5 5+0+4 4 5 1 9） +30=28，10s2=1 （3028）2+（3528）2+（2528）2+（2528）2+（3028）2+（3428）2

6、+1026 28） 2+（ 25 28） 2+（ 29 28） 2+（ 21 28） 21= 1 （ 4+49+9+9+4+36+4+9+1+49 ） =17.4.10答案： 28 17.4典例剖析1】 x是x1，x2，x100的平均數(shù)，a是x1，x2， x40的平均數(shù)，b 是x41，x42，x100的平均數(shù)，則下列各式正確的是60a 40bB.x=10040a 60bA. x =100C.x=a+bD. x=ab2剖析：這100 個數(shù)的平均數(shù)是a+b 還是 1 （ a+b） ，這都很容易讓人誤解.我們可以從概2率及加權(quán)平均數(shù)的角度來思考.設(shè)Pi是x1，x2，x100中xi被抽到的概率，qi是

7、x1，x2，x40中xi被抽到的概率，ri是x41，x42，x100中xi被抽到的概率，則Pi= 40qi，Pi=60 ri.故x1，x2，x100的平100100均數(shù) x = 40 ( x1q1+x2q2+ +x40q40) + 60 ( x41r41+ +x100r100) = 40 a+ 60 b.答案： A評述：除上述解法外，你還有其他解法嗎？特別提示除了上述方法外，我們還可以先分別求出x1+x2+ +x40=40a， x41+x42+ +x100=60b，再求 x.【例2】甲、乙兩名射擊運(yùn)動員參加某大型運(yùn)動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5 次，成績?nèi)缦卤?單位：環(huán))甲108999乙101

8、0799如果甲、乙兩人只有1 人入選，則入選的應(yīng)是.剖析：判斷誰入選，首先應(yīng)考慮選手的成績是否穩(wěn)定.因此分別求其方差.甲的平均數(shù)為x1= 1 ( 10+8+9+9+9) =9，5乙的平均數(shù)為x2= 1 ( 10+10+7+9+9) =9，5甲的方差為s甲=(109)2× 1+( 89)2×1 = 2 ，555乙的方差為s乙=(109)2× 1× 2+(79)2× 1 =6 .555s乙 > s甲 ，說明乙的波動性大，故甲入選.答案：甲評述：方差的大小可看出成績的穩(wěn)定性，平均數(shù)的大小可看出成績的高低.【例3】 某班 40 人隨機(jī)分為兩組，第

9、一組18 人，第二組22 人，兩組學(xué)生在某次數(shù)學(xué)檢測中的成績?nèi)缦卤恚悍纸M平均成績標(biāo)準(zhǔn)差第一組906第二組804求全班的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差.剖析：代入方差公式s2= 1 ( x1 2+x22+ +xn2)n x2即可求得n解：設(shè)全班的平均成績?yōu)閤 ，全班成績的方差為s2，則 s1 = ( x1 +x2 + +x18 )18× 90 =36，18s22 = ( x192+x202 + +x402)22× 802 =16.22 x= 1 ( 90× 18+80× 22) = 169 =84.5，402s = ( x1+x2+x18)+(x19 +x20+x40

10、)40· x 40211692= 1 18×(36+8100) +22×(16+6400)40× 169 404= 1 ( 146448+141152 10× 1692)401=× 1990=49.75.40 s= 199 7.05.評述：平均成績應(yīng)為總成績除以總?cè)藬?shù)，而總成績可由每組成績之和求得.【例4】已知 c 為常數(shù)，s2=1 （ x1 x）2+（x2x）2+（xnx）2，sc2=1 （x1nnc）+（x2c）+（ xn c）.證明：s sc ，當(dāng)且僅當(dāng)c=x時，取“ =”.剖析：證明sc2 s2，可證明sc2 s2 0.因此應(yīng)

11、用方差公式進(jìn)行變形即可.證明：s2=1 （x1 x） 2+（xnx）2n= （ x1 +x2 + +xn ） n x ， nsc2= （ x1 c）2+（ x2c）2+ +（ xn c）2n= 1 （x12+x22+xn2）2c（ x1+x2+ +xn）+nc2，n2222 sc2 s2= x2 2c （ x1+x2+ +xn） +c2n= x 2 2c· x +c2=（ x c） 2 0. sc2 s2，當(dāng)且僅當(dāng)x =c 時取“ =” .評述：作差是比較大小的常用手段.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1 .一組數(shù)據(jù)的方差為s2，將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)都乘以2，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差是A. 1 s

12、2B.2s2C.4s2D.s22解析：由方差公式易求得新數(shù)據(jù)的方差為4s2.答案： C2.某班有48 名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70 分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實(shí)得80 分卻記為50 分，乙實(shí)得70 分卻記為100 分，更正后平均分和方差分別是B.70， 50D.65， 25A.70， 25C.70， 1.04解析：易得x沒有改變，x =70，而s2= 1 （ x12+x22+502+1002+ +x482）48 x2=75，48s2= 1 （ x12+x22+802+702+ +x482）48x248= 1 （ 75× 48+48 x2 12500+1

13、1300）48x248=751200=75 25=50.48答案： B3.甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5 年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2） ：品種第 1年第 2年第 3年第 4年第 5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)品比較穩(wěn)定的小麥品種是解析： x甲 = 1 （ 9.8+9.9+10.1+10+10.2 ） =10，5x乙 = 1 （ 9.4+10.3+10.8+9.7+9.8 ） =10，5s甲2=1 （9.810）2+（9.910）2+（10.110）2+（1010）2+（10.210）2=0.02，5s乙2=1 （9.410）2+

