史寧中教授解讀《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心概念

1、史寧中教授解讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心概念張丹：在新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中，一個(gè)非常重要的是把過去 的雙基也就是基礎(chǔ)知識和基本技能變成了四基，就是增加了 基本數(shù)學(xué)思想和基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。為什么要增加這后兩 基，它的價(jià)值在什么地方？史寧中：中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育或 者說是整個(gè)基礎(chǔ)教育特點(diǎn)是雙基，就是基礎(chǔ)知識和基本技能， 通常人們是這樣說的，基礎(chǔ)知識扎實(shí)，基本技能熟練?；A(chǔ) 知識指概念的記憶和命題的理解?；炯寄苤饕侵缸黝}的 技能和證明的技能，因此我們過去的這些教育對知識本身的 掌握應(yīng)該是沒問題的，而且做得很好，那還缺少什么呢？缺 少就是現(xiàn)在國家希望培養(yǎng)的人才，就是創(chuàng)新型人才。我們想 一下，一個(gè)創(chuàng)新型人才除了知

2、識之外，還需要一些什么東西 呢？我想主要是思維形式和思維方法，他想問題會不會創(chuàng)新 性的想，當(dāng)然還有一個(gè)創(chuàng)新意識問題。這些東西必須通過本 人參與的活動才能夠?qū)W得會，老師教是教不會的。我們先不 說創(chuàng)新型人才在第一個(gè)層次來講，比如說智慧，你說一個(gè)人 很聰明，他有智慧，表現(xiàn)在什么地方呢？表現(xiàn)在別人做不了 的時(shí)候，他能想辦法解決了，他就有智慧，他就聰明，比如 在解題過程中，甚至在玩的過程中，他有一個(gè)方案，或者在 做實(shí)驗(yàn)的過程中他有一個(gè)技巧，這些表現(xiàn)的是智慧，因此這 些東西是表現(xiàn)在過程之中的，而過程之中的東西只能通過過程培養(yǎng)，通過語言的闡述是不可能培養(yǎng)出來的，怎么思考問 題，怎么教也不行，他得自己去想一些

3、問題，他才可能想明 白。因此在這個(gè)意義上，沒有基本的活動經(jīng)驗(yàn)是不行的，基 本活動經(jīng)驗(yàn)就是教我們的孩子如何思考問題，最終要培養(yǎng)這 個(gè)學(xué)科的思維方法，更高的就是培養(yǎng)學(xué)科的直觀。因?yàn)閷τ?數(shù)學(xué)來說，所有的結(jié)果是看出來的，而不是證出來的，而如 何會看結(jié)果，完全是憑借經(jīng)驗(yàn)，憑借思維形式和思維方法， 所以現(xiàn)在在雙基基礎(chǔ)上變?yōu)樗幕谋举|(zhì)是想培養(yǎng)學(xué)生的思 維形式和思維方法，培養(yǎng)學(xué)生的智慧和創(chuàng)造力。張丹：我是不是可以這樣理解，一個(gè)創(chuàng)造型人才，或者創(chuàng)新 人才，實(shí)際上是兩方面，一方面需要具備知識和技能，但更 重要的是得有直觀，像您說的直觀，有一些思維方法，而這 個(gè)離不開我們的活動。史老師：你說得非常對。一個(gè)創(chuàng)新型人

4、才，簡約的說，還有 很多條件。大概是需要知識和思維，這兩個(gè)都是需要的，當(dāng) 還有創(chuàng)新的意識，創(chuàng)新的條件，那是額外的。張丹：就是對新增加的數(shù)學(xué)的基本思想和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，我覺得在小學(xué)可能非常重要的就是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，您能具體的 闡述一下數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，到底什么是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。史老師：就是老師創(chuàng)造一些背景，從頭徹尾的讓孩子思考問題， 從開始思考問題，這是很重要的。因?yàn)橐院笠獎?chuàng)造的話，開始階段就得能夠思考，要不然中途沒有人提示，是沒有辦法中途思考的。比如在小學(xué)階段這個(gè)問題是稍微難一點(diǎn)的，但是也是能夠做的，我舉例來說一下，如果想在課堂上完成這樣的教學(xué)，比如一個(gè)題目就是識別正方形，識別正方形有很多辦法，第一個(gè)可

