八年級(jí)上冊(cè)一次函數(shù)經(jīng)典例題

1、一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個(gè)變量x, y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b (k, b為常數(shù)，kw。的形式，則稱(chēng) y是x的一次函數(shù)(x為自變量)，特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱(chēng)y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3, y=-x+2, y= lx等都是一次函數(shù)，y=-x, y=-x都是正比例函數(shù).22【說(shuō)明】(1) 一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)函 數(shù)的實(shí)際意義來(lái)確定.(2) 一次函數(shù)y=kx+b (k, b為常數(shù)，bw。中的 幺次”和一元一次方程、一元一次 不等式中的 "次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1, 一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)

2、， b可為任意常數(shù).(3)當(dāng)b=0, kw。時(shí)，y= kx仍是一次函數(shù).(4)當(dāng)b=0, k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的圖象把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系 內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象. 畫(huà)函數(shù)圖象一般分為三步： 列表、描點(diǎn)、連線.知識(shí)點(diǎn)3一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b (k, b為常數(shù)，kw。的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b 的圖象也稱(chēng)為直線y=kx+b.由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時(shí)，只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線即可，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與 y軸的交點(diǎn)(0, b)

3、,直線與x軸的交點(diǎn) (-b, 0).但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn).畫(huà)正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)(0, k0), (1, k)即可.知識(shí)點(diǎn)4 一次函數(shù)y=kx+b (k, b為常數(shù)，kw。的性質(zhì)(1) k的正負(fù)決定直線的傾斜方向；k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；k < O時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.(2) |k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大(直 線陡)，|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越小(直線緩)；(3) b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上

4、；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù).(4)由于k, b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過(guò)的象限也不同；如圖11 18 (1)所示，當(dāng)k>0, b>0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限(直線不經(jīng) 過(guò)第四象限)；如圖11-18 (2)所示，當(dāng)k>0, b>O時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限(直線不 經(jīng)過(guò)第二象限)；如圖11-18 (3)所示，當(dāng)k<O, b>0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限(直線不 經(jīng)過(guò)第三象限)；如圖11-18 (4)所示，當(dāng)k<O, b<O時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限(直線不 經(jīng)過(guò)第一象限).(5)由于兇決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說(shuō)明

5、這兩個(gè)銳角的大小相等， 且它們是同位角，因此，它們是平行的.另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線 y=x+1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的.知識(shí)點(diǎn)5正比例函數(shù)y=kx (kw。)的性質(zhì)(1)正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；(2)當(dāng)k>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限隨乂的增大而增大；(3)當(dāng)k<0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限隨乂的增大而減小.知識(shí)點(diǎn)6點(diǎn)P (xo, yo)與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系(1)如果點(diǎn)P(xo,yo)在直線y=kx+b的圖象上，那么xo,yo的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b ;(2)如果xo, yo是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以 xo,

6、 y0為坐標(biāo)的點(diǎn)P (1, 2)必在函數(shù)的圖象上.例如：點(diǎn)P (1, 2)滿足直線y=x+1 ,即x=1時(shí)，y=2,則點(diǎn)P (1, 2)在直線y=x+l 的圖象上；點(diǎn)P' (2, 1)不滿足解析式y(tǒng)=x+1,因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=3,所以點(diǎn)P' (2, 1) 不在直線y=x+l的圖象上.知識(shí)點(diǎn)7確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件(1)由于正比例函數(shù)y=kx (kw。中只有一個(gè)待定 系數(shù)k,故只需一個(gè)條件(如一對(duì)x, y的值或一個(gè)點(diǎn)) 就可求得k的值.(2)由于一次函數(shù)y=kx+b (kw。中有兩個(gè)待定系 數(shù)k, b,需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于 k, b的方程， 求得k, b

7、的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì) x, y 的化知識(shí)點(diǎn)8待定系數(shù)法圖 11 - 1將先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知常數(shù)系數(shù))，再 根據(jù)條件列出方程(或方程組)，求出未知系數(shù)，從而得 到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法.其中未知系數(shù)也 叫待定系數(shù).例如：函數(shù)y=kx+b中，k, b就是待定系數(shù).知識(shí)點(diǎn)9用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b;(2)將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程(組)；(3)求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式.例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, 1)和(-1,-3)求此一次函數(shù)的關(guān)系式.解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y=kx+b (kw。，由題意

