北師大版數(shù)學(xué)九上《花邊有多寬》教案2課時(shí)

1、2.1花邊有多寬 方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型，隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用的日趨廣泛，方程的工具作用顯得愈發(fā)重要.一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)中占有重要的地位 本節(jié)“花邊有多寬”是一元二次方程的基礎(chǔ)，是通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生建立一元二次方程，并通過觀察歸納出一元二次方程的概念，進(jìn)而通過夾逼思想估算方程的解 本節(jié)的重、難點(diǎn)是一元二次方程的概念及其近似解2.1花邊有多寬(一)教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1一元二次方程的概念 2一元二次方程的有關(guān)概念 (二)能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的概念的過程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型 2理解一元二次方程的概念

2、 (三)情感與價(jià)值觀要求 從生活實(shí)際中抽象出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí)教學(xué)重點(diǎn) 一元二次方程的概念a0教學(xué)難點(diǎn) 一元二次方程的概念:a0教學(xué)方法 啟發(fā)誘導(dǎo)式教具準(zhǔn)備 投影片四張 第一張：花邊有多寬(記作投影片211 A) 第二張：數(shù)學(xué)問題(記作投影片211 B) 第三張：實(shí)際問題(記作投影片211 C) 第四張：想一想(記作投影片211 D)教學(xué)過程 創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景、引入新課 師前面我們學(xué)過黃金分割，知道黃金比是多少嗎? 生黃金比是0.618 師很好，你知道黃金比為什么是0618嗎? 師好，經(jīng)濟(jì)時(shí)代的今天，你能根據(jù)商品的銷售利潤(rùn)作出一定的決

3、策嗎?你能為一個(gè)矩形花園提供多種設(shè)計(jì)方案嗎? 從今天開始，我們來學(xué)習(xí)能解決這些問題的知識(shí)：第二章：一元二次方程 與一次方程和分式方程一樣，一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效數(shù)學(xué)模型 下面我們來學(xué)習(xí)第一節(jié)：花邊有多寬 講授新課 師我們來看一個(gè)實(shí)際問題 (出示投影片211 A)；大家來討論討論一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，如圖所示，它的長(zhǎng)為8m，寬為5 m，如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18m2，那么花邊有多寬?生我們可以利用列方程來求解 師很好，那如何列方程來求解實(shí)際問題呢?想一想，前面我們學(xué)習(xí)的列一元一次方程的思路和方法 生要從題中，找出已知量、未知量及問題中所涉及的等量關(guān)系 這個(gè)題已知：

4、這塊地毯的長(zhǎng)為8 m，寬為5 m，它中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18m2 這個(gè)題所要求的是；地毯的花邊有多寬 本題是以面積為等量關(guān)系 師這位同學(xué)分析得很好，下面我們共同來利用這些數(shù)量關(guān)系列出方程 師生共析如果設(shè)花邊的寬為x m，那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為(8-2x)m，寬為(5-2x)m，根據(jù)題意，可得方程 (8-2x)(5-2x)18 注意： 1利用列方程解實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是要找到等量關(guān)系，如本題中的面積等于長(zhǎng)乘以寬 2用一個(gè)含有未知數(shù)的代數(shù)式表示一個(gè)量，并且這個(gè)量有單位時(shí)，需要把這個(gè)代數(shù)式用括號(hào)括起來，如本題中的地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)、寬等 師好，下面我們來看一個(gè)數(shù)學(xué)問題(出示投影片 211

5、B)：觀察下面等式102+112+122132+142你還能找到其他的五個(gè)連續(xù)整數(shù)，使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎? 生這個(gè)題我們也可以利用數(shù)量關(guān)系列方程 師很好，如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面的四個(gè)數(shù)該如何表示呢? 生甲因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)連續(xù)整數(shù)的差為1.所以，如果設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為x+1，x+2，x+3，x+4 生乙根據(jù)題意，則可得到方程 x2+(x+1)2+(x+2)2 =(x+3)2+(x+4)2 生丙老師，我覺得這個(gè)題也可以設(shè)中間的那個(gè)數(shù)為x，那么其余四個(gè)數(shù)依次為x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程 (x-2)2+(