5、以用眼睛看，但是眼睛看經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤，老師可以舉出很多例子，橫豎的例子，大家都知道，看豎的比橫的要長一些。張丹：小學(xué)差不多在1 、 2年級有這個(gè)情況，就是你把正方形這么擺他能認(rèn)出來，如果旋轉(zhuǎn) 45度很多孩子認(rèn)為它不是正方形。史老師：所以光靠眼睛看是不夠的，那最好的方法就是量一 量，量四個(gè)邊相等就是。你也可以讓學(xué)生嘗試，但是如果尺 的話，特別是沒有刻度的尺，現(xiàn)在中學(xué)義務(wù)教育階段尺規(guī)作 圖尺是沒有刻度的，沒有刻度的尺怎么辦呢？這樣的題給學(xué) 生提問題了，學(xué)生可以把正方形對折，但是對折得到的不一 定是正方形，對折得到的可能是長方形，那怎么辦，還得斜 過來折。所以這樣的時(shí)候，老師不要告訴學(xué)生怎么做，老師

6、 是啟發(fā)讓學(xué)生來做，我認(rèn)為這個(gè)就是重要的。比如還有角，比較兩個(gè)角的大小，你用量角器當(dāng)然可以，不 用量角器怎么辦，挪一下比，當(dāng)然可以了，還不讓挪過來比, 那學(xué)生就拿圓規(guī)畫一下，然后再量畫軌跡之間的長度來判斷 角的大小，這樣的思維我認(rèn)為才是有必要的，我認(rèn)為這個(gè)是 在課堂上能完成的教學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，就是培養(yǎng)孩子如何去想。 這里有一個(gè)很重要的問題，我現(xiàn)在在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有些老師有 一些問題，他組織學(xué)生活動，組織學(xué)生很好之后，他判斷學(xué) 生說得對和錯，還是看結(jié)果，這個(gè)教育在本質(zhì)上還是結(jié)果的 教育，不是過程，他應(yīng)該更多的判斷學(xué)生思考的過程，是不 是有道理，我一再強(qiáng)調(diào)，要培養(yǎng)思維方法，這個(gè)是很重要的。 但是更多的活動

7、可能是超生一堂課的活動，也可以。比如這回在課標(biāo)里舉的上學(xué)的問題，上學(xué)的時(shí)間問題。上學(xué) 的時(shí)間問題，老師不教孩子懂得這些道理很重要，首先要把 家里的表和學(xué)校的表對齊這樣的一些思維很重要的東西，就 是在我考慮問題的先決條件如何，這是很重要的問題，然后 把上課一個(gè)禮拜的上課時(shí)間拿來，有一些數(shù)據(jù)，在這些數(shù)據(jù) 里面你能得到什么結(jié)果，老師要啟發(fā)孩子，但是一定要孩子 得到一些結(jié)果。比如最多我需要多長時(shí)間，最少需要多長時(shí) 間，或者平均需要多長時(shí)間，讓孩子們在數(shù)據(jù)中能夠得到日 常生活中的很多信息，這樣也是一種思維形式和思維的方法， 這樣的課在小學(xué)階段，我非常知道我們的老師們很有創(chuàng)造力， 有了一些想法之后，可以能

8、夠創(chuàng)造出很多教學(xué)情景，完成這 樣的教學(xué)。張丹：聽了您這段話，我覺得對經(jīng)驗(yàn)可能跟原來認(rèn)識又不一 樣了，原來經(jīng)驗(yàn)可能更多講的是學(xué)生經(jīng)歷一點(diǎn)事情，這是重 要的，但是現(xiàn)在我覺得經(jīng)驗(yàn)非常重要的是思考。史老師：你可千萬別是解題的經(jīng)驗(yàn)、理解的經(jīng)驗(yàn)。張丹： 特別是你提到思考有這么幾個(gè)，一個(gè)是從頭開始思考，所以課標(biāo)在原來的分析問題和解決問題的基礎(chǔ)上特別明確提出要發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。史老師：這是很重要的。一個(gè)所有創(chuàng)造，連問題都發(fā)現(xiàn)不了 創(chuàng)造什么呢，所以這個(gè)要從小培養(yǎng)，經(jīng)驗(yàn)的積累是日積月累 的，不見效，見效很慢，所以這個(gè)時(shí)候老師可能不愿意這么 教，但是為了國家，為了培養(yǎng)孩子，你必須這么做。我想從 小學(xué)到初中甚至到高