14、（10.310）2+（10.810）2+（9.710）2+（9.810）2=0.244.5所以，甲比乙穩(wěn)定.答案：甲4.為了科學(xué)地比較考試的成績，有些選拔性考試常常會將考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分，轉(zhuǎn)化關(guān)系式為Z= x x（其中 x 是某位學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，x是該次考試的平均分，s 是該次考試s的標(biāo)準(zhǔn)差，Z 稱為這位學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)分）.轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分后可能出現(xiàn)小數(shù)和負(fù)值，因此，又常常再將 Z 分?jǐn)?shù)作線性變換轉(zhuǎn)化成其他分?jǐn)?shù).例如某次學(xué)生選拔考試采用的是T 分?jǐn)?shù)，線性變換公式是T=40Z+60.已知在這次考試中某位考生的考試分?jǐn)?shù)是85 分，這次考試的平均分是70 分，標(biāo)準(zhǔn)差是25，則該考生的T 分?jǐn)?shù)為 .解析：由

15、已知Z= 85 70 =3 ，T=40× 3 +60=24+60=84. 故考生成績的T分?jǐn)?shù)為 84.2555答案： 845.已知兩家工廠，一年四季上繳利稅情況如下（單位：萬元）季度一二三四甲廠70508040乙廠55655565試分析兩廠上繳利稅的情況.解：甲、乙兩廠上繳利稅的季平均值分別為x甲 = 1 （ 70+50+80+40） =60， 4x乙 = 1 （ 55+65+55+65） =60；4甲、乙兩廠上繳利稅的方差為s 甲 2= 1 （7060）2+ （5060）2+（8060）2+（4060）2=250，4s 乙 2= 1 （5560）2+ （6560）2+（5560）2

16、+（6560）2=25.4經(jīng)上述結(jié)果分析，兩廠上繳利稅的季平均值相同，但甲廠比乙廠波動大，導(dǎo)致它們生產(chǎn)出現(xiàn)的差異大，乙廠不同季節(jié)的繳稅量比較接近平均值，生產(chǎn)穩(wěn)定，而甲廠不穩(wěn)定.培養(yǎng)能力6.某校從甲、乙兩名優(yōu)秀選手中選拔1 名參加全市中學(xué)生百米比賽，該校預(yù)先對這兩名選手測試了8 次，成績?nèi)缦卤恚哼x手成績（s）12345678甲12.112.21312.513.112.512.412.2乙1212.412.81312.212.812.312.5根據(jù)成績，請你作出判斷，派哪位選手參加更好，為什么？解： x甲 =12.4= x乙 ， s 甲 2=0.12， s 乙 2 0.10，甲、乙兩人的平均成績相

17、等，但乙的成績較穩(wěn)定，應(yīng)派乙選手參加比賽.7 .某農(nóng)場為了從三種不同的西紅柿品種中選取高產(chǎn)穩(wěn)定的西紅柿品種，分別在五塊試驗(yàn)0.5公頃，產(chǎn)量情況如下：品種產(chǎn)量（kg）12345121.520.422.021.219.9221.318.918.921.419.8317.823.321.419.120.9解：x1= 1 （ 21.5+20.4+ +19.9） =21 ，5x2= 1 （ 21.3+18.9+ +19.8） =21 ，5x 3= 1 （ 17.8+23.3+ +20.9） =20.5，5s1=0.756，s2=1.104，s3=1.901.由 x1=x2> x3，而s1<s

18、2<s3，說明第1 種西紅柿品種既高產(chǎn)又穩(wěn)定.8 .甲、乙兩臺機(jī)床在相同的條件下同時生產(chǎn)一種零件，現(xiàn)在從中各抽測10 個，它們的尺寸分別為（單位：mm） ：甲：10.210.110.9 8.9 9.910.3 9.7 10 9.910.1乙：10.310.49.6 9.9 10.110 9.8 9.7 10.210分別計算上面兩個樣本的平均數(shù)與方差，如果圖紙上的設(shè)計尺寸為10 mm，從計算結(jié)果看，用哪臺機(jī)床加工這種零件較合適？解： x甲 = 1 （ 10.2+10.1+ +10.1 ） =10，10x乙 = 1 （ 10.3+10.4+ +10） =10，10s甲2=1 （10.210）

19、2+（10.110）2+（10.1 10） 2 =0.03，10s乙2=1 （10.310）2+（10.410）2+（1010） 2 =0.06.10由上述結(jié)果分析，甲臺機(jī)床加工這種零件穩(wěn)定，較合適.探究創(chuàng)新9.有一個容量為100 的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：12.5，15.5）， 6； 15.5， 18.5） ，16； 18.5，21.5）， 18； 21.5，24.5）， 22； 24.5，27.5） ，20； 27.5， 30.5）， 10； 30.5，33.5） ， 8.（ 1）列出樣本的頻率分布表；（ 2）畫出頻率分布直方圖；（ 3）估計數(shù)據(jù)小于30.5 的概率 .（ ： （ 1）樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率12.5 15.560.0615.5 18.5160.1618.5 21.5180.1821.5 24.5220.2224.5 27.5200.2027.5 30.5100.1030.5 33.580.08合計1001.00（ 3）數(shù)據(jù)大于等于30.5 的頻率是0.08，小于30.5 的頻率是0.92.數(shù)據(jù)小于30.5 的概