6、x-1)2+x2 (x+1)2+(x+2)2 這樣行嗎? 師丙同學(xué)的思路很好， 這個(gè)問題可以有不同的設(shè)未知數(shù)的方法，同學(xué)們可靈活設(shè)未知數(shù)，即可設(shè)這五個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)，其他四個(gè)數(shù)可隨之變化 下面我們來看一個(gè)實(shí)際問題(出示投影片211 C)：如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米? 師同學(xué)們分組討論，列出方程 生甲墻與地面是垂直的，因而墻、地面和梯子構(gòu)成了直角三角形已知梯子的長(zhǎng)為10 m，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，所以由勾股定理可知，滑動(dòng)前梯子底端距墻有6 m 生乙設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm，那么滑動(dòng)后梯子底

7、端距墻(6+x)m，根據(jù)題意，利用勾股定理，可得方程 (x+6)2+(8-1)2102， 即(x+6)2+72102 師同學(xué)們討論得很完整，接下來想一想，議一議(出示投影片 211 D)：由上面三個(gè)問題，我們可以得到三個(gè)方程：(8-2x)(5-2x)18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72102 這三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)? 生甲這三個(gè)方程的每個(gè)方程的左、右兩邊都是整式 生乙我把這三個(gè)方程進(jìn)行了化簡(jiǎn)，即 (1)(8-2x)(5-2x)18， 40-26x+4x218， 4x2-26x+220 (2)x2+(x+1)2+(x+2)2 (x+3)2+(x

8、+4)2， x2+x2+2x+1+x2+4x+4 =x2+6x+9+x2+8x+16， x2-8x-200 (3)(x+6)2+72=102， x2+12x+36+49=100， x2+12x-15=0 由此可以知道：這三個(gè)方程可以化簡(jiǎn)為三項(xiàng)的和 生丙把這三個(gè)方程經(jīng)過化簡(jiǎn)后，最高次數(shù)是二次 生丁這三個(gè)方程的每一個(gè)方程中只含有一個(gè)未知數(shù) 師同學(xué)們總結(jié)得很好上面的三個(gè)方程都是只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程,等號(hào)兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，稱為整式方程，如：我們學(xué)習(xí)過的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程這三個(gè)方程還都可以化為ax2+bx+c0(a、b、c為常數(shù)，a0)的形式，這樣的方程我們叫

9、做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程 注意： 1一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)； (1)方程是整式方程 (2)它只含有一個(gè)未知數(shù) (3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2，即化簡(jiǎn)為ax2+bx+c=0時(shí)，a0 2任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0(a0)的形式,其中a0是定義的一部分，不可漏掉，否則就不是一元二次方程了 因?yàn)槿魏我粋€(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0a0的形式，所以我們把a(bǔ)x2+bx+cO(a、b、c為常數(shù)，a0)稱為一元二次方

10、程的一般形式,其中ax2、bx、c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù) 注意： (1)當(dāng)a0，b0時(shí)，方程就是一元一次方程，當(dāng)一個(gè)方程是一元二次方程時(shí)，則隱含K了條件：a0. (2)要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式 應(yīng)用、深化 課本P43隨堂練習(xí) 1從前有一天，二個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，另一個(gè)醉漢教他沿著門的兩個(gè)對(duì)角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎? 請(qǐng)根據(jù)這一問題列出方程 解：設(shè)竹竿長(zhǎng)為x尺，則門框?qū)挒?x-4)尺，門框高為(x-2)

11、尺，根據(jù)題意，得x2(x-4)2+(x-2)2， 即x2-12x+20=0 2把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). 解：方程(3x+2)24(x-3)2的一般形式是5x2+36x-320 方程的二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是36，常數(shù)項(xiàng)是-32 課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們由討論“花邊有多寬”得出一元二次方程的概念 1一元二次方程屬于“整式方程”，其次，它只含有一個(gè)未知數(shù)，并且都可以化為 ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a0)的形式 2一元二次方程的一般形式為ax2+bx+cO(a0)，一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)它的一般形式

12、定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的 3在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要性 .課后作業(yè) (一)課本P44習(xí)題21 1、2 (二)1預(yù)習(xí)內(nèi)容：P44-P46 2預(yù)習(xí)提綱 探索一元二次方程的解或近似解， 活動(dòng)與探究 1當(dāng)d、b、c滿足什么條件時(shí)，方程(a-1)x2-bx+c0是一元二次方程?這時(shí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)分別是什么?當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，方程(a-1)x2-bx+c0是一元一次方程? 過程讓學(xué)生通過討論、總結(jié)，知道：對(duì)于方程ax2+bx+c0，當(dāng)a0時(shí)是一元二次方程；當(dāng)a0且b0時(shí)，方程為bx+c=0，是一