9、中，一直在這么教，那可能中國基礎(chǔ)教 育就會改變面貌。張丹：另外您提到那句話，如果想培養(yǎng)學(xué)生去思考，老師也要跟著學(xué)生一起思考。這點(diǎn)我覺得特別重要。我們第二個(gè)非常關(guān)注的問題就是在新課程標(biāo)準(zhǔn)中，進(jìn)一步明確了一些核心詞，比如說數(shù)感，符號意識，運(yùn)算能力，建模思想，空間觀念， 幾何直觀，推理能力，數(shù)據(jù)分析觀念還有就是創(chuàng)新意識，您能不能對這幾個(gè)核心詞中的幾個(gè)或者整體您給做進(jìn)一步的解釋。史老師：我想一個(gè)老師要講好課，首先要對整個(gè)課的前后關(guān) 系應(yīng)該非常的清楚，一步步的，你要教的知識在關(guān)系中處于 什么地位，這是第一步要清楚的。第二步是你說的核心詞， 這個(gè)是在知識以上的東西，這個(gè)要搞清楚。第三步老師要知 道教書的重

10、點(diǎn)和難點(diǎn)是什么。重點(diǎn)和難點(diǎn)是不一樣的，重點(diǎn) 是在知識過程中起關(guān)鍵作用的一些東西，難點(diǎn)是學(xué)生很難掌 握。如果這三個(gè)層次的東西都掌握清楚了，它教課就會很自 如了，剛才談的數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗(yàn)，只是上個(gè)層次的，現(xiàn)在正 好進(jìn)到下一個(gè)層次。像數(shù)感，數(shù)感這個(gè)東西主要是對小學(xué)而言的。數(shù)感，數(shù)是什么東西呢，數(shù)是從數(shù)量抽象而出來的，兩匹馬，兩頭牛抽象出2 ， 2 本身是不存在的，存在的是兩匹馬和兩頭牛，所以在孩子們突然接觸到抽象出來的東西之后，對數(shù)和現(xiàn)實(shí)生活中的表現(xiàn)應(yīng)該建立一個(gè)關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是很重要的，這個(gè)關(guān)系如何建立呢？你想數(shù)是從數(shù)量抽象出來的，數(shù)量的本質(zhì)是什么，數(shù)量的本質(zhì)是多和少，多和少動物肯定知道這個(gè)事，這個(gè)本

11、質(zhì)。一個(gè)狼來了，狗可以對付，來了一群狼它肯定跑，它就知道多和少，多和少抽象出數(shù)的關(guān)系變成了大和小，所以數(shù)的本質(zhì)是大和小。這個(gè)是很重要的。因此孩子們應(yīng)該感覺到這一點(diǎn)，地球和太陽之間的距離的時(shí)候用光年用多少， 談到家里到城市某一個(gè)地方去的話，用公里來談，談校內(nèi)的 情況可能就用幾百米來談，談教室的情況可能幾米，在桌上 可能是幾厘米，這個(gè)感覺應(yīng)該很清楚。這樣的話，突然出一 個(gè)東西跟你日常的感覺不對的話，你就會提出自己的觀點(diǎn)， 怎么會不對呢。所以我認(rèn)為這個(gè)就是數(shù)感，建立起抽象的數(shù) 和現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量之間的關(guān)系，并且能夠知道這個(gè)大小和現(xiàn)實(shí) 中的多少之間的關(guān)系，這個(gè)大概是數(shù)感很重要的本質(zhì)問題。張丹：另外在新課標(biāo)

