十年真題-解析幾何-全國高考理科數學

1、真題2008-21 （ 12 分）雙曲線的中心為原點O ，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1， l 2，經過右焦點F 垂直于 l1的直線分別交l1， l2于 A， B 兩點已知OA、 AB 、 OB 成等差數列，且BF 與 FA同向（）求雙曲線的離心率；（）設AB 被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程2009-21 （ 12 分）如圖，已知拋物線E : y2 x與圓 M :（x4）2y2r2（r>0）相交于A、B、C、D 四個I ） 求 r 的取值范圍：（II）當四邊形ABCD 的面積最大時，求對角線A、 B、 C、 D 的交點 p 的坐標。2010-21 （12 分 ）已知拋物

2、線C : y2 4x 的焦點為F，過點K （ 1,0） 的直線 l 與 C 相交于 A、 B 兩點，點 A 關于 x 軸的對稱點為D .（）證明：點F 在直線BD上；（）設FA FB 8 ，求 BDK 的內切圓M的方程 .92011-20 （ 12 分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0,-1） ， B點在直線y = -3 上，M點滿足 MB/OA， MA?AB = MB?BA， M點的軌跡為曲線C。（）求C的方程；（） P為 C上的動點，l 為 C在 P點處得切線，求O點到 l 距離的最小值。2012-20 （ 12 分）設拋物線C : x2 2py（ p 0）的焦點為F ，準 線為 l

3、 ， A C ， 已知以 F 為圓心，FA為半徑的圓F 交 l 于 B,D 兩點；（ 1）若 BFD 900， ABD 的面積為4 2；求 p 的值及圓F 的方程；（ 2）若A, B,F 三點在同一直線m上，直線n與 m平行，且n與 C 只有一個公共點，求坐標原點到m, n 距離的比值。2013-21 （12 分 ）22已知雙曲線C：x2y2=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為3，直線yab 2 與 C 的兩個交點間的距離為6 .（1）求 a， b；（2）設過F2的直線l 與 C的左、右兩支分別交于A， B兩點，且| AF1| | BF1| ，證明：| A

4、F2| ，| AB| ， | BF2| 成等比數列2014-20A（0，2），橢圓E：x2y2 =1 （a>b>0）的離心率為3 ， F 是橢圓ab2E 的右焦點，直線 AF 的斜率為2 3 ， O 為坐標原點.3（1）求 E 的方程；（2）設過點 A的動直線l 與 E 相交于 P， Q 兩點，當 OPQ 的面積最大時，求l 的方程 .2015-20.（ 12 分 ）2C:y x在直角坐標系xoy中，曲線4 與直線 y kx a a 0 交于 M ,N 兩點，（ ）當 k 0時，分別求C 在點 M 和 N 處的切線方程；（ ） y軸上是否存在點p，使得當k 變動時，總有OPM OP

5、N ？說明理由2016-20. （ 12 分）設圓x2y2 2x 15 0 的圓心為A，直線l 過點B（1,0）且與x軸不重合，l 交圓 A于C，D 兩點，過B 作 AC 的平行線交AD 于點 E.（ I ）證明EA EB 為定值，并寫出點E 的軌跡方程；（ II）設點E的軌跡為曲線C1，直線l 交 C1 于 M,N 兩點，過B 且與 l 垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.2017-20 ( 12 分)22C： x ya2b21(a b 0)，四點P1 (1,1)， P2(0,1)， P31, 323P4 1, 3 中2恰有三點在橢圓C上（ 1 ）求C 的方程；（

6、2）設直線 l 不經過P2點且與C相交于A，B 兩點 若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明： l 過定點答案2008-21OA m d ， AB m ， OB m d(m d)2 m2 (m d)21bAB 4得： dm ， tan AOF ， tan AOB tan 2 AOF434aOA 3b1, 則離心率ea2ax2y2F 直線方程為y （x c） ,與雙曲線方程221 聯(lián)立ba2b2158 5將 a 2b， c 5b代入，化簡有152 x2 8 5 x 21 01a將數值代入，有45b(x1 x2 )2 4x1x24b2b32 5b 228b24,解得b 315522故所求的雙