8、可知，1 2k b,3 k b,3k解 b此函數(shù)的關(guān)系式為y=-x 5.33【說(shuō)明】 本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式， 具體步驟如下：第一步，設(shè)（根 據(jù)題中要求的函數(shù) 設(shè)"關(guān)系式y(tǒng)=kx+b,其中k, b是未知的常量，且kw。；第二步，代（根 據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個(gè)方程（或方程組），求出待定系數(shù)k, b）;第三步，求（把求得的k, b的值代回到 設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫(xiě)（寫(xiě) 出函數(shù)關(guān)系式）.思想方法小結(jié)（1）函數(shù)方法.函數(shù)方法就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)分析題中的數(shù)量關(guān)系， 抽象、升華為函數(shù)的模型， 進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題的方法.函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究

9、兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 靈活運(yùn)用函數(shù)方 法可以解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.（2）數(shù)形結(jié)合法.數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法 在解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，能起到事半功倍的作用.知識(shí)規(guī)律小結(jié) （1）常數(shù)k, b對(duì)直線y=kx+b（kw。位置的影響.當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)b<0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交.當(dāng)k, b異號(hào)時(shí)，即-b>0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；k當(dāng)b=0時(shí)，即-b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；k當(dāng)k, b同號(hào)時(shí)，即-b<0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交.k當(dāng)k>O, b>O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一

10、、二、三象限；當(dāng)k>0, b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)b>O, b<O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；當(dāng)k<O, b>0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)k<O, b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限；當(dāng)b<O, b<O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限.(2)直線y=kx+b (kw。與直線y=kx(kw0)位置關(guān)系.直線y=kx+b(k*所行于直線y=kx(k w0)當(dāng)b>0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b； 當(dāng)b<O時(shí)，把直線y=kx向下平移|bW單位，可得直線y=kx+b.(3)直線 bi=kix+bi 與直線

11、y2=k2x+b2 (kiw0, k2W。的位置關(guān)系.kiw2 yi與y2相交；公 kik?Dyi與y2相父于y軸上同一點(diǎn)(0, bi)或(0, b2)；bi b2?2，y1與y2平行;bib2""，yi與y2重合.bib211 / 20典例講解基本題本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件.例1下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(1) y=- -x;(2) y=-2 ;(3) y=-3-5x;2x(4) y=-5x2;(5) y=6x- -(6) y=x(x-4)-x22基礎(chǔ)應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)的

12、應(yīng)用主要包括：(1)會(huì)確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；(2)會(huì)畫(huà)一次函 數(shù)(正比例函數(shù))圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決 實(shí)際問(wèn)題；(4)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式.例3 一根彈簧長(zhǎng)15cm,它所掛物體的質(zhì)量不能超過(guò)18kg,并且每掛1kg的物體， 彈簧就伸長(zhǎng)0. 5cm,寫(xiě)出掛上物體后，彈簧的長(zhǎng)度 y (cm)與所掛物體的質(zhì)量x(kg)之 問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量 x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù).學(xué)生做一做烏魯木齊至庫(kù)爾勒的鐵路長(zhǎng)約 600千米，火車(chē)從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度 為58千米/時(shí)，則火車(chē)離庫(kù)爾勒的距離 s (千米)與行駛時(shí)間t (時(shí))之間的

13、函數(shù)關(guān)系式 是.例4某物體從上午7時(shí)至下午4時(shí)的溫度M ()是時(shí)間t (時(shí))的函數(shù)：M=t2-5t+100(其中t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí))，則上午10時(shí)此物體的溫度為 C.例5已知y-3與x成正比例，且x=2時(shí)，y=7.(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；(3)當(dāng)y=4時(shí)，求x的值.例6若正比例函數(shù)y= (1-2m) x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (xi, yi)和點(diǎn)B (x2, y2),當(dāng)xi<X2時(shí)，yi>y2,則m的取值范圍是()A. m< OB. m>0C. m< 1D. m>M2學(xué)生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15

14、萬(wàn)元，計(jì)劃今后每年增加2萬(wàn)元.(1)寫(xiě)出年產(chǎn)值y (萬(wàn)元)與年數(shù)x (年)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(3)求5年后的產(chǎn)值.例7已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖11-22所示，求函數(shù)表達(dá)式.例8求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-1）,且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識(shí)的綜合應(yīng) 用；（3）與實(shí)際生活相聯(lián)系，通過(guò)函數(shù)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.例8已知y+a與x+b （a, b為是常數(shù)）成正比例.（1） y是x的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？例9某移動(dòng)通訊公司開(kāi)設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：