13、元一次方程 結(jié)果 當(dāng)a1時(shí)，方程(a-1)x2-bx+c0是一元二次方程，這時(shí)，方程的二次項(xiàng)系數(shù)是a-1，一次項(xiàng)系數(shù)是-b 當(dāng)a=1且b0時(shí)，方程是一元一次方程板書設(shè)計(jì)2.1花邊有多寬(一)一、1設(shè)花邊的寬為x m，那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為(8-2x)m，寬為(5-2x)m根據(jù)題意，可得(8-2x)(5-2x)182設(shè)五個(gè)連續(xù)整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為x，那么后面四個(gè)數(shù)依次可表示為x+1、x+2、x+3、x+4根據(jù)題意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2(x+3)2+(x+4)23設(shè)梯子底端滑動(dòng)x m，那么滑動(dòng)后梯子底端距墻(x+6)m根據(jù)題意，可得(x+6)2+72102二、議一議三個(gè)方程的共

14、同特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)(2)整式方程(3)可化為ax2+bx+c0三、1一元二次方程的定義2一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c0(a0)ax2是二次項(xiàng)，a是系數(shù)bx是一次項(xiàng)，b是系數(shù)c是常數(shù)項(xiàng)四、練習(xí)五、小結(jié)六、課后作業(yè)2.1花邊有多寬(二) 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1探索一元二次方程的解或近似解 2培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和能力 (二)能力訓(xùn)練要求 1經(jīng)歷方程解的探索過程，增進(jìn)對(duì)方程解的認(rèn)識(shí)，發(fā)展估算意識(shí)和能力 (三)情感與價(jià)值觀要求 通過師生的共同活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的欲望，從而加強(qiáng)學(xué)生估算意識(shí)和能力的培養(yǎng)教學(xué)重點(diǎn) 探索一元二次方程的解或近似解教學(xué)難點(diǎn) 培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)和能

15、力教學(xué)方法 分組討論法教具準(zhǔn)備 投影片五張 第一張：花邊有多寬(記作投影片212 A) 第二張：議一議(記作投影片212 B) 第三張：上節(jié)課的問題(記作投影片 212 C) 第四張：做一做(記作投影片 212 D) 第五張：小亮的求解過程(記作投影片 212 E) 教學(xué)過程 I創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情景，引入新課 師前面我們通過實(shí)例建立了一元二次方程，并通過觀察歸納出一元二次方程的有關(guān)概念，大家來回憶一下 生甲把只含有一個(gè)未知數(shù)并且都可以化為ax2+bx+c0(a、b、c為常數(shù)，a0)的整式方程叫做一元二次方程 生乙一元二次方程的一般形式是ax2+bx+cO(a、b、c為常數(shù)，a0). 其中ax2稱為二次

16、項(xiàng)，bx稱為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng)；a和b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù) 師很好，現(xiàn)在我們來看上節(jié)課的問題：花邊有多寬(出示投影片 212 A)一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，如下圖所示，它的長(zhǎng)為8 m，寬為5 m，如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18 m2，那么花邊有多寬? 師生共析我們?cè)O(shè)花邊的寬度為x，m，那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為(8-2x)m，寬為(5-2x)m根據(jù)題意，就得到方程 (8-2x)(5-2x)18 師大家想一下：能求出這個(gè)方程中的未知數(shù)x嗎? 師這節(jié)課我們繼續(xù)來探討“花邊有多寬” 講授新課 師要求地毯的花邊有多寬，由前面我們知道：地毯花邊的寬x(m)滿足方程 (8-2x)(

17、5-2x)18 可以把它化為2x2-13x+11=0 由此可知：只要求出2x2-13x+110的解，那么地毯花邊的寬度即可求出 如何求呢? 生可以選取一些值代入方程，看能否有使得方程左、右兩邊的值都相等的數(shù)值如果有，則可求出花邊的寬度 師噢，那如何選取數(shù)值呢?大家來分組討論討論(出示投影片212 B)1x可能小于0嗎?說說你的理由2x可能大于4嗎?可能大于25嗎?說說你的理由，并與同伴進(jìn)行交流3x的值應(yīng)選在什么范圍之內(nèi)?4完成下表：x00.511.522.52x2-13x+115你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎? 還有其他求解方法嗎?與同伴進(jìn)行交流 生甲因?yàn)閤表示地毯的寬度，所以不可能取小于