7、曲線方程為x y 1 。3692009-21I) 這一問學生易下手。將拋物線E : y2x與圓 M : (x 4)2 y2 r2(r 0)的方程聯(lián)立，消去y2，整理得x2 7x 16 r2 0拋物線 E : y2x與圓M :(x 4)2 y2 r2(r 0)相交于 A、 B 、 C 、 D 四個點的充要條件是：方程 ()有兩個不相等的正根即可.易得r (,4).考生利用數形結合及函數和方程的思想來處理也可以II)考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點設四個交點的坐標分別為A(x1, x1)、 B(x1,x1)、 C(x2,

8、x2)、 D(x2, x2)。215則由(I)根據韋達定理有x1 x2 7, x1x2 16 r ， r (,4)則 S212|x2x1|(x1x2 )|x2x1|(x1x2)S2( x1x2)24x1x2(x1x22x1x2)(7 2 16r2)(4 r2 15)令 16 r2 t，則S2(7 2t)2(7 2t) 下面求S2的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它的主要手段是配湊系數或常數，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。221S2 (72t)2(72t)(7 2t)(7 2t)(14 4t)21 7 2t 7 2t 14

9、 4t2(3128 3)3( )3237 2t 14 4t， 即 t 7時取最大值。經檢驗此時r ( 15 ,4) 滿足題意。方法二：利用求導處理，這是命題人的意圖。具體解法略。P 的坐標。設點P 的坐標為：P(xp ,0)A、 P、 C 三點共線，則x1x2x1x1 x2x1 xp得 xpx1x2t2010-21設 A(x1,y1) ， B(x2, y2)， D(x1, y1 )， l 的方程為x my 1(m 0) .x my 1 代入 y2 4x并整理得2y 4my 4 0從而y1 y2 4m, y1 y2 4直線BD的方程為y2 y1y y2(x x2)x2 x14y22即 y y2(

10、x 2 )y2 y14令 y0，得xy1 y214所以點 F(1,0) 在直線 BD上2x1 x2 (my1 1) (my2 1) 4m 2 x1x2 (my1 1)(my2 1) 1.uuruurFA (x1 1,y1), FB (x2 1,y2)，uur uurFA FB (x1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1 x2) 1 4 8 4m2288 4m ，9解得m43所以 l 的方程為又由（）知y2 y1(4m)2 4 47故直線 BD的斜率BD的方程為3x 7y 3 0,3x 7y 3 0.KF為 BKD 的平分線，故可設圓心M (t,0)( 1 t 1)， M (t,0)

11、到 l 及 BD的距離分別為3t 1 3t 1,543t 13t 11 得t9t 9 （舍去） ，3t 12故 圓 M 的半徑r253所以圓M的方程為(x 1 )2 y2 4 .992011-20( ) 設 M(x,y), 由 已 知 得 B(x,-3),A(0,-1).所 以 MA-x,-1-y )MB =(0,-3-y), AB=(x,-2). 再 由 愿 意 得 知 ( MA + MB ) ? AB =0, 即( -x,-4-2y )?(x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y= 1 x2 -2.4( )設 P(x0,y 0)為曲線 C： y= 1 x2-2 上一點，因為 y'=

12、1 x, 所以 l 的斜率為1 x04221因此直線l 的方程為y y0x0(x x0)，即x0x 2y 2y0 x 0。2002則 O點到l 的距離 d |2y0x0 |. 又y01 x022，所以x02404 0x02=0時取等號，所以O點到 l 距離的最小值為2.2012-201 )由對稱性知：BFD 是等腰直角，斜邊 BD 2 p點 A 到準線 l 的距離 d FA FB 2 pS ABD 4 21 BD d 4 2 p 2圓 F 的方程為x a216 ，解得a2 1. (y 1)2 82)由對稱性設A(x0, x0 )(x0 0)，則 F(0, p)2p2點 A, B 關于點 F 對

13、稱得：B( x0 , p2 x02p2 x0 p2px02 3p23p p得： A( 3p,) ，直線2m:y22x p3px 3y3p p02x2 2py y2p3x p 切點3P(3p6p)直線 n : y p 63(xx 3y 3 p 06坐標原點到m, n 距離的比值為3p : 3p 3。262013-219 ，故b2 8a2c a2 b2(1)解：由題設知3，即2aa所以C的方程為8x2 y2 8a2.將y 2 代入上式，求得x a2 1所以a 1， b2 2 .(2)證明：由(1)知，F1( 3,0)， F2(3,0)， C的方程為8x2 y2 8.由題意可設l 的方程為yk(x3