12、中，或者在教材中，把估計(jì)也作為了培 養(yǎng)數(shù)感的一個(gè)非常重要的內(nèi)容。對于估計(jì)或者是估算這方面 您感覺它對人的價(jià)值是什么？史老師： 估計(jì)是非常重要的，對培養(yǎng)數(shù)感估計(jì)也是非常好的。估計(jì)和數(shù)的運(yùn)算有什么區(qū)別呢？估計(jì)的運(yùn)算腦子里一定要想到量感，好比你談到公里的時(shí)候，那就是小數(shù)點(diǎn)一位就足夠了，估算，甚至只要談到公里就可以了，不要談到米，但是你談到屋里的大小的時(shí)候，你就得談到米的單位，在米的單位下進(jìn)行運(yùn)算就可以了，厘米我可以不顧忌，但是在桌上畫的時(shí)候，那可以他到厘米的單位，再往毫米就不估計(jì)。這樣的運(yùn)算叫做估算，所以你在買東西的時(shí)候，一般的東西以元為單位，你就估計(jì)到元，如果買電器產(chǎn)品，以千元為單位，就估計(jì)到千元

13、。所以估算在本質(zhì)上還是一種基于對數(shù)量的運(yùn)算，而不是數(shù)理運(yùn)算。當(dāng)然在算的過程中是數(shù)，但是腦子里想的那些東西應(yīng)該是數(shù)量，就是有量剛的，這個(gè)是估算的本質(zhì)，要脫離了這個(gè)本質(zhì)，估算就沒有意義了。所以你先算完了之后再四舍五入，估算不是近似預(yù)算。張丹：現(xiàn)在也有些誤區(qū)很多老師把估算就像您說的教成了四 舍五入，或者讓學(xué)生脫離了背景去算，所以也造成了一些困 惑。那么我感覺就是數(shù)感的核心就是數(shù)量和數(shù)之間的關(guān)系的 理解或者是感悟。那您進(jìn)一步談?wù)劮栆庾R。它的核心，它 的本質(zhì)是什么？史老師：符號太重要了，沒有符號就沒有數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)上用數(shù)進(jìn)行的所有運(yùn)算都是個(gè)案，而數(shù)學(xué)要研究一般問題，一般問題只能通過符號來計(jì)算，因此在教

14、符號的時(shí)候，要注意兩件事情，第一件事情，符號可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和證明。第二件事情就是通過符號得到的結(jié)論是具有一般性的，2+3等于 3+2 ， 7+8等于8+7 ，你算出100個(gè)數(shù)都是個(gè)案，只有證明了A+B等于B+A才是具有一般性的，我想這是符號一個(gè)很重要的問題。張丹：從具體到一般，或者從個(gè)案到一般，是為了表達(dá)一般 的結(jié)論而得到的東西。那就是進(jìn)一步我們用符號去刻劃的過 程中，可能有兩個(gè)我覺得非常的重要，一個(gè)是符號之間的運(yùn) 算或者數(shù)之間的運(yùn)算，也就是運(yùn)算能力。另外我用符號解決 問題的過程中會產(chǎn)生一些模型，所謂建模思想。那就是運(yùn)算 能力和建模思想這兩個(gè)方面請您再進(jìn)一步談一談。史老師：運(yùn)算能力是很重

15、要的，但是運(yùn)算能力不是計(jì)算速度的快慢，現(xiàn)在很多地方非常強(qiáng)調(diào)計(jì)算的速度，其實(shí)不是重要的，一個(gè)是會算，第二個(gè)別算錯，這兩個(gè)是本質(zhì)的。會算不是靠死記硬背的會算，應(yīng)該懂得道理，運(yùn)算這個(gè)事情不懂得道理是不行的。事實(shí)上，現(xiàn)在為止，整個(gè)數(shù)學(xué)只有5種運(yùn)算， 加減乘除和極限，極限就是后來微積分這些東西了。運(yùn)算一開始都是從加法來的，它的逆運(yùn)算變成了減法，它的簡便運(yùn)算變成了乘法，除法又是乘法的逆運(yùn)算，因此這個(gè)事情必須掌握得非常的清楚，這樣的話為什么要先乘除后加減呢？老師講課總是說規(guī)定，為什么先算括號里后算括號外呢，是規(guī)定，為什么加法結(jié)合律為什么對減法也成立，是規(guī)定，為什么分配律對除法也成立呢，這些東西都是規(guī)定的話，

