最新2017用構造法求數(shù)列的通項公式資料

1、用構造法求數(shù)列的通項公式求數(shù)列的通項公式是高考重點考查的內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列-等差數(shù)列等比數(shù)列可直接根據(jù)它們的通項公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構造轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，之后再應用各自的通項公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的具體應用例1:（06年福建高考題）數(shù)列 玄 中,a1 =1,an1 =2an T貝V an二（）A 2nB. 2n 1C. 2n -1D 2n 1解法 1: an d = 2an 1-an 11 =2an 2 =2(an 1)又 a11=2空丄2an 1£n d是首項為2公比為2的等比數(shù)列an '2 2nJL =2n, an =2n -1所以選 C解法

2、2歸納總結：若數(shù)列：an 滿足an q = pan * q（ p = 1,q為常數(shù)），則令an二p（an，'）來構造等比數(shù)列，并利用對應項相等求的值，求通項公式。例 2 :數(shù)列 Sn 沖，a1, a3,an 之=3an 1 - 2a.，則 a.二。解: an 2 -an 1=2& 1 _an）a2 -a1 =2- a -a*/為首項為2公比也為2的等比數(shù)列。n -1“、an _an 4 =2, (n>1)n>1時an 二(an - an 訂)(an ± an _2 ) (a _ ai)ai=2n.2心亠. -21n=2n1-21-2顯然n=1時滿足上式an

3、 =2n -1小結：先構造'an-an 等比數(shù)列，再用疊加法，等比數(shù)列求和求出通項公式, 例3:已知數(shù)列 a /中 a1 =5, a2 =2, an =2an 3an,(n _ 3)求這個數(shù)列的通項公式。解：；a. = 2an _13an _2an ' an 1 - 3(an 1' an_2)又a1 a2 =7,如 a.形成首項為7,公比為3的等比數(shù)列， 則 an - a.=73n°又 an _3an4 -(an 43an 2 ),a2 -3a -13 ,忌-3an4沁成了一個首項為一13,公比為一1的等比數(shù)列則 an -3an4 =(-13) (-1)2 3

4、 4an = 7 3n'13 (-1)nJ an3n4 131)n444小結：本題是兩次構造等比數(shù)列，屬于構造方面比較級，最終用加減消元的方法確定出數(shù)列的 通項公式。例4:設數(shù)列& '的前項和為Sn,若2an -2n =Sn成立，(1)求證： Q - n公一1是等比數(shù)列。(2)求這個數(shù)列的通項公式證明：當 n =1,b a1 -2 =(b -1)a1, a1 = 2又 b 為-2n =(b -1) Snb ani _2n1 =(b-1) Sni b ani -b an -2n =(b-1) a. .1an 1 = b an - T當b = 2時，有an彳=2an 2na

5、n 1 -(n 1) 2n =2an 2n -(n 1) 2n =2 (a n 2n) 又 a1 -21J =1-d -n 2, 為首項為1,公比為2的等比數(shù)列，_n2n=(n 1)2n小結：本題構造非常特殊,要注意恰當?shù)幕喓吞崛」蚴?，本題集中體現(xiàn)了構造等比數(shù)列的價值與魅力，同時也彰顯構造思想在高考中的地位和作用。例 5：數(shù)列 滿足 a1 =3,an d -2an ' 3 -2n 1，則 an =A . (3n -1) 2n B . (6n-3) 2nJ C. 3(2n-1) 2n 1 D . (3n-2) 2n_解:an2an 3 2n Janan 12* 12n丿直卜構成了一個

6、首項這.213-，公差為3的等差數(shù)列,2an33.Y 5 -1) 3=3n -2n223an =2 2nl (3n)=(6n-3) 2nJ 所以選 B。aa小結：構造等比數(shù)列，注意形-，當nn 1時，變?yōu)? 。2n2門卡例6 :已知函數(shù)f (x) =( . x . 2)2, (x 一 0)，又數(shù)列玄？中ai = 2，其前n項和為Sn, (n N ”)，對所有大于1的自然數(shù)n都有Sn = f (Sn)，求數(shù)列n 的通項公式。Si 二 ai = . 2解：f(x) =C.X 一 2)2,Sn = f(Sn)=(.Sn2)2 2 Sn是首項為2，公差為、2的等差數(shù)列。.Sn = 2 (n J)、2

7、- 2n, Sn = 2n?。2 2n 丄2時，an -Sn -Sn4 - 2n -2(n T) =4n -2且當n=1時，a1=2=4 1-2符合條件通項公式為an =4n '2例7:( 2006山東高考題)已知a1 =2，點(an, an 1)在函數(shù)f (x x2 x的圖象上，其中n = 1,2,3, 求數(shù)列Qn:的通項公式。解： f (x) =x2 2x又.(an,an 1)在函數(shù)圖象上2an 1=an2an2 2an 1 1 = an ' 2an1 二(an1)lg(an 11) =2lg(an 1)lgn 11)lg(an 1)=2, lg(a 1) = lg 3lg

8、(an1)?是首項為lg 3公比為2的等比數(shù)列n 12n lgan2n 1 Ig3 = lg322“丄.an 1 = 3nan = 31小結：前一個題構造出.Sn為等差數(shù)列，并且利用通項與和的關系來確定數(shù)列的通項公式，后一個題構造 歸an -1 ?為等比數(shù)列，再利用對數(shù)性質求解。數(shù)列與函數(shù)的綜合運用是當今高考的重點與熱點，因此我們在解決數(shù)列問題時應充分利用函數(shù)有關知識，以它的概念與性質為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列的橋梁 ，揭示它們之間內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地解決數(shù)列問題。例& (2007 天津高考題)已知數(shù)列an 滿足 a2,an'3 'n 1 ( ) -2n,( n N *)其

9、中0，求數(shù)列的通項公式方法指導：將已知條件中的遞推關系變形，應用轉化成等差數(shù)列形式，從而為求an?的通項公式提供方便，一切問題可迎刃而解。解：an q =an1 (2 - ) 2n,(n N*0)an(-)n(-)nan 1n 11,。所以an1 -n 1-(2)n1 -ann_(2)n =1,. a1 _2 =0h人人兒0,公差為n1又 =ai1公差3的等差數(shù)列。2例9 :數(shù)列玄沖，若心,an廠盤，則“21683A.B .C.D.-191554解: an 1an 11 3an丄3J- 1 3anan 1anan1 156n - 52(n -1)3 = 3n=, 'an =an 2226n -522a4所以選A6 漢4 519變式題型：數(shù)列a沖，a1 - 2, an 1 -2an-，求a13ar1解:an 12an1 3an1= 1 3an =3an 12an 2 2令丄圮,則-廠331an 11 1亠2疔一3),又一3 5a121丄-3，是首項為耳：51一5公比為丄的等比數(shù)列22丄-3-5(2)an=3-5(丄)2 25 12(2)n-1小結：an 1二f (an)且為一次分式型或構造出倒數(shù)成等差數(shù)列或構造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列