14、)，k <2 2，代入并化簡得(k28)x26k2x9k280.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x11 ，x21，x1x26k229k2 82， x1 · x22k2 8k2 8于是| AF1| x1 3 2 y12 x13 28x128 (3x11)，| BF1| x23 2y22 x23 28x228 3x2 1.2由 |AF1| BF1| 得(3x11)3x21，即x1x2.2故 6k 2，解得k2 4，從而x1· x219 .k2 8359由于| AF2| x1 3 2 y12 x13 28x128 1 3x1，| BF2| x23 2y22 x23

15、28x228 3x2 1，故 | AB| | AF2| |BF2| 23(x1x2)4，| AF2|· |BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而| AF2| · | BF2| | AB| 2，所以 | AF2| ， | AB| ， | BF2| 成等比數列2014-20【測量目標】考查圓錐曲線方程的求法及圓錐曲線的性質【考查方式】根據條件寫出橢圓方程及一條直線與橢圓相交圍成面積最大時直線方程【試題解析】(1)設 F(c， 0)，由條件知，2 2 3 ，得c3.又 c 3 ，所以a 2，c3a22 222x 2b2=a2c2=1.故E 的方程為y21.(2)當lx 軸時

16、不合題意，故可設l：ykx2，42x 222P（ x1，y1 ） ，Q（x2，y2）.將ykx2 代入y 1 得 （1 4k ）x 16kx12=0 ，當8k 2 4k2 34k2 14223=16（4k2 3） 0，即k2 時，4從而 |PQ |k21 | x1x2| 4 k212?4k23.又點O到直線 l的距離d2.所4k2 1k2 12OPQ 的面積SOPQ d ·|PQ |.2 ，設4k23 t，則t>0，SOPQ 24k2 14t 4474t 4 . 因為t 4 4，當且僅當t 2，即k ±7 時等號成立，滿足>0，所以，t2 44 t2tt OPQ

17、 的面積最大時，k ± 7277l 的方程為yx 2 或yx 2.222015-20I)有題設可得 M （2 a,a）,N（ 2 a,a）,或 M（ -2 a,a） . 又y=2x 在x42a處的導數值為a ， C 在點(2 a, a)出的切線方程為2y x在 x 2a4y a a（ x 2 a 即） , a x y a 0a x y0 a所求切線方程為ax y a 0和ax y a 0存在符合題意的點，證明如下：設 P(0， b)為符合題意的點，M(x,y),N(x,y) 直線 PM， PN 的斜率分別為k1,k2y kx 代入a 的方程得 C 2 x4 kx4 a0. 故 x1

18、x2 4k, x1x2 4a.從而 kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0. 故 x1 x2 4k, x1x24a.從而k1 k2 y1 b y2 bx12kx1x2 (a b)(x1 x2)x2x1x2k(a b)ab=-a 時，有k1 k2 0,則直線 PM的傾角與直線PN的傾角互補，故OPM= OPN，所以點P(0,-a) 符合題意2016-20( I)圓心為A( 1,0) ，圓的半徑為AD 4 ， AD AC ，ADC ACD ，又 BE /AC ， ACD EBD ADC ，BE ED ， EA EB AD 4 .所以點 E的軌跡是以點A( 1,0) 和點 B(1,0)為焦點，

19、 以 4 為長軸長的橢圓， 即 a 2,c 1 b 3 ，2y 1.32所以點 E 的軌跡方程為：x4II)當直線l 的斜率不存在時，直線l 的方程為x 1 ， MN3，PQ 8，此時四邊形MPNQ 面積為 12；22l 的斜率存在時，設直線l 的方程為y k(x 1) ，與橢圓x y 1 聯(lián)立得：43(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0，設 M (x1,y1),N(x2,y2)，則x1x28k24k2 122 ， x1 x22 ，3 4k21 2 3 4k2MN1 k2 x1 x21 k2x1 x2)2 4x1x21 k28k2 24k2 12(3 4k2 )3 4k212(1 k2)23 4k21直線 PQ方程為 y (x 1)，即 x ky 1 0 k2所以圓心A( 1,0) 到直線PQ的距離為 d 2 ， PQ 2 16 d3 4k241 k2S四邊形MPNQ1MN PQ 21 12(1 k2)2 3 4k3 4k