初中數(shù)學(xué)相似三角形模型(題型)大全-值得收藏

1、初中數(shù)學(xué)相似三角形模型（題型）大全-值得收藏第 2 頁 共 11 頁特征：比的基本性質(zhì)，合比性質(zhì)，等比性質(zhì)比的性質(zhì)：例 1 ：已知 a c 3, ，則 abd2b c 2d例 2：如果P 是線段 AB 的黃金分割點，且AP> PB，則下列各等式AB 2=AP PB， AP 2=PBAB ，BP2=APPB，AP AB=PB AP 中，正確的是（例 3：已知acbbc abk ，則 k 的值為（A 字型如圖（1 ） DE/BC ，則 ADE ABC特征：ADE ABCAD AE DEAB AC BC應(yīng)用 1： （求線段的長）例 110如圖（2） DE/BC, 且 DB=AE, 若 AB=5

2、， AC=10，則 AE 的長為（）3角度：平行產(chǎn)生比例DEBCAB ACBD EC例 2 如圖（3）ABC應(yīng)用2： （證明比例線段）10AEECAEPBBCB1C1B2C2B3C3B4C42a）例 3如圖（4） ， DE/BC/AFDE證明：分析：此題用了兩個平行A 字型在 ABC 中， DE/BC ，AD DEABBC1010, AE10 AEAB 邊的五等分點；C1,C2,C3,C4 是11AF BCAC邊的五等分點，則在 ABF 中， DE/AF ，DB DE + 得AD DB DEABBCAB AFDEAF1 DE(B1CA1F)11DE BC AF應(yīng)用3： （證明線段相等）例 4

3、如圖 （ 5） ， 一直線與ABC 的邊 AB ， AC 及 BC 的延長線分別交于F。求證：若AE BF ，則 D 是 AB 的中點。EC CFD、E、證明：作CM/BA 與 EF 交于AD AE AE BFM ，則 ADE CMEAD BFCM EC EC CFCM CFCM / BDBD BFCM CFAD BD ,從而 AD BD.CM CMD 是 AB 的中點。例5如圖（6）已知如圖，在ABC 中， BCA= 900，以直角邊AC 為一邊向形外正方形ACEF ，連接BF，交AC 于 P，過P 作 PQ/BC，交 AB 于 Q,求證： PC=PQ證明：ACEF 為正方形CP / EF

4、BCPBEFPCEFBPBF例 6如圖（如果證明：CF / DEFG / AEBP又 PQ / BC / FA BPQBFABFPQ EF FA PCFAEFPQPC PQFA7） ，在ABC 中，C= 900，以邊向外作矩形ACDE,BE于 AC 交于F， FG/CB 交 AB 于 G，CF=FG，那么矩形ACDE 具有什么特征？CFDEFGAECF FG DE矩形 ACDE 是正方形BFBEBFBEAE例 7： 馬戲團讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目，蹺蹺板支柱 AB 的高度為1.2 米。（ 1） 若吊環(huán)高度為2 米， 支點 A 為蹺蹺板的PQ中點，獅子能否把公雞送到吊環(huán)上？為什么？（2）若吊環(huán)

5、的高度為3.6 米，在不改變其他條件第 4 頁A 移到蹺蹺 板 PQ 的什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？平行 A 字型的實際問題1。如圖（1）測量小玻璃管口的量具ABC 上， AB 的長為 10 毫米， AC 被分為 60 等份。如果小管口DE 正好對著量具上30 份（ DE 平行 AB ） ，那么小管口徑DE 的長是-5 毫米。2。如圖2 小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5 米的位置上，則球拍擊球的高度H 應(yīng)為第 21 頁 共 11 頁AQAD三、平行X 字型如圖 (1)DE/BC, 則 AED ACB特征：ADE ACBAE AD DEAC AB BC應(yīng)用 1： （

6、證明比例線段）例 1 已知，如圖（2）一直線與四邊形ABCD 的 AB 、 CD邊交于E、 H，3、如圖4 已知 BC 是圓 O 的直徑，線段MN/BC ， A 是 MN 上任意一點，AF 與圓 O 相切于F，連結(jié)AB 與圓 O 相交于Q， D 是 AB 上一點，且AD=AF ， DE AB 與 AC 的延長線交于E。（ 1）求證：CD/BE（ 2）若MN 與 BC 之間的距離為5， BC=4，求證：當(dāng)點A 變動時，ADE 的面積是一個定值 （ 3）若AF： AE=1 ： 2， AC： BC= 2：3 ，求 BCA 的度數(shù)1 )證明：AF 2=AQ AB ， AD=AF ， AD 2=AQ A