15、全球通”使用者先交50元月租費(fèi)，然后 每通話1分，再付電話費(fèi)0. 4元；神州行”使用者不交月租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)0. 6 元(均指市內(nèi)通話)若1個(gè)月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為 yi元和y2元.(1)寫(xiě)出yi, y2與x之間的關(guān)系；(2) 一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？(3)某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi) 200元，則選擇哪種通訊方式較合算？例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時(shí)，y=0.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(3)觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y>(P(4)若點(diǎn)(m, 6)在該函數(shù)的圖象上，求 m的值;(5)設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，(

16、2)中的圖象與x軸、y軸分別交于A , B兩點(diǎn)，且S%bp=4,求P點(diǎn)的坐標(biāo).例 11 已知一次函數(shù) y= (3-k) x-2k2+18.(1) k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？(2) k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2) ?(3) k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線 y=-x?(4) k為何值時(shí)，y隨x的增大而減?。坷?2 判斷三點(diǎn)A (3, 1), B (0,-2), C (4, 2)是否在同一條直線上.#/20探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué) 問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用.例13 老師講完 乙次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問(wèn)題：(1) x從0開(kāi)始

17、逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到30?這說(shuō)明了 什么？(2)直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說(shuō)：“y=6x勺函數(shù)值先達(dá)到30,說(shuō)明y=6x比y=2x+8的值增長(zhǎng)得快.”乙生說(shuō)： 直線y=-x與y=-x+6是互相平行的.”你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？例14某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說(shuō)：如果老師買(mǎi)全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠.”乙旅行社說(shuō)： 所有人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠.”已知全票價(jià)為240 元.(1)設(shè)學(xué)生人數(shù)為x,甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表 示兩家旅行社的收費(fèi)；(2)就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠.學(xué)生做一做某公司

18、到果園基地購(gòu)買(mǎi)某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問(wèn)醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對(duì)購(gòu)買(mǎi)量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷(xiāo)售方案.甲方案：每千克 9元，由基地 送貨上門(mén)；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車(chē)運(yùn)回，已知該公司租車(chē)從基地到公司的 運(yùn)輸費(fèi)為5000元.（1）分別寫(xiě)出該公司兩種購(gòu)買(mǎi)方案的付款 y （元）與所購(gòu)買(mǎi)的水果量x （千克）之間 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 X的取值范圍；（2）當(dāng)購(gòu)買(mǎi)量在什么范圍時(shí)，選擇哪種購(gòu)買(mǎi)方案付款少？并說(shuō)明理由.例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3&x0,6相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5<y-2,則這個(gè)函數(shù)的解析式為.13 / 20中考試題預(yù)測(cè)例1

19、某地舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y (元)包括兩部分：一部分是租用比賽場(chǎng)地等固定 不變的費(fèi)用b (元)，另一部分與參加比賽的人數(shù) x (人)成正比例，當(dāng)x=20時(shí)y=160O; 當(dāng) x=3O 時(shí)，y=200O.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)動(dòng)果有50名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，且全部費(fèi)用由運(yùn)動(dòng)員分?jǐn)?，那么每名運(yùn)動(dòng)員需要 支付多少元？例2 已知一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)x=-4時(shí)，y的值為9;當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-3.(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式。(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象.例3如圖11-27所示，大拇指與小拇指盡量張開(kāi)時(shí)，兩指尖的距離稱(chēng)為指距.某項(xiàng) 研究表明，一般情況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)

20、，下表是測(cè)得的指距與身高的一組數(shù)據(jù).指距d/cm20212223身高h(yuǎn)/cm160169178187（1）求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫(xiě)出自變量d的取值范圍）（2）某人身高為196cm, 一般情況下他的指距應(yīng)是多少？汽車(chē)由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車(chē)的平均速度是 100千米/時(shí),那么汽車(chē)距成都的路程s （千米）與行駛時(shí)間t （時(shí)）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖11 28所示）表示應(yīng)為（例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過(guò)第二象限；（2）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-5）.請(qǐng)你寫(xiě)出一 個(gè)同時(shí)滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式:個(gè)人的年齡，用例6人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān).如果用a表b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=0. 8 （220-a）.（1）正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè) 16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是多 少