高考文科導(dǎo)數(shù)考點匯總

1、高考導(dǎo)數(shù)文科考點總結(jié)一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個函數(shù)的和、差、基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。導(dǎo)數(shù)概念與運算知識清單1 .導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)，如果自變量x在x0處有增量&x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量&y =f (x 0 +&x ) f(x0),7yy f(x0 . ：x)- f(x0)比值 取 叫做函數(shù)y=f (x)在x0到x0+&x之間的平均變化率，即 Ax=Ax。二 y如果當(dāng)AxT 0時，M有極限，我們就說函數(shù) y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)

2、，記作或丫一中。即 f (x0)7lim lim.J0 Lx = . JDf (x0：x) - f (x0)x說明:yyx有極限。如果 Ax不存在極限，就說函(1)函數(shù)f (x)在點xD處可導(dǎo)，是指 Axt 0時,數(shù)在點x0處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。(2) Ax是自變量x在x0處的改變量，Ax#。時，而Ay是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(可由學(xué)生來歸納)：(1)求函數(shù)的增量"=f汽0+以)f (x0)；7 f(x0 x) - f(x0)(2)求平均變化率 Ax =Ax；.ylm (3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f'優(yōu))=3 Ax。2

3、 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點p (x0, f (x0)處的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f (x)在點p (x0, f (x0)處的切線的斜率是 f' (x0)。相應(yīng)地，切線方程為 y- y0=f/ (x0) (x x0)3 .幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)nn C' = 0;（x）=nx ;（sin x）'=cosx ;（cosx）'=sin x ;1lOgaX =- lOgae&X1xxxx1nxl 侄）=e （a ） =a ln a; i f x;4.兩個函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1:兩個函數(shù)的和

4、(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和 (或差), 即：(U _v) =u -v.法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個、'''函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： (uv) =u v . uv .若 C 為常數(shù)，則(Cu) =Cu+Cu =0+Cu 二Cu .即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù) ''的導(dǎo)數(shù)：(Cu) =Cu.法則3:兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除U u'v-uv'以分母的平方：lv.J'= v2(v#0)。y/形如y=f 1- (x

5、 ) '的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一一求導(dǎo)一一回代。法則：| X = y / |U | X導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知識清單單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù) y = f(x)在某個區(qū)間可導(dǎo)， '如果f (x) >0,則f(x)為增函數(shù)；'如果f (x) <0 ,則f(x)為減函數(shù)；'如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f (x)=0,則f(x)為常數(shù)；2 .極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0,極值點處的導(dǎo)數(shù)為 0;曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；3 .最值：一般地，在區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù) f(x)在a, b上必有

6、最大值與最小值。求函數(shù)？ (x)在(a, b)內(nèi)的極值；求函數(shù)？(x)在區(qū)間端點的值？ (a)、？(b);將函數(shù)？ (x)的各極值與？(a)、？(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。二、熱點題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。1 . f(x)=x -3x +2在區(qū)間1一1,11上的最大值是22q2 .已知函數(shù)y =f(x) =x(xc)在x=2處有極大值，則常數(shù) c= 6；33 .函數(shù)y =1 +3x x有極小值 i ,極大值 3題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1,曲線y=4xx3在點(.1,3)處的切線方程是y = x242.若曲線f(x)=x -x在P點處的切線平

7、行于直線 3x-y=0,則P點的坐標為(1, 0)43,若曲線y=x的一條切線l與直線x 4y_8=0垂直，則l的方程為4x-y-3 = 04.求下列直線的方程：32,2(1)曲線y=x +x +1在P(-1,1)處的切線；(2)曲線y =x過點P(3,5)的切線；解：(1) ;點P(T1)在曲線 y=x3+x2+1 上，y/ =3x2 +2x 二 k =y，|x = 1=3 2=1所以切線方程為y -1 =x雜，Wx V +2 =0(2)顯然點P (3,5)不在曲線上，所以可設(shè)切點為 A(x0，y0),則y0=x。2又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y/=2x, 所以過“防加點的切線的斜率為k =y1xn0=2

