城區(qū)公路選址問(wèn)題論文設(shè)計(jì)寫(xiě)作

1、實(shí)用文檔城區(qū)公路選址問(wèn)題摘要城區(qū)公路選址是一項(xiàng)利民工程，為將該工程做得更好，建設(shè)部門(mén)在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)最大限 度減少造價(jià)，從而節(jié)約成本，達(dá)到經(jīng)費(fèi)最省。為此目的，本文利用函數(shù)化思想建立模型 求解并給出了五種不同要求下的最優(yōu)方案。由題目所給數(shù)據(jù)（圖1）可知，直線(xiàn)AB右上方單位區(qū)域中的單位建設(shè)費(fèi)用小于 AB 左下的單位建設(shè)費(fèi)用，且數(shù)據(jù)矩陣關(guān)于其次對(duì)角線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。因而轉(zhuǎn)彎點(diǎn)（無(wú)論一個(gè)或兩個(gè)） 均應(yīng)位于AB右上區(qū)域。問(wèn)題1要求至多1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且在網(wǎng)格點(diǎn)上，可分0個(gè)和1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)兩種情況。對(duì)于 0個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，即直線(xiàn)AB,通過(guò)幾何方法得出建設(shè)費(fèi)用為14.9907百萬(wàn)元。對(duì)于1個(gè)轉(zhuǎn)彎 點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上的問(wèn)題，我們利用函數(shù)化思想建立

2、函數(shù)關(guān)系模型，運(yùn)用枚舉法和權(quán)重法，并利用 MATLAB編程直接輸出最小費(fèi)用。比較可知，恰有一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)時(shí)較無(wú)轉(zhuǎn)彎點(diǎn) 為優(yōu)。其方案是選擇坐標(biāo)為（5,6）或（6,5）的點(diǎn)，建設(shè)費(fèi)用最小為14.707百萬(wàn)元。對(duì)于問(wèn)題2,我們?cè)趩?wèn)題1解法的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)修改 MATLAB程序，使之適用于 兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的選擇，得出最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)為（4,7）和（7,4）時(shí)，建設(shè)費(fèi)用最小，為14.6241 百萬(wàn)元。與問(wèn)題1的結(jié)果比較可知，選擇兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)較一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)更優(yōu)。對(duì)于問(wèn)題3,要求轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在網(wǎng)格線(xiàn)上，即至少有一個(gè)坐標(biāo)為整數(shù)，分一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)和 兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)兩種情況。因?yàn)檎麛?shù)最優(yōu)點(diǎn)是最接近理想最優(yōu)點(diǎn)的整數(shù)點(diǎn)，我們可以在問(wèn)題 2解法的基礎(chǔ)上

3、，將循環(huán)語(yǔ)句中的步長(zhǎng) 1修改為0.01 ,運(yùn)行結(jié)果說(shuō)明，一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的最 優(yōu)選擇是（6, 4.57）,費(fèi)用為14.6989百萬(wàn)元；兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的最優(yōu)選擇是（3.62,7 ）和 （7,3.62）,費(fèi)用為14.6201百萬(wàn)元。因而選擇兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)更優(yōu)。對(duì)于問(wèn)題4,坐標(biāo)點(diǎn)可以為區(qū)間0,9中的任意實(shí)數(shù)值，我們?cè)趩?wèn)題三解法的基礎(chǔ)上 對(duì)最優(yōu)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)均用步長(zhǎng) 0.01循環(huán)，得出最優(yōu)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)為（3.58,7.32）和（7.32,3.58 ）,此時(shí)最小費(fèi)用為14.54百萬(wàn)元?？梢?jiàn)較問(wèn)題3的答案更優(yōu)。對(duì)于問(wèn)題5,每個(gè)點(diǎn)的單位建設(shè)費(fèi)用都不同，且單位建設(shè)費(fèi)用是連續(xù)函數(shù)。我們用 曲線(xiàn)積分方法建立總費(fèi)用模型，求出變下限積分函

4、數(shù)的最小值，得出最優(yōu)點(diǎn)為（5.31,5.31 ），最優(yōu)建設(shè)費(fèi)用為14.707百萬(wàn)元，與問(wèn)題1相同。最后，我們針對(duì)問(wèn)題的實(shí)際情況，對(duì)論文的優(yōu)缺點(diǎn)做了評(píng)價(jià)，提出了幾個(gè)改進(jìn)方向， 以便用于指導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用。關(guān)鍵詞：函數(shù)化建模 MATLAB編程枚舉法最優(yōu)方案曲線(xiàn)積分法文案大全一、 問(wèn)題重述某區(qū)政府計(jì)劃在下列區(qū)域(見(jiàn)圖1)修建一條從A (0,9)到B (9,0)的直線(xiàn)型公路, 由于涉及路面拆遷等因素，各地段建設(shè)費(fèi)用有所不同，圖 1中的數(shù)字代表該區(qū)域公路單 位建設(shè)費(fèi)用(單位：百萬(wàn)元)。未標(biāo)數(shù)字的任何地方單位建設(shè)費(fèi)用均為 1。圖1的每個(gè)網(wǎng) 格長(zhǎng)與寬都是1個(gè)單位。每個(gè)網(wǎng)格的邊界上建設(shè)費(fèi)用按該地區(qū)最小單位費(fèi)用計(jì)算。