7、B ADAB又因為 QC/EF AQ=AC AD=ACCD/BEAD AE AB AE1( 2)證明：S BCD = S DEC S ABC = S ADE 2 4 5=20所以 ADE 的面積是一個定值。所以BCQ= 450， 所以 BCA= 7503) AC= 2 K， QC= 6 K ， BC= 3 K， COS QCB= 2 K= 2/2與 AC 交于G,與 AD 、 CB 的延長線交于P、 F，求證：GP· GH=EG · FG證明： （分析：此題應(yīng)用兩次X 字型）AB 切O1于點A ， 切O2于點B，O1與O2的PA/CF, HC/AEPG AG AG GE,G

8、F GC GC GHPG EGFG GHPG GH EG FG例 2 如圖 （ 3） O1與O2外切于點P， 外公切線半徑分別為r 和 R，求證：AP2 rBP2 RAP2AP2APBP2 AP PC PC證明： Rt ABC 構(gòu)成三直角模型BP2 AP PCAP AO rO2ABCBA 900 O2A/ BC 在 AO2 P和 PCO2中，2 r2222 PC CO2 R2AP2 rBP2 R例 3、 如圖 （ 4） DE 是 ABC的中位線；F是 DE的中點，BF的延長線交AC 于 H，則AH ： HE 等于（B）A 1 ： 1 B 2 ： 1 C 1 ： 2 D 3 ： 2分 析 ： 作

9、 DG/AC 交 BH 于 點 G ，BD DG 2 DF DG 1，DG EHBA AH1 FE EH 1EH 2AH 1例 4、如圖（5） ，已知點M 是矩形 ABCD 的邊 CD 的中點，連BM 與 AC 交于求證： ME*BF=BE*MFMF DM證明：AF BCMCFBMC MEMC ABAB BE例 5、 如圖 （ 6） ， D 是 AC 上一點， 證明：方法一如圖6DCMFFBABME ME * BF BE* MFBEE，與AD 的延長線交于F，F(xiàn) 是 CB 延長線上一點，且 AD=FB ， 連與 AB 交于E ， 求證： BC*EF=AC*DE 。又BCAC過 D 點作 DM

10、CB 與 AB 交于 MDM CB,DM BCDM DEAD ACAD=BF,BFDE BC * EF AC * DE EF方法二如圖 6 ， 過 F 點作FN ACEFN（6）'交 AB 的延長線于N,FN ACBFBC ADDEBC DE, AD BF, BC* EF AC* DE 例 6、 如圖： 在平行FNAC FNEFAC EF四邊形 ABCD 中，E 為 CD 的中點，AE 交 BD 于 O，則S AOB 等于（）7) ， ABCD 為正方形，以D 點為圓心，AD 為半徑的圓弧與以BC 為直徑O 相交與 P,C兩點，連結(jié)AC,AP,CP,并延長CP,AP 分別交 AB,BC

11、, O 于 E,H,F 三點，連結(jié)OF（ 1） 求證：AEPCEA（2 ） 求 BH:HC分析：此題應(yīng)用了雙割線模型（1） 證明：由12 AEP CEA（ 2） 解：OF AB OHF BHAOH OFBH ABAB=BC=2OFOH 1BH 2設(shè) OH=k ， HB=2k ， 則OC=OB=OH+HB=3kHC=4kBH:HC=2k:4k=1:2如 圖 （1） 直 角 ABC 直 角 ACD 直 角 BCDAC BC,CD AB,則有AC2 AD* AB；BC2 BD* AB;CD2 AD* DB;AC* BC CD * AB（射影定理）例 1 、 如圖（2）在ABC 中 ACB= 90 ,

12、CD AB 于 D, 求證三直角模型CE*AC=AD*BD證明： 在 Rt ACD 中，CD 2=CE*AC, 在 Rt ACB 中, CD 2=AD*BDCE*AC=AD*BD例 2、如圖（2） ，在 ABC ， C=90 ,CD AB 于 D， DE AC 于 E，垂足分別為D,E（1）求證：2AC 2 AEBC2 CE證明：在Rt ABC 中， AC 2=AD*ABBC2=BD*AB ，AC2 ADBC2 = BD又 ED BCAD AEBD CEAC2 AEBC2 CE(3)(3)例 3、如圖(3)在ABC 中， AD BC 于 D， DE AB 于 E ,DF AC 于F,求證：AB