8、x0 ,又切線過A(x0,y0)、p(3,5)點，所以有 2x0 =.0-1卜0 ：1 或 X0 =5x03，由聯(lián)立方程組得，3 =1)°=25 ,即切點為(1,1)時，切線斜率為燈=2汽=2;；當(dāng)切點為(5, 25)時，切線斜率為k2=2x0=10；所以所求的切線有兩條，方程分另I為 y -1 =2(x 1)或y -25 =10(x 5),即y =2x 1 或y =10x -25題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值1 .已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，過曲線y=f(x)上的點P(1，f(1)的切線方程為y=3x+1(I)若函數(shù) 他)在* 二 一2處有極值，求f(x

9、)的表達式；(n)在(I)的條件下，求函數(shù) y = f (x)在3, 1上的最大值；(出)若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍解.(1)由 f (x) =x3+ax2+bx+c,求導(dǎo)數(shù)得 f'(x) =3x2+2ax+ b.過y = f (x)上點P(1，f (1)的切線方程為： y -f (1) =f '(1)(x _1)，即y (a +b +c+1) =(3 + 2a +b)(x-1).而過y = f(x)上P1, f(1)的切線方程為y=3x+1.3+2a+b=3.2a+b=0/即：故 g -c = -3a -c =-3y= *)在* = 2

10、時有極值，故f '(2) =0,- Ta+b=12 32由得 a=2 , b=-4, c=5f(x) =x +2x -4x+5. f(x)=3x2 4x4 =(3x2)(x 2).2一 一.-3 Ex <-2時，f (x) >0;當(dāng)-2 <x <時，f (x) <0;3一 2當(dāng)；<x W1 時，f (x)>0./. f(x)極大=f(2)=133又 f(1)4,. f(x)在3, 1上最大值是 13。2(3) y=f(x)在2, 1上單調(diào)遞增，又 f (x)=3x +2ax+b，由知 2a+b=0。依題意 f (x)在2, 1上恒有 f'

11、;(x)>0,即 3x2bx+b 之0.bx =一_1 時，f (x)min = f (1) =3 b b 0,. b -6當(dāng) 6;bx - -2日If (x)min = f (-2) -12 2b b -0,. b當(dāng) 6;2-2 <- E1 時，f (x)min =之 0,則0 Mb <6.當(dāng) b12綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是0，+望) 322.已知三次函數(shù)f(x)=x ax bx c在*=1和*=-1時取極值，且 92)=-4,(1)求函數(shù)y = f(x)的表達式；(2)求函數(shù)y =f (x)的單調(diào)區(qū)間和極值；解：(1) f (x)=3x2+2ax+b,由題意得，1,1

12、是3x2+2ax+b=0的兩個根，解得，a=0, b = e3再由 f(-2) =-4 可彳導(dǎo) c = -2 .，f (x) =x 3x-2 .(2) f '(x) =3x2 -3 =3(x +1)(x 1)當(dāng) x<1 時，f (x)AO；當(dāng) x=_1 時，f'(x)=0；當(dāng)1<xc1 時，f (x)<0；當(dāng) x=1 時，f'(x)=0；當(dāng)xA1時，f(x)A0. .函數(shù)f(x)在區(qū)間(-°°，-1上是增函數(shù)；在區(qū)間-11上是減函數(shù)；在區(qū)間1，+對上是增函數(shù).函數(shù)f(x)的極大值是f(=0,極小值是f(1) = Y.3,設(shè)函數(shù) f(

13、x)=x(x-a)(x-b).(1)若f(x)的圖象與直線5x-y8 = 0相切，切點橫坐標為2,且 f(x)在x = 1處取極值，求實數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)b=1時，試證明：不論 a取何實數(shù)，函數(shù)f (x)總有兩個不同的極值點.解：(1) f (x) =3x2 2(a+b)x+ab.由題意f=5，f=0,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)當(dāng) b=1 時，令f(x)=°得方程 3x2 2(a+1)x+a = 0.2因A=4(a -a 1) >0，故方程有兩個不同實根x1,x2.''.、不妨設(shè)x1 <x2,由f (x)=3(x_x1)(x_x2)可判