5、請(qǐng)你按建設(shè)部門(mén)的如下具體要求，從建設(shè)費(fèi)用最省的角度，給出最優(yōu)的方案。(1)公路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格點(diǎn)上。(2)公路至多可以有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格點(diǎn)上。(3)公路至多只能有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的網(wǎng)格線(xiàn)上。(4)公路至多只能有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。(5)如果各區(qū)域的單位建設(shè)費(fèi)用為1.5-0.1/(x-4)2+(y-4)2 (百萬(wàn)元)，公路至多只能 有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。圖1問(wèn)題分析針對(duì)問(wèn)題一：需要求出當(dāng)公路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的 網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)所需的費(fèi)

6、用最省的目標(biāo)值。首先，我們計(jì)算出沒(méi)有轉(zhuǎn)彎點(diǎn)時(shí)花費(fèi)為 14.9907百萬(wàn)元。對(duì)于有一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的，我 們利用函數(shù)化建模思想將W與與、n的關(guān)系用數(shù)學(xué)方程式表達(dá)出來(lái)，接著利用MATLAB 編程將函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算，使用枚舉法得出所有可能的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的值，最后通過(guò)查找語(yǔ) 句找出所得數(shù)據(jù)中的最小值，在與沒(méi)有轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的花費(fèi)比較，較小的即為可用的最優(yōu)方案。針對(duì)問(wèn)題二：需要求出當(dāng)公路至多可以有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的 網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)所需的費(fèi)用最省的目標(biāo)值。在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，依舊利用函數(shù)化建模思想，經(jīng)過(guò)分析，將 MATLAB程序中的一個(gè)變量增加為兩個(gè)，通過(guò)枚舉法，即可得出使得 W 最小的兩個(gè)坐標(biāo)值。針對(duì)問(wèn)題三：

7、需要求出當(dāng)公路至多只能有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在圖1所示的 網(wǎng)格線(xiàn)上時(shí)所需的費(fèi)用最省的目標(biāo)值，坐標(biāo)點(diǎn)至少有一個(gè)為小數(shù)，在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上設(shè) 定x或y其一必為小數(shù)，即步長(zhǎng)改為0.01，思想同二。針對(duì)問(wèn)題四：需要求出當(dāng)公路至多只能有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)但轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū) 域的任何位置時(shí)所需的費(fèi)用最省的目標(biāo)值。此時(shí)，坐標(biāo)點(diǎn)為0-9之間的任意實(shí)數(shù)，有兩種情況：一種為有一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，另一種為有兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)。在問(wèn)題一、二的基礎(chǔ)上，針對(duì) 第一種情況，只需將第一問(wèn)的程序中的步長(zhǎng)改為 0.01 ;針對(duì)第二種情況，只需將第二問(wèn) 程序中的步長(zhǎng)改為0.01 ,通過(guò)比較兩種情況下的值，可得出最優(yōu)方案。針對(duì)問(wèn)題五：如果各區(qū)域的

8、單位建設(shè)費(fèi)用為1.5-0.1/(x-4)2 +(y-4)2 (百萬(wàn)元)，公 路至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在圖1所示區(qū)域的任何位置。因?yàn)槊總€(gè)點(diǎn)的單 位建設(shè)費(fèi)用不同，但又是連續(xù)變化的，故我們可以利用微積分法思想，假設(shè)在極小的一 段路程內(nèi)建設(shè)費(fèi)用是相同的，由此建立一個(gè)積分方程，通過(guò)MATLAB編碼找出花費(fèi)最小 值，從而得出最優(yōu)方案。三、模型的假設(shè)1、區(qū)域內(nèi)所有位置的路面狀況均相同2、區(qū)域內(nèi)所有位置的路面條件均相同3、不考慮軟件計(jì)算帶來(lái)的極小誤差4、地理環(huán)境對(duì)路線(xiàn)的設(shè)計(jì)沒(méi)有影響四、符號(hào)說(shuō)明(1) P(m,n)：?jiǎn)无D(zhuǎn)彎點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) P1 (m, n) ：雙轉(zhuǎn)彎點(diǎn)中靠近A點(diǎn)的坐標(biāo)；(3) P2

9、(a,b):雙轉(zhuǎn)彎點(diǎn)中靠近B點(diǎn)的坐標(biāo)；(4) W:總建設(shè)費(fèi)用；(5) 6 ：?jiǎn)挝粎^(qū)域的公路長(zhǎng)度；(6) ti ：第i條路段單位建設(shè)費(fèi)用；(7) Vi :第i條路段費(fèi)用；(8) 乙：第i條路段與網(wǎng)格線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)矩陣；(9) w/第i條路段與網(wǎng)格線(xiàn)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)矩陣；五、模型的建立與求解9.1 至多只能有1個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在網(wǎng)格點(diǎn)上。9.1.1 建立模型(1)沒(méi)有轉(zhuǎn)彎點(diǎn)時(shí)：W=y2x2x (1+1.1 +1.2 +1.3+1.4) =14.9907 (百萬(wàn)元)(2)有一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)時(shí)：利用函數(shù)化思想，建立 W與s、ti的函數(shù)關(guān)系：第1步：在網(wǎng)格點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(x,y)(圖1),根據(jù)直線(xiàn)兩點(diǎn)式方程

10、:(yy1)(x2x1)=(丫2 y1)(xx1),可得直線(xiàn) ap、pb的方程為AP : (y - n)( -m) = (9 - n)xPB : ( y - n)(9 - m) = -(x -9)nL1X口LILILI1.1LIL1XLiypl，】.l14L：L3LlJ14L1L11.4XL31.111L1L3L4L4XLil1114L314LSL3XpL111L1Li12LSuXVLI11L11.1LLU11LI圖1第2步：由直線(xiàn)方程可求得 AP與x=i(i=0、1、2xp)和y=j(j=y p8、9)的 所有交點(diǎn)，并按x從小到大的排序，(Zi, Wi) (