2018屆高三數(shù)學(xué)(文理通用)不等式選講解題方法規(guī)律技巧詳細(xì)總結(jié)版

1、2018屆高三理科數(shù)學(xué)不等式選講解題方法規(guī)律技巧詳細(xì)總結(jié)版【簡介】不等式選講是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，也是選考內(nèi)容.從能力要求上看，主要考查學(xué)生了解不等式、應(yīng)用不等式的能力，分析問題和解決問題的能力.(1)考查含絕對(duì)值不等式的解法與含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的最值、恒成立問題；(2)考查了不等式的證明，會(huì)用綜合法，分析法等證明不等式，往往難度不大，加以適當(dāng)?shù)挠?xùn)練是完全可以掌握的 .13年高考試題比較】不等式選講內(nèi)容，在高考題中以選作的形式出現(xiàn)，難度一般不大，比較這三年的高考題，出現(xiàn)頻率較高的有：解絕對(duì)值不等式，作含絕對(duì)值的函數(shù)圖像，含參的絕對(duì)值恒成立有解問題，不等式證明，一般以分析法證明為主.【必備基礎(chǔ)知識(shí)

2、融合】1 .絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值白不等式| x|< a與| x|> a的解集不等式a>0a= 0a<0|x|<a(一 a, a)?|x|>a(一巴a) u (a, +oo)(8, 0) U (0 , +OO)R(2)| ax+ b| w c( c>0)和 | ax+ b| > c ( c>0)型不等式的解法 | ax+ b| < c? cw ax+ bw c； I ax+b| > c? ax + b"或 ax+bw c；(3)| x a| 十 | x b| >c(c>0)和 | x a| + |

3、 x- b| < c( c>0)型不等式的解法利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想2 .含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)(1)如果a, b是實(shí)數(shù)，則| a| | b| <|a±b| < | a| + | b| ,當(dāng)且僅當(dāng)abO時(shí),等號(hào)成立.(2)如果 a, b, c是實(shí)數(shù)，那么| a一 c| w | a b| + | b c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a b)( b c) -0時(shí)，等號(hào)成立3 .不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、

4、放縮法等(1)比較法求差比較法知道a>b? a- b>0, a<b? a- b<0,因此要證明a>b,只要證明ab>0即可,這種方法稱為求差比較法求商比較法由a>b>0? a>1且a>0, b>0,因此當(dāng)a>0, b>0時(shí)要證明a>b,只要證明g>1即可，這種方法稱為求商比較法.bb(2)分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等).這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推

5、理論證，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，即“由 因?qū)す钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法(4)反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式相反的假設(shè);第二步：從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立.4 .幾個(gè)常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a, b, c, d都是實(shí)數(shù)，則(a2 + b2)( c2 + d2)個(gè)(ac+ bd) 2(當(dāng)且僅當(dāng)ad= bc時(shí)，等號(hào)成立).柯西不等式的向量形式：設(shè) a , 3是兩個(gè)向量，則| a | 3 | >| a 3 ,當(dāng)且僅當(dāng)3是零向量，或存 在實(shí)數(shù)k,使a = k3時(shí)，等號(hào)成立.柯西不

6、等式的三角不等式：設(shè)xi, yi, X2, y2, x3, ysCR貝U q( Xi X2)( yi - y2)2 + q( X2 - X3)( y2 y3)2 22(Xi X3)+ (yi y3).柯西不等式的一般形式：設(shè)ai, a2, a3, , ,an, bi, b2,b3, ,bn 是實(shí)數(shù)，則(a2+a2+, + a2)(b2+b2+ , + b2) >(aibi + a2b2+，+anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng)bi = 0(i=i,2, ,n)或存在一個(gè)數(shù) k,使得 a = kbi(i =i, 2, , , n)時(shí)，等號(hào)成立.(2)算術(shù)一幾何平均不等式 ai + a2+, + an n

7、 j .一 . ，, .右ai, a, , , an為正數(shù)，則口> jaia2, an,當(dāng)且僅當(dāng) ai=a2=, = an時(shí)，等萬成立.【解題方法規(guī)律技巧】典例 i： (i)對(duì)任意 x, yCR,求 |xi|+|X|+|y i|+|y+i| 的最小值.(2)對(duì)于實(shí)數(shù) X, V，若 |x 1| wi, |y-2| <i,求 |x2y+i| 的最大值.解（lyarWR,，,一1|十|X 亨I） - x|二l,，恒 I i|+m nlCy- 1）-&+1）1=2,A|x-l|+M+|y-l|+b?+l|Sl+2=3.i|+|4+HT|+w+1 的最小值為 3.（2中制+1 尸1）