14、斷f (x)的符號如下：當(dāng) x <x1時，f '(x) >o ,當(dāng) X <x <x2 時，f'(x) v 0 ；當(dāng) x> x2 時，f'(x)>0因此x1是極大值點，x2是極小值點.，當(dāng)b=1時，不論a取何實數(shù)，函數(shù)f(x)總有兩個不同的 極值點。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1.如右圖：是f (x)的導(dǎo)函數(shù)， f (x)的圖象如右圖所示，則 f (x)的圖象只可能是(D )(A)(B)(Q(D)y - x3 -4x：；1的圖像為2.函數(shù) 3( A )3 方程2x3 _6x2 +7 =0在(0,2)內(nèi)根的個數(shù)為A、 0 B 、 1 C

15、 、 2 D題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值范圍一13_2_ 2 一 一f (x) = -x2ax -3a x b,0 : a < 1.1.設(shè)函數(shù)3(1)求函數(shù)f (x) 的單調(diào)區(qū)間、極值.若當(dāng)xa+1,a+2時，恒有1 f'(x)|Wa，試確定a的取值范圍22解：(1)f(x)=x +42*-32=-(*一32)(*-2),令£(*)=0得=2?2=32f(x)在(a, 3a)上單調(diào)遞增，在(-00, a)和(3a, +°°)上單調(diào)遞減列表如下：x(-00, a)a(a, 3a)3a(3a, +°0)f (x)-0+0-f(

16、x)極小極大f極小(x)=bf極小(x)=b：a3x=a 時，3, x=3a 時,22(2) f (x) = -x +4ax3a -0<a<1, 對稱軸 x = 2a<a + 1,f (x)在a+1 , a+2上單調(diào)遞減. fMax =(a+1)2 +4a(a+1)3a2 =2a1* =(a + 2)2 +4a(a+2) 3a2 = 4a 4 ?依題 |f'(x)|Way 1fMax13a , | fmin13a即 12a-1償 a,14a -4 |W aa的取值范圍是45,1)4a _ 1解得5 ，又0<a <1題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1.31 .已

17、知平面向量 a =( <3 , - 1). b =( 2 , 2).(1)若存在不同時為零的實數(shù)k和t ,使W=a+(t2 -3)b , y =-k a +tt ? x £ y ,試求函數(shù)關(guān)系式k=f；(2)據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t) k=0的解的情況. 解：(1) . x, y , x y =0 即a+(t2-3) b (-k a+t b )=0.-2. JE2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b+ (t2- 3) b =01 d.2e2a b=0, a =4, b =1, 上式化為-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)11(2)討論方

18、程4 t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線 f(t)=4 t(t2-3)與直線y=k的交點個數(shù).33于是 f' (t)=4(t2-1)=4 (t+1)(t-1).令f' (t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時，f' (t)、f(t)的變化情況如下表:t(- oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f' (t)+0-0+F(t)極大值極小值當(dāng)t= 1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=2 .1當(dāng)t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=-21函數(shù) 他)=4 t(t2-3)的圖象如圖1321所示,可觀察出:當(dāng)k> 2或k<

19、 2時，方程f(t) k=0有且只有一解;11(2)當(dāng)k= 2或k= 2時，方程f k=0有兩解;11 當(dāng)一2 v kv 2時，方程f 一k=0有三解.題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合31 .設(shè)a A0，函數(shù)f(x) =x -ax在L+G上是單調(diào)函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍；22解：(1) y=f(x)=3x - a,若f(x)在1+)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則須y<0,即a>3x,這樣的實數(shù)a不存在.故f (x)在1,2)上不可能是單調(diào)遞減函數(shù).若f(x)在1,收)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則aw 3x2,由于xw 1*)故3*2之3.從而°e3.23f (x) = (x -)(x a)2 .

20、已知a為實數(shù)，函數(shù)2(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與X軸平行的切線，求 a的取值范圍若(1)=0,(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間x x £ (-10)1f (x1)- f (x2)B (n)證明對任意的x1 x2 ( 1,0),不等式16恒成立m323323f (x) = x ax x a f '(x) = 3x 2ax 解：22 ,2函數(shù)f(x)的圖象有與x軸平行的切線，二f'(x)=0有實數(shù)解.：=4a2 -4 3 3-0 a2之9內(nèi)啟三+ 8 )3;“(-1)=03一2a 2 =02,2 ,所以a的取值范圍是2292 931a=f'(x)=3x - x