16、這個(gè)學(xué)生你除了靠大量的計(jì)算外，他很容易出錯的，比如為什么先乘除后加減呢？比如2加3乘 3 ，為什么是2加9等于 11 ， 為什么這樣呢，就是我剛才說的，乘法是加法的簡便運(yùn)算。2加3乘3是這個(gè)意思，就是2加3再加上 3再加上個(gè)3，如果是這樣的話，必須是2加9等于 11 ，他說不一定，規(guī)定的事情，我們老說規(guī)定，規(guī)定的事情有兩個(gè)可能，一個(gè)可能是這么也行，那么也行，比如數(shù)軸，我們規(guī)定向右，其實(shí)規(guī)定向左也行，交通必須往右側(cè)通行，左側(cè)通行也無所謂，但是這一點(diǎn)，大家規(guī)定得一樣，不一樣大家沒有共同語言了；還有一種規(guī)定事實(shí)上是一種合理的東西，為了把它說得更簡單一點(diǎn)就變化了規(guī)定。就像我剛才說的先乘除加減，實(shí)際上它

17、是合乎常理，為了把這個(gè)話說得更簡潔一些。所以我們在教學(xué)過程中，不應(yīng)該所有的都說規(guī)定，能講得還稍微講一下，孩子們明白了算理之后，就不容易錯了，靠死記硬背只有靠大量的練習(xí)沒有辦法，這樣就會造成孩子們課業(yè)負(fù)擔(dān)過重，所以這塊我認(rèn)為還是很重要的。剛才你跟我談到模型的問題，模型是一種數(shù)學(xué)很重要的東西，我基本理解模型是這樣的一種東西，并不是2X就是模型，甚至方程5X加3 等于 7就是模型，這不一定，它只是用來表示模型的一種工具。真正的模型應(yīng)該是這樣它闡述了現(xiàn)實(shí)世界或者是想象的一個(gè)故事，比如方程，故事在某一個(gè)量它倆是一樣的時(shí)候就把方程建立起來了，比如最典型的模型是什么，就是路程等于時(shí)間乘速度，這也是個(gè)模型，這

18、個(gè)模型知道了，列方程，好比甲乙，總是甲乙，一個(gè)人先走，一個(gè)人后走，倆人一塊走，有一個(gè)人到哪溜達(dá)半天再聚也行，都可以，但是有一點(diǎn)是必須達(dá)到的，要不然就是在距離上他倆相等，要不就是在時(shí)間上他倆相等，要不就是在速度上他倆相等，這個(gè)就是模型，把握故事的核心，他們在量上是等價(jià)的，所以可以構(gòu)建方程，這個(gè)我想是模型，要掌握成這樣，模型就不是很多了，這樣我們的教學(xué)就可以進(jìn)行得比較好。張丹： 這個(gè)我覺得也是比較有啟發(fā)的，原來我們對運(yùn)算能力，在小學(xué)要算快算對，實(shí)際上今天我們談到了不僅僅是，首先是算對，但同時(shí)背后的道理也很重要。模型給我們的啟發(fā)也是，像我們原來很多的應(yīng)用題，分了很多類型，其實(shí)本質(zhì)上 可能像您說，原來

19、有什么追擊問題，相遇問題，同向的，反 向的，但實(shí)際上它本質(zhì)上都是路程、時(shí)間、速度這樣的一種 關(guān)系。所以有人說，方程好象就是有用兩種不同的方式來講 一個(gè)故事，所以就畫出了等號。另外我發(fā)現(xiàn)在課標(biāo)中還有一 個(gè)很有意思的例子，新課標(biāo)關(guān)于雞兔同籠，它與我們原來的 處理很不一樣。原來在中學(xué)主要是用了二元一次方程組來處 理，在小學(xué)更多的是用所謂的假設(shè)兔子站起來，這種方法， 學(xué)生根本就想不到，但是課標(biāo)的處理和它不大一樣。史老師：對，課標(biāo)的例子是我想的，我就是想，孩子們?nèi)绾文軌虻玫焦健＿€是我一貫的思想。后來我覺得雞兔同籠，差兩腿太難了，變簡單點(diǎn)，把問題盡可能化簡，然后再一般化，這是基本思想。后來我就變成椅子和