8、衿l）|Wb1|十|2&-2） + 2|Wl +2a2I+2W5,即，為+1的最大值為 5.【規(guī)律方法】求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種：（1）利用絕對(duì)值的幾何意義；（2）利用絕對(duì)值三角不等式，即| a| 十 | b|，a± b|，a| | b| ； （3）利用零點(diǎn)分區(qū)間法.典例 2：設(shè) a, b, c>0,且 ab+bc+ca=1.求證：（1） a+b+o/3.證明（1）要證口 +力+G5,由于&b c>Of因此只需證明g+b+cp三3一即證：d + + d +而帥+既+四=1故需證明： + 川 +盧+ 2（£必+如+8）孑3佃。+ b

9、c+cd）.即證：出+0 +0三ab+bc+cd而這可以由油+乩+wW寧+ 寧+寧=# +松+曲當(dāng)且僅當(dāng)=8=。時(shí)等號(hào)成立）證得. ，原不等式成立一、/應(yīng)十十飛萬一二由于（1）中已證Q+3+ £小厘因此要證原不等式成立3只需證明-?三孑 即證+川堡+cjS W L工即證+ m伍 + 曰向ab+bc+ca.【規(guī)律方法】 當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.典例3：已知a>0, b>0, a+b= 1,求證：111a+b+獷8；(2) 1

10、+1+ b 廣 9.證明(1)a+b=1, a>0, b>0,11111a+b二I1= I1abababab2?+ b=2a+b a+bb a2- |+ 4>4a bbXa+4=8.+ 6+曠8(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立).1+1|：=1+1+三+1,b a b ab由知 a+b+28.”+a)(11+ b 廣 9.【規(guī)律方法】.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成(2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的立的前提條件.典例4

11、：已知x, y, z均為實(shí)數(shù).(1)若 x+y + z=1,求證： 8+13y+ 2 +依+3w(2)若 x+2y+3z = 6,求 x2 + y2 + z2的最小值.(1)證明 因?yàn)?寸3升1 + 山p+2+$£+3)*82+ P+1 +3j+2+3z+3)27.所以收n +y+i +收W 3 s . ， i當(dāng)且僅當(dāng)工=3，=0時(shí)取等號(hào).解 因?yàn)?=J+&+鏟+ N .岳不前，所以/ + " +六竽，當(dāng)且僅當(dāng)X苦三即尸木尸*三襯，R + "+夕有最小值學(xué)【規(guī)律方法】(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左

12、邊或右 邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明.(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(a2+a2+,+ a2)9+，+, + ' !> (1 +1 +, + 1)2= n2.在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊常數(shù)且應(yīng)注意等號(hào)成立的條件.典例5:已知不等式1-5| + |2x + 1| >ax-l （1）當(dāng)。.=1時(shí)，求不等式的解集;（2）若不等式的解集為R,求江的范圍.【答案】（I）"8,2； （n）是.【解析】試題分析:f(x) = |2x- 5| + |2x + 1| =試題解析：（1）由已知,1x-可得2,則一4萬斗4萬一1< x < -2

13、1x ,解得 25-4x + 4,，<-1 5hf < # M 2 254t -4tx> 22,則依解得綜上得，所求不等式的解集為 此（2）不妨設(shè)函數(shù)¥*一1,則其過定點(diǎn)T）,如圖所示,由（1）可得點(diǎn)6-(-1)-4 < a <-0214- 4 £ ct <,即.14所以，所求實(shí)數(shù)門的范圍為fA【規(guī)律方法】.(2)數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值(1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)來解決有關(guān)的綜合問題的常用方法 .典例6: (1)解關(guān)于*的不等式X優(yōu)十4|+3<。(2)關(guān)于*的不等式|罔+ 2優(yōu)-勺|<討有解

14、，求實(shí)數(shù)門的范圍?！敬鸢浮?1) a >9.【解析】試題分析:分類討論丈+ 4環(huán)比+ 4之0兩種情況求解(2)分類討論去絕對(duì)值，求分段函數(shù)的最 小值耳+4<0J j: + 4> 0解析： 17 + 4) + 3<0或QM) + 3<(w<_2_V7礴_3»<T所以原不等式的解集是(一%一2 一行)。卜3,-1)（3x 1團(tuán)工之9 依題意，求1#+2|9一出的最小值，fCx）= ie-xOSx<9 IB x < 0所以工)最小值9.【規(guī)律方法】1 .含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的恒成立，有解問題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，此類問題常與二次函數(shù)、對(duì)

15、數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)結(jié)合命題，需要有一定的綜合知識(shí)的能力.2 .解答此類問題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決，是常用的思想方法.典例7:已知函數(shù)八療工13萬十2|(1)解不等式 fW<4-x-l(2)若。且門-01-八幻工4恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【解析】K試題分析】將原不等式化為7 = |3x +2| +| + 1| < +利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將函額轉(zhuǎn)化為 分段函數(shù)來求解得不等式的解集Q)構(gòu)造函數(shù)以分=I工-m -代工),利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求得00的最 大值T這個(gè)最大值小于里由此解得Q的取值范圍一試題解析】一 丁生 T/a

16、)<4-|x-1I>I 3x+2 I -H jc + 1I< 4fG) < 4T jc - 11=1 3/ +2 I +1 / + 11< 4ll)小寺瓦-1”。當(dāng)工一了 一3x - 2 x -F 1 < 43/ 2-x + l<4，解之得"5 ., a 5 . 上 3-< X < X < 2任當(dāng)一占公式1一乂工Ml時(shí)3x + 2-x + l <43x + 2-jc+1<4解丁得產(chǎn)工二三工 <二 3。3。當(dāng)工 >1# A 1時(shí) 3x + 2 + I -1 <43# +2 + # 1 V4 無解X

17、 6 I - « lx E I I綜上J不等式的解集為 I I2x + 2 + a. x < SM -lx-al -I 3x + 2 1= _4x_ 2 4-a1 -1<x <令ga)=lx-口 /則n于=g(x)皿工二:十以當(dāng)。時(shí)，3.-+ a < 4 a < 欲使不等式恒成立，只需 言 ，即 =.a > n匚。口玉三a (0,闿又因?yàn)閍 ",所以 '，即 '典例 8.已知函數(shù) Z«=|2x-O| + |x-3|? S) = |x_1|(I)解不等式雙6E5；(n)若對(duì) %E* ,都存在勺乏,使得=以勺), 【

18、答案】(I) -2工工工4；( n)-8. 2 "10.十8). 【解析】試題分析：(I)由題意解不等式K-II+2且£即可得到解集.(n<-2x- 2a. x > a求實(shí)數(shù)門的取值范圍.)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)函數(shù) /任)的值域M是函數(shù)成約的值域”的子集處理即可.試題解析：(1)依題意得卜_11十2式，即咫-1|式3, . - - 3<x-1<3解得-2主工M 4.，不等式的解集為一4川.(II)由題意得函數(shù) 以普的值域?yàn)镹 =二+8),設(shè)函數(shù)八工)的值域?yàn)镸由題意得ME當(dāng)日 = 6時(shí)，2 =同*-閔，此時(shí)M=。，+s),不合題意;f(x) =當(dāng)日E時(shí),

19、fa-3>22由MC N得( u>6 ,解得口之10；a + 3- 3xpc < -當(dāng)白V E時(shí),ax + 3 - a, < x < 3 3x-a- 3a > 33->22由N得( u<6 ,解得得a<2.綜上”2或門之1口.所以實(shí)數(shù)口的取值范圍為(-8、2 U1O.典例9:已知函數(shù)f (X )=x a + 2x1»=匕-3, +8)此時(shí) ,M = 3 , +s)此時(shí),+ 8),(1)當(dāng)a =1時(shí)，求f (x)M2的解集;(2)若f(X )42x +1的解集包含集合I1 11求實(shí)數(shù)a的取值范圍.一2'上述不等式可化為x _

20、 1x -1 2x -1 < 2解得x<-11x-2 或 2x<2x _1或4x三3L xeirijl丁x)w|2x+l|的解集包含L2，當(dāng) L2時(shí)，不等式力4氏+恒成立,即k -4+白-1%2x+1在' ' b上恒成立,|x«| + 2x1 <2x+l f 即 x-a <22 < xa2尤+2在T列上恒成立.(Dz £0£("+2)*.f 3；所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是典例 10.設(shè)函數(shù) f (x )= x +a - x -a2 a (a w R )(D當(dāng)a =1時(shí)，求不等式f (x戶1的解集；(n)若對(duì)

21、任意a = I-1,1 1,不等式f (x )eb的解集為R ,求實(shí)數(shù)b的取值范圍IL 3【答案】(i) (-00,1；(n) b >1.【解析】試題分析：當(dāng) a=1時(shí)，利用絕對(duì)值的意義求得不等式的解集；利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行化簡 f (x )= x +a x -a2 -a <|(x +a )(x -a2 -a )，計(jì)算出 f (x *ax Wb即可求出結(jié)果解析：(I)當(dāng) a =1 時(shí)，x +1 _x _2 <1x：-1-1 三 x 三2. x 2，或，或,-x -1 x -2 <1 x 1 x -2 <1 x 1 - x 2 < 1= x W (-&#