21、= 3(x)(x 1)1f '(x)：二 0,-1 :二 x :一- 由24 ,22211 (-1.)x 由 f'(x) A0，x<T 或 x 2；，,、，1'f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一，一1)，( 一，)2；單調(diào)減區(qū)間為f(-1)=易知f(x)的最大值為2514927f()=f(0)= f(x)的極小值為216 ,又82749M 二m 二，對任意x1，x2三(一1，0),恒有27| f (x1) - f (x2)卜:M -m = 8491616二f(x)在-1Q上的最大值8 ,最小值 16y (升)關(guān)于行駛速度 x (千米/題型八：導(dǎo)數(shù)在實際中的應(yīng)用1.統(tǒng)計表

22、明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量1 Q 3y =x - 一 x 8(0 : x _ 120).小時)的函數(shù)解析式可以表示為：12800080已知甲、乙兩地相距 100千米。(I)當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(II )當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？100解：(I)當(dāng)x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了2.540 小時,133(4040 8) 2.5 =17.5要耗沒12800080(升)。100(II )當(dāng)速度為x千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了x小時，設(shè)耗油量為h(x)升,依題意得1 Q 3h(x) = (

23、 x -x 8).128000801001 x 12802 800 15-(0 : x M 120), x 4h'(x)=x6408002x33x -802640x2(0 :二 x -120).令 h'(x) =0,得 x =80.當(dāng)xJ0,80)時，h'(x)<0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng) xW (80,120)時，h'(x)>0,h(x)是增函數(shù)。，當(dāng) x=80 時，h(x)取到極小值 h(80)=11.25.因為h(x)在(0，120上只有一個極值，所以它是最小值。答：當(dāng)汽車以 40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。當(dāng)汽車以

24、80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為 11.25升。題型九：導(dǎo)數(shù)與向量的結(jié)合4.3131.3a 二( ，一一), b = (一，).1 .設(shè)平面向量 2222 若存在不同時為零的兩個實數(shù)s、t及實數(shù)k,使x = a (t2 k)b, y 二-sa tb且x _ y,(1)求函數(shù)關(guān)系式 S=f；(2)若函數(shù)S = f在1, *)上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。=1,a b = 0,、31、a = (,), b解：(1)22又x_y,x*y=0,得/ 2 、兀 "ta +(t -k) b -sa+tb) =0,二/ 2、-2/2、 .即-sa + t(t -k)b

25、- (t -st +sk)a b=0。s +(t2k) t =0,故 s=f(t) =t3kt。2 2)f '(t) =3t2 -kMf (t)在1,+的也是單調(diào)函數(shù)，則在1，收)上有代)之0或£'。)以由 f '(t) 203 3t2 -k 之0n k <3t2 = k <(3t2)min => k <3 .由 f '(t) E0= 3t2 -k E0= k >3t2o因為在t e 1，+ * 13t2是增函數(shù)，所以不存在k,使k之3t2在1,+ *)上恒成立。故k的取值范圍是k <3。一、選擇題1 . 一個物體的

26、運動方程為S=1+t+tA2其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是()A 7米/秒 B 6米/秒 C5米/秒 D 8米/秒2 .已知函數(shù)f(x)=ax2+c,且f'(1)=2，貝U a的值為()A.1B.21C.-1 D. 0一一 一, 一 一 _ . . ' '3 f(x)與g(x)是7E乂在R上的兩個可導(dǎo)函數(shù)，右 f (x), g(x)滿足f (x) = g (x)，則f (x)與 g(x)滿足()Af(x)=2g(x)B f(x) g(x)為常數(shù)函數(shù)Cf(x)=g(x)=0 D f (x) + g(x)為常數(shù)函數(shù)4 .函數(shù)y = x3 + x

27、的遞增區(qū)間是()A (-二,1) B (-1,1) C (_:,：")D (1,：U)5 .若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正，且 f(b) < 0,則函數(shù)f(x)在(a, b) 內(nèi)有()A. f(x) > 0B.f(x) 0 C.f(x) = 0 D.無法確定6. f'(x0) =0是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點x=x。處有極值的().必要不充分條件A.充分不必要條件C.充要條件D.非充分非必要條件7 .曲線f(x) = x3 + x- 2在p0處的切線平彳T于直線 y = 4x- 1,則p0點的坐標為()A (1,0)BC (1,0)和(1,。) D8 .函數(shù) y =1 +3x - x3 有A.極小值-1 ,極大值1C.極小值-1 ,極大值3(2,8)(