13、*AE=AC*AF證明 : AD BC, DE AB ABD ADE AD 2=AB*AE又 AD BC, DF AC ACD ADFAD 2=AC*AF因此 AB*AE=AC*AF例 4、 如圖 （ 4） ， BC 是半圓的直徑,O 是圓心 ,P是 BC 延長線上一點,PA切半圓于點A,AD BC 于點D，求證；PD*PO=PC*PB證明 : PA 為切線，PA2=PC*PB ，在Rt AOP 中，PA2=PD*POPD*PO=PC*PB例 5、 如圖 （5）， 點 P 是 O 的直徑 BA 延長線上一點,PC 于 O 相切于點BC,CD AB, 垂足為D,連接AC,BC,DC, 那么下列結(jié)

14、論中:1、 PC2=PA*PB 2、 PC*OC=OP*CD 3 、 OA 2=OD*OP4、 OA（CP-CD）=AP*CD 正確的結(jié)論有（D）A 、 1個 B 、 2個 C 、 3個 D 、 4個分析：3、 OC2=OA 2=OD*OP4、 OA（CP-CD）=PC*OA=OP*CD,OP=OA+AP PC*OA=（OA+AP）*CD例 6、 如圖（6）,在 Rt ABC 中 ,CD 是斜邊上的高,DE BC 于 E,則圖中與ABC相似的三角形（不包括ABC） 共有 （B）A 、 5個 B 、 4個 C 、 3個 D 、 2個分析：ABC ACD CDECDB DEB例 7、 如圖 3 已

15、知 AB 是圓 O 的直徑， 圓 O 過 AC 的中點 D， DE BC，垂足為E，求證（1） DE 是圓 O 的切線（2） CD2=CD CB（ 1 ）連結(jié)OD D 是 AC 的中點，O 是 AB 的中點，OD/BC 所以 CED= ODE= 900， DE 是圓 O 的切線。（ 2）連結(jié)DB ， Rt CDBCD2 =CE CB。例 8。已知：如圖5 ABC 中，點D， E 分別在邊AB ， AC 上，連結(jié)DE 并延長交 BC 的延長線于點F， 連結(jié)DC， BE， 若 BDE+ BCE= 1800（ 1）寫出圖中三對相似三角形（注意：不得加字母和線）（ 2）請在你所找出的相似三角形中選取一

16、對，說明它們相似的理由。（1 ）ADE ACB ， AEB ADC ，CEFDBF，F(xiàn)EBFCD（2）BDE+BCE=1800，BDE+1=1800，1= ACB= ADE 相似 ACB例 9。如圖 6 以ABC 的邊 AB 為直徑作圓O 交 BC 與 D，過D 作圓 O 的切線交AC 與 E，要使得DE 垂直AC ，則ABC 的邊必須滿足的條件是AB=AC 連結(jié)ADAE 的延長線和AD 的延長線分別交圓例 10。如圖7，圓01 與圓02 相交于D， E 兩點， A 是圓 02上一點，02于 B， C， DE=2， AC=12， BC=6，則AB=-3AD 五、 格點模型例1 .如圖（ 1 ）

17、 在正方形網(wǎng)格上有五個三角形，A 1 個 B 2個 C 3個其中與三角形ABC 相似 （不包括ABC 本身） 的三角形有（ A ）D 4個2) 5*5例二 在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形，在如圖（相似（相似比不能為1） ，則 C 點坐標(biāo)是（4， 4）或（ 5， 2）例 2 如圖（3）由邊長為1 的 25 個小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個ABC ，在網(wǎng)格上畫一個與ABC相似且面積最大的A1 B1C1 使它的三個頂點都落在小正方形的頂點，則A1B1C1 的最大面積（ 5）（ 1） ABC 中， AB= 2 ， AC= 10， BC=2, 且 S ABC