20、凳子了，椅子是4個(gè)腿，凳子是3個(gè)腿。一共有16個(gè)椅子和凳子，一共有60個(gè)腿，問有幾個(gè)椅子和凳子。一般是可以講道理，讓孩子列公式，事實(shí)上不一定必須這么講，正常的數(shù)學(xué)想法就是你試一試，假如16個(gè)都是椅子的話會怎么樣，16個(gè)都是椅子的話，你發(fā)現(xiàn)64 個(gè)腿，腿多了，要減椅子加凳子，16個(gè)椅子加1個(gè)凳子，63個(gè)腿， 還是多，那么再減，這樣的話，孩子就能把結(jié)果得到，而且能夠把公式得到。這么樣，一個(gè)是啟發(fā)孩子如何一步步的思考問題，還有一個(gè)就是增加孩子學(xué)習(xí)的自信心。你看我多厲害，我公式都可以得到，所以這樣的教學(xué)我倒是認(rèn)為應(yīng)該嘗試一下，所以數(shù)學(xué)不一定都是從講道理開始的，因?yàn)榈览砗⒆觽儾灰欢苈牰?，但是你可以嘗試

21、，讓孩子在過程中琢磨出道理來。大不了就是多一個(gè)少一個(gè)差一個(gè)腿，把這個(gè)理悟出來的話，我甚為這個(gè)就是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)也好，也是數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)也好，我想就是這樣的。張丹：這個(gè)確實(shí)是挺有意思，因?yàn)槲易罱猜犃诉@樣的課，孩子真的能從試一試的的過程中發(fā)現(xiàn)很多規(guī)律，有的孩子開 始是一個(gè)一個(gè)的往下減，減減他如果發(fā)差的數(shù)量很大的話， 他會跳著。史老師：慢慢的他會自己想問題了。張丹：還有的孩子是從一半開始試，先看是往上走，還是往 下走。所以孩子確實(shí)就像您剛才說，我們把學(xué)生教的更加聰 明更加智慧。而不是僅僅的就是照著題來解題。還有就是我 曾經(jīng)也聽您說過，對于學(xué)生非常重要的是讓學(xué)生試一試，這 件事是非常重要的。史老師：事

22、實(shí)上，所有的重大的成果，都是試出來的，在一 個(gè)非常簡單的環(huán)境下，試出來的，然后在談在非常一般的情 況下會怎么樣。甚至可以這么說，很好的一些科學(xué)文章，你 看著很復(fù)雜，但是寫的人腦子里的東西是很簡單的，他只有 在很簡單的時(shí)候，才能夠清晰，才能夠嚴(yán)禁。張丹：另外在標(biāo)準(zhǔn)中，圖形這方面，提了兩個(gè)關(guān)鍵詞，一個(gè)是空間觀念，后來又增加了幾何直觀。就關(guān)于這兩個(gè)詞您覺 得它們的側(cè)重是什么？史老師：空間觀念主要是對小學(xué)來說。幾何直觀是對初中來 說，本質(zhì)是幾何直觀，剛才我談到了，要培養(yǎng)學(xué)科的直觀， 這個(gè)不光是數(shù)學(xué)，大概所有的學(xué)科都要培養(yǎng)學(xué)科的直觀，對 于數(shù)學(xué)來說，可以有代數(shù)的直觀，可以有幾何直觀，可以有 統(tǒng)計(jì)直觀，但

23、是代數(shù)的直觀非常的困難，統(tǒng)計(jì)的直觀也非常 的困難。沒有相當(dāng)?shù)挠?xùn)練是建立不起來的，最簡單的就是幾 何直觀，為什么因?yàn)閹缀沃庇^看得見摸得著。對小學(xué)的時(shí)候 不能對學(xué)生要求太高。這樣的話，知道一些方位?？臻g觀念 的核心不是一個(gè)點(diǎn)，而是兩個(gè)點(diǎn)。所以數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究是 關(guān)系，兩個(gè)點(diǎn)之間的方位關(guān)系是空間直觀。比如從這個(gè)點(diǎn)， 你猜我看在哪邊，其實(shí)這個(gè)比較難的，如果能這個(gè)想清楚， 這個(gè)孩子邏輯思維能力就挺強(qiáng)的，就是在你那看，我在什么 地方，這樣的思維如果都能達(dá)成的話，這個(gè)孩子邏輯思維能 力就很強(qiáng)，這里空間好象是一個(gè)直觀，其實(shí)有一個(gè)邏輯思維 能力，它們之間的關(guān)系。張丹：空間觀念不僅僅是簡單的視覺，是思考的邏輯，有

