相似三角形知識點及典型例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形知識點及典型例題知識點歸納：1、三角形相似的判定方法（1）定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。（4）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。（5）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成

2、比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法：以上各種判定均適用。如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。#中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 如圖，RtABC中，BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC

3、 。注：由上述射影定理還可以證明。即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。典型例題：例1 如圖，已知等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD，AC于E、 F，求證：BE2EF·EG證明：如圖，連結(jié)EC，ABAC，ADBC， ABCACB，AD垂直平分BCBEEC，12，ABC-1ACB-2，即34，又CGAB，G3，4G又CEGCEF，CEFGEC，=EC2EG· EF，故EB2=EF·EG【解題技巧點撥】本題必須綜合運用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來得到證明而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BE

4、=EC，把原來處在同一條直線上的三條線段BE，EF，EC轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。例2 已知：如圖，AD是RtABC斜BC上的高，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于F，求證：=證法一：如圖，在RtABC中，BACRt，ADBC，3C，又E是RtADC的斜邊AC上的中點，ED=ACEC，2C，又12，13，DFBAFD，DFBAFD， （1）又AD是RtABC的斜邊BC上的高，RtABDRtCAD，= （2）由（1）（2）兩式得=，故=證法二：過點A作AGEF交CB延長線于點G，則= （1）E是AC的中點，EDAC，D是GC的中點，又ADGC，AD是線段GC的垂直平分線

5、，AGAC （2）由（1）（2）兩式得：=，證畢。 【解題技巧點撥】本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過中間比“”過渡，使問題得證，證法二中是運用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問題得證一、如何證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F，則AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36°，BD是角平分線，求證：ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點連結(jié)ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEAB

6、C例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點，DMBC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是

7、正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且。求證：AEF=FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點，且ABED，BCFE，求證：AFCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG例12、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF課后作業(yè)一、填空題1.已知：在ABC中，P是AB上一點，連結(jié) CP，當滿足條件ACP=_或APC=_或 AC2=_時

8、，ACPABC2.兩個相似三角形周長之比為49，面積之和為291，則面積分別是_。3.如圖，DEFG是RtABC的內(nèi)接正方形，若CF8，DG4，則BE_。4如圖，直角梯形 ABCD中，ADBC，ADCD，ACAB，已知AD4，BC9，則 AC_。5ABC中，AB15，AC9，點D是AC上的點，且AD=3，E在AB上，ADE與ABC相似，則AE的長等于_。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD，則BDC的度數(shù)為_。7.ABC中，ABAC，A36°，BC1，BD平分ABC交于D，則BD_，AD_，設(shè)ABx,則關(guān)于x的方程是_.8如圖，已知D是等邊ABC的BC邊上一點，把ABC向下折疊，

9、折痕為MN，使點A落在點D處，若BDDC23，則AMMN=_。二、選擇題9.如圖，在正ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有（）AAEDBEDBAEDCBD CAEDABD DBADBCD10如圖，在ABC中，D為AC邊上一點，DBCA，BC=，AC3，則CD的長為（ ）A.1B. C.2D. 11如圖，ABCD中，G是 BC延長線上一點，AG與 BD交于點E，與DC交于點F，則圖中相似三角形共有（ ）A3對 B4對 C5對 D6對12 P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）A1條 B.2條

10、C3條 D4條13如圖，在直角梯形 ABCD中，AB7，AD2，BC=3，若在 AB上取一點P，使以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，這樣的P點有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 三、解答下列各題14.如圖，長方形ABCD中，AB=5，BC10，點P從A點出發(fā)，沿AB作勻速運動，1分鐘可以到達B點，點Q從B點出發(fā)，沿BC作勻速直線運動，1分鐘可到C點，現(xiàn)在點P點Q同時分別從A點、B點出發(fā)，經(jīng)過多少時間，線段PQ恰與線段BD垂直？ 15已知：如圖，正方形DEFG內(nèi)接于RtABC，EF在斜邊BC上，EHAB于H求證：（1）ADGHED；（2）EF2B

11、E·FC （答案）例1分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（對頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：A=36°，ABC是等腰三角形，ABC=C=72°又BD平分ABC，則DBC=36°在ABC和BCD中，C為公共角，A=DBC=36°ABCBC

12、D例3分析： 由已知條件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要證的DBE和ABC，有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且=DBEABC例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)

13、如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與ECA中，AEF為公共角，且所以EAFECA例5 分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進行證明：證明：過D點作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= B

14、C：AC，DFAC=BCFE例6 證明：（1）BAC=900，M是BC的中點，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，評注：命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例7 分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證。證明：過D點作DGAB交FC于G則AEFDEG。

15、（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似） （1）D為BC的中點，且DGBFG為FC的中點則DG為CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：例8 分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FGBD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，F(xiàn)GD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=F

16、GB=900AEFGBF AEF=FBD例9 分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點就是要明確目標，選擇適當?shù)谋壤€段。要證明SQAB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在ADS和ARB中。 DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，則，SQAB，同理可證，RPBC例10分析：要證明AFCD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實要證明AFCD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功

17、。證明：ABED，BCFE，兩式相乘可得：例11 分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明： FGACBE，ABEAGF 則有而FCDE AEDAFC則有 又BE=DE（正方形的邊長相等），即GF=CF。例12 證明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。一、B、ACB、AP·AB 2.48,243 3.4 4.6 5.5或 6.135° 7.1,1,x2-x-1=0 8.78二、9.B 10