18、0的數(shù) 生乙x既不可能大于4，也不可能大于25因?yàn)槿绻鹸大于4，那么地毯的長(zhǎng)度8-2x就小于0，如果x大于25時(shí)，那么地毯的寬度同樣是小于0 生丙x的值應(yīng)選在0和25之間 生丁表中的值為： 當(dāng)x0時(shí)，2x2-13x+1111(依次類推)，即x00.511.522.52x2-13x+11114.750-4-7-9 生戊由上面的討論可以知道：當(dāng)x=1時(shí)，2x2-13x+110，正好與右邊的值相等所以由此可知：x1是方程2x2-13x+11=0的解，從而得知；地毯花邊的寬為1 m 生己我沒有把原方程化為一般形式，而是把18分解為6 8然后湊數(shù)：8-2x6，5-2x3，兩個(gè)一元一次方程的解正好為同解，

19、x1 這樣，地毯花邊的寬度就可以求出來，即它為1 m 師同學(xué)們討論得真棒，接下來大家來看上節(jié)課的另一實(shí)際問題，(出示投影片 212 C)如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米? 師上節(jié)課我們通過設(shè)未知數(shù)得到滿足條件的方程，即梯子底端滑動(dòng)的距離x(m)滿足方程(x+6)2+72=102 把這個(gè)方程化為一般形式為 x2+12x-150 那么你知道梯子底端滑動(dòng)的距離是多少嗎?即你能求出x嗎?同學(xué)們來做一做(出示投影片 212 D)1小明認(rèn)為底端也滑動(dòng)了1 m，他的說法正確嗎?為什么?2底端滑動(dòng)的距離可能是2 m嗎

20、?可能是3 m嗎?為什么?3你能猜出滑動(dòng)距離x(m)的大致范圍嗎?4x的整數(shù)部分是幾?十分位是幾?生甲小明認(rèn)為底端也滑動(dòng)了1 m，他的說法不正確因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，x2+12x-15-20，即x1不滿足方程，所以他的說法不正確 生乙底端滑動(dòng)的距離既不可能是2 m，也不可能是3 m因?yàn)楫?dāng)x2時(shí)，x2+12x-15=130，當(dāng)x=3時(shí)，x2+12x-15=300，即x2，x3都不滿足方程，所以都不可能 生丙因?yàn)樘葑踊瑒?dòng)的距離是正值，所以我選取了一些值，列表如下：x01234x2+12x-15-15-2133049 由表中可知，當(dāng)x1，x2時(shí)，x2+12x-15的值分別為-2，13，而0介于負(fù)數(shù)和正數(shù)之間

21、，所以我猜測(cè)；的大致范圍是在1和2之間 生丁由剛才的討論可知：x的大致范圍是在1和2之間，所以x的整數(shù)部分是1我在1和2之間取了一些值，如下表：x1.11.21.31.41.51.61.7x2+12x-15-0.590.842.293.765.256.768.29 由表中可知：x在11和12之間，所以x的十分位是1 師同學(xué)們回答得很好，下面來看小亮的求解過程(出示投影片212 E) 小亮把他的求解過程整理如下：x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513所以1x15進(jìn)一步計(jì)算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以11x12因此J的整數(shù)部分是1，十分位是1你們的結(jié)果怎樣呢?生齊聲與他的一樣 師很好，對(duì)于這兩個(gè)問題的具體解決，我們是先根據(jù)實(shí)際問題確定了其解的大致范圍，然后通過具體計(jì)算進(jìn)行兩邊“夾逼”，逐步獲得了問題的解或近似解 “夾逼”思想是數(shù)學(xué)中近似計(jì)算的重要思想，大家應(yīng)了解 接下來，我們來解決上節(jié)課的第2個(gè)問題，以鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí) 課堂練習(xí) 課本P46隨堂練習(xí) 1五個(gè)連續(xù)整數(shù)，前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和，你能求出這五個(gè)整數(shù)分別是多少嗎? 解：設(shè)五個(gè)連續(xù)整