24、推 理在里面。那么自然的推理能力也是數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的東 西，過去我們可能對推理就是幾何證明，現(xiàn)在的推理還有在 課標(biāo)中有演繹推理，當(dāng)然演繹推理不僅僅局限在幾何，還有 一個(gè)以歸納為主的叫核心推理，或者叫什么，您對推理的歸 納和演繹之間您是怎么看的？史老師：首先我們得說什么要推理，推理是從一個(gè)命題判斷 到另一個(gè)命題判斷的思維過程。那么一個(gè)推理是不是有道理， 或者是一個(gè)推理是不是有邏輯的，就是應(yīng)該有一條主線能夠 把思維過程穿起來，那就是有邏輯的。這樣說話就沒有邏輯 了，蘋果是一種味道，蘋果是酸的，酸的是一種味道，那么 蘋果就是一種味道，這也是推理，這個(gè)推理不正確，所謂不 正確是沒有邏輯，為什么沒有邏

25、輯，沒有一條主線能夠把這 些穿起來，所以一個(gè)推理是否有邏輯的核心，就是一條主線 能夠從頭徹尾的命題判斷內(nèi)涵里有一個(gè)共同點(diǎn)，一直從頭徹 尾能夠貫徹下來，這是邏輯推理，就是有道理的推理。然后 有兩種情況，一個(gè)是命題的范疇由大到小推理，這個(gè)叫做演 繹推理。犯人都有死，這個(gè)命題很大，蘇格拉底是人，命題 小了，蘇格拉底又死了，這樣的，是這么包含下來的一種推理，這種推理永遠(yuǎn)不會錯，所以這種推理叫做演繹推理。還有一種推理是從小到大的推理，從小到大的推理是這樣的，蘇格拉底是人，蘇格拉底又死，柏拉圖是人，柏拉圖又死，亞里士多德是人，亞里士多德又死了，所以我推斷，犯人都有死，這個(gè)推理不一定是對的，因?yàn)樗菑男∶}

26、，你命題范圍大了，那些命題可能又不成立的，從小到大的推理，這個(gè)不一定是對的，不一定對的，但是是發(fā)現(xiàn)真理的辦法。就像我剛才舉的A平方減 1的，我才推到6，我就給公式給出來了，那這個(gè)公式很可能是錯的，不一定是對，然后再用演繹推理再證明一下，所以這兩個(gè)思維過程是極為重要的，一個(gè)是發(fā)現(xiàn)結(jié)果或者預(yù)測結(jié)果的方法，一種是你預(yù)測了結(jié)果是否正確的檢驗(yàn)方法。所以這兩個(gè)方法，如果你想培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，這兩個(gè)辦法都必須教，側(cè)重任何一個(gè)都是不對的。這里還有一個(gè)問題，就是演繹推理一開始因?yàn)闅W幾里得的原因，他證明的第一個(gè)幾何題是這么一個(gè)題，給一個(gè)長度，能夠根據(jù)這個(gè)長度，做一個(gè)等邊三角形，然后他用圓規(guī)在這畫一下，在這畫一下，一

27、連線，然后證明等邊三角形，用了等量的等量，還是等量的公理，他的證明形式就是說完之后括號是因?yàn)槭裁丛颍Y(jié)果后來證明都是這么證的，這么證不符合人的正常思維。所以我到是想， 初中的證明過程，孩子們只要思考的本身有邏輯的話，就應(yīng)該算對，不應(yīng)該過分的追求形式，形式不是主要的，還是實(shí)質(zhì)。證明的實(shí)質(zhì)是主要的。張丹：就是培養(yǎng)他能夠自始至終的有條理的思考是重要的，至于他用什么樣的形式表達(dá)，我覺得不一定要統(tǒng)一的形式。史老師：什么叫有條理，我想我也解釋了。張丹：在核心詞中，我覺得還有一個(gè)核心也是大家非常關(guān)注 的。在原來的課標(biāo)中把它叫做統(tǒng)計(jì)觀念，在新課標(biāo)中，把它 叫做數(shù)據(jù)分析觀念，可能大家就在思考，第一為什么要改個(gè)