22、176;°, -1 )或 x W -1,1 或 x W 1綜上知：解集為x三,，11.(n)不等式 f(x)wb的解集為R u f(xaxWbf (x ) = x+a - x - a2 -a <|(x +a )-(x -a2 - a* a2 +2a所以f x =max恒成立a2 +2a <b對(duì)任意 a w i-1,1 113設(shè) g (a )= a2所以 g(amax=1,所以 b>1.一 1 '+ 2a,a- .1-1-, 3 J【易錯(cuò)易混溫馨提醒】一、對(duì)絕對(duì)值三角不等式不熟練，最值的處理會(huì)比較麻煩f易錯(cuò)1:已知函數(shù)22的最大值為4.（1）求實(shí)數(shù)m的值；n

23、n m 22m > OjO < jc < B（2）若2求l"Z|的最小值.【答案】（1）m=±4；（2）4.【解析】【試題分析】。南用絕對(duì)值不等式，消去您可求得實(shí)數(shù)m的值Q由（1）得血=4利用配湊法結(jié)合基本 不等式可求得最小值.【試題解析】由卜療工| M |x-Qx-m）| = ML當(dāng)且僅當(dāng)挪）“且當(dāng)|利>制時(shí)取等號(hào)，此時(shí)燈取最大值帆I(xiàn) =4,即摭=±4.（2）由（1）及m AQ可知耽=4,，口 <jc <2,則或+高=2（由+言） = 2（"士）=（如七、十”力=2+管+£ 宜 2 + 2j5 = 4，（當(dāng)

24、且僅當(dāng)2 上=/即/ = 1時(shí)，取7 ）常十官的最小值為水二、絕對(duì)值里和絕對(duì)值外均有參數(shù)時(shí)，且討論不好去絕對(duì)值時(shí)一一，一一，4易錯(cuò)2：已知函數(shù)f(x)=x+ m+m.x(I)當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f (x )的最小值;(n)若函數(shù)f(x)M5在xw 1,4 上恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍【答案】(1)f (x min =4；(2)實(shí)數(shù)m的取值范圍是91解析】試題分析:(I )結(jié)合題意利用基本不等式求解即可.(11)由題意得工+上一團(tuán)+始4 5在xeL4上恒成立，轉(zhuǎn)化 X為2州-5+在xw 1,4上恒成立.構(gòu)造函數(shù)14.求得函數(shù)區(qū)(x)的最值后可XX得結(jié)論.試題解析:(I > 當(dāng)m=0時(shí)，4,

25、4I44f (冷=x+=卜+ 之2 k = 4 ,當(dāng)且僅當(dāng)|x|= ?即工=±2時(shí)等號(hào)成立，xxV xx4(n)由題思得 x+m+mW5在x= 1,4上恒成立, xa 4.一 r. . i .即x+ -m <5 -m在x匚1,4 上恒成立, x4., i .所以m5Wx+ mW5m在x= 1,4上恒成立， x4即2m -5 Mx + E5在x= 1,4上恒成立， x設(shè)g(x產(chǎn)x +4,xw 1,4，則g(x)在1,2】上單調(diào)遞減，在 b,4上單調(diào)遞增, xg(x L =g (2 )=4,又 g(1 )=5,g(4 )=5 , 一 9解得mW-,2所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是*,912

26、三、系數(shù)不適合絕對(duì)值三角不等式時(shí)的拆分易錯(cuò)3:已知函數(shù)f") = |x+2| + |2大+。| , 口 E凡(1)當(dāng)* =，解不等式汽切之2 ；(2)求證：2 .£出工-1或犬主【答案】(1)S . (2)見解析.【解析】試題分析：<1)當(dāng)a = 1,不等式即f (#)二忱+ 21 + |2x H-l|> 2,零點(diǎn)分段可得不等式的解集為狂設(shè)< -1> -i<2)由題意結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得：，=反+ 2| +忱+ ；|+艇+ ：| >R-;|h-|x+S|2-j| =|(a-2>->|a-2|-：|a|.試題解析：<1)當(dāng)口 = lj rco = |x 4- 2| + |2i + l| 之 2of X2或卜2<、<U或|犬魚一：-3x -3 > 2 I - + 1 > 2.3x+3 >20 x < -2或一2 < x < -1或x >O工三- 1或二> 一；，所以不