18、1 ， 依題意A1 B1C1 中最長邊A1C1 的長度不大于5 2 ，圖（ 1 ）圖（2）(3)若 A1C1 5 2， ABC A1B1C ，則AB= 2 ， BC=2 5 ，這時兩三角形的相似比為1: 5 ，面積比為 1： 5，A1B1C1 面積為5圖（ 3 ）例 4、如圖（ 4） ，在大小為4*4 的正方形方格中，ABC 的頂點 A,B,C 在單位正方形的頂點上，請在圖中畫一個A1 B1C1 ，使A1B1C1 ABC （相似比不為1） ，且點A1 ,B1,C1 都在單位正方形的頂點上分析：由圖（1）可知 ABC 中 BC=2,AB= 2, ABC 135 以 135 角為突破口，所以要畫出

19、與之相似的三角形，必使A1B1C1 135 , A1 B1AB2 ,單位為1 的正方形對角線為2，所以一格為一邊，一對角線1 1 1B1C1BC2為一邊畫出A1 B1C1 圖（1）所示另外還有兩種方法如圖（2） ，圖（3）所示例 5 在方格紙中每個小格的頂點叫做格點。以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形。請你在的10*10 的方格紙中畫兩個相似但不全等的格點三角形，并加以證明。要求：所畫三角形是鈍角三角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母。分析： （ 1 ）正確畫出兩個相似但不全等的鈍角格點三角形（如圖所示）（提示：先畫出一個鈍角三角形，分別作各邊平行線，或利用三條對應(yīng)變成比例畫出另一個與之相似的三角形）證明：

20、設(shè)AB=1 則 BC= 2, A1B12,C12 2，AB1 BC, 從圖中可知BB , 135A1B12 B1C1ABC A1B1C1（ 1 ）求出每個格點三角形的邊長（ 2）證出三對對應(yīng)邊成比例（ 3）結(jié)論：此題答案不唯一.例 6 已知圖（1 ）和圖（2）中的每個小正方形的邊長都是1 個單位。1 ，圖（1 ）中的格點ABC 先向右平移3 個單位再向上平移2 個單位得到A1B1C1 請你在圖中（1）畫出在A1B1C12，在圖（2）中畫出一個與格點DEF 相似但相似比不等于分析：（1）考生沿著網(wǎng)格線不難完成作圖1 的格點三角形。2）需要把DEF 放大， DEF 的三邊長度之比是1: 5 :2

21、2 而格點間線段的最大長度為6 2 ，所以可以把DEF 放大 2 倍， 2 倍，2 2 倍， 3 倍均可，所以本題答案不唯一。圖 （ 1）利用方程探究六、利用方程探究相似三角形問題例 1 、如 圖 1 ， 梯 形 ABCD 中 ，A 9 0 A, D 8 C, D 2 A, B（ 1 ）當(dāng) BPC 90 時，求證：ABP DPC2） 當(dāng) m 為何值時，能使BPC 90 的點 P 分別有兩個，一個，或不存在？3） 是否存在合適的m 的值和 P 點的位置，使得ABP ， PDC, PBC 都相似？如果不存在，說明理由；如果存在，求出m 的值和 P 點的位置。解： ( 1 )13, A D 90 ,

22、 ABP DPCPA AB2） 假設(shè)存在合適的m 值，使得ABP DPC， 則設(shè) PA=x,DC PD則 x2 8 mx , 即 x2 8x 2m 0, 64 8m 8(8 m)當(dāng)m<8 時，>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，相應(yīng)當(dāng)m=8 時，0，方程有兩個相等的實數(shù)根，相應(yīng)當(dāng)m>8 時，<0，方程沒有實數(shù)根，相應(yīng)的（3） 假設(shè)存在符合條件的P 點有兩個。P 點有一個。P 點不存在。m 值和合適位置的P 點（圖2）ABP ，PDC, PBC 都相似，所以A D BPC 90 APB 與 PDC 必定相似，只需考慮APB 與 PBC假設(shè) APB PBC 12PA ABDC PB4m, m8因此，當(dāng).m=8，且P 為 AD 中點時，24 ABP， PDC, PBC 都相似例 2、如圖（3） ，已知梯形ABCD 中，AD BC, A 90 ,AB=7,AD=3,BC=2,解：假設(shè)例 3，試在腰 AB 上確定點P 的位置，使得以為定點的三角形相似。x 3 xyAPD BCP2y xx7yx6或y=1P 點放在PA=6 的位置。如圖 4，矩形 ABCD ， AD=a， DC=b，在 AB 上找一點三角形相似，設(shè) AE=x， 問這樣的E點是否存在？點