28、 詞。第二個(gè)現(xiàn)在的數(shù)據(jù)分析觀念的一些實(shí)質(zhì)是什么。史老師：這個(gè)是非常核心的，現(xiàn)在在加了統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，統(tǒng)計(jì) 內(nèi)容我覺得加得是非常有必要的。我看到國外對中國義務(wù)教 育階段的培養(yǎng)一直贊賞的是加了統(tǒng)計(jì)，這個(gè)是很好的事情。 但是統(tǒng)計(jì)不能按數(shù)學(xué)那么教，因?yàn)樗某霭l(fā)點(diǎn)不一樣，數(shù)學(xué) 的出發(fā)點(diǎn)是公理或者假設(shè)。統(tǒng)計(jì)出發(fā)點(diǎn)是數(shù)據(jù)。所以我說一個(gè)講課的方法，你們看看這個(gè)區(qū)別在什么地方：拋一個(gè)硬幣，正面、反面?？赡軙鲞@樣的題，連續(xù)拋5個(gè)都是正面，第6個(gè)是正面的可能性是多大，答案還是二分之一，為什么是這樣，你假定了出現(xiàn)正面二分之一，是你假定的，你用假定的東西來進(jìn)行回答，那是數(shù)學(xué)，不是統(tǒng)計(jì)，要搞統(tǒng)計(jì)的話，連續(xù)出了 5個(gè)二分之一

29、，我就懷疑硬幣不是均勻的。所以你講課這么講，好比說一個(gè)袋子里有5個(gè)球， 4個(gè)白球，一個(gè)紅球，但是你并告訴學(xué)生，讓孩子摸，摸完之后， 因?yàn)榘浊虮燃t球多，最后你問孩子，白的多還是紅的多，通過這些數(shù)據(jù)，能夠知道一些什么，能夠得到一些信息，這些東西就叫做數(shù)據(jù)觀念，這是統(tǒng)計(jì)的基本思想。張丹：就相當(dāng)于從數(shù)據(jù)中去進(jìn)行一些推測或者說從數(shù)據(jù)中幫 助我們做一些決定，這是非常重要的。史老師：就是在數(shù)中含有信息，這個(gè)信息能夠?qū)ξ覀兊臎Q策提供參考。張丹：您說到這，讓我想起我在東北師范大學(xué)上學(xué)的時(shí)候， 在東北師大附小，把您的問題讓學(xué)生去做了。也是不告訴他 袋子里有多少個(gè)球，讓孩子們?nèi)ゲ麓永锸羌t的多還是白的 多，袋子就不

30、讓他打開。學(xué)生去摸，在摸的過程中，他確實(shí) 體會到，我多摸幾次，然后我看看摸出來的哪種多。而且特 別有意思，有一個(gè)孩子回答我印象很深刻，我后來問他這么 一個(gè)問題，說你們覺得這個(gè)游戲好不好玩，可能孩子覺得好 玩，但是也有孩子也提出了，你為什么不讓我們打開袋子來 看一看，就直接看就得了。后來我就把這個(gè)問題拋給孩子， 有一個(gè)孩子說如果球特別多的時(shí)候，不又允許我打開的時(shí)候 不能判斷，他又聯(lián)想，比如說我想知道池塘里有多少個(gè)魚， 我根本沒有辦法一個(gè)一個(gè)的打開看，所以我就可以從中撈一 個(gè)，看看里面是金魚多還是什么多，由此我推斷魚的比例。史老師：但是現(xiàn)實(shí)生活中，大部分我們不知道，我們還想知 道，但是這個(gè)例子是一開了。以后逐漸學(xué)得多了，他就要往 這方面走了。張丹：所以后來說，是不是也是屬于他的經(jīng)驗(yàn)。史老師：孩子有這樣的思考，千萬不要打擊孩子的積極性，就讓他這么想，有想象力是創(chuàng)造的基礎(chǔ)。張丹：我想從這個(gè)角度看統(tǒng)計(jì)，確實(shí)統(tǒng)計(jì)能夠激發(fā)人們?nèi)ゲ聹y，去創(chuàng)造很多東西。史老師： 統(tǒng)計(jì)在本質(zhì)是歸納。從特殊情況來預(yù)測一般的情況。這是典型的歸納的想法。張丹：另外我發(fā)現(xiàn)在數(shù)據(jù)分析觀念中還有一條，讓學(xué)生了解 到處理同一個(gè)問題，可能有不同的方法，這個(gè)問題是很多老 師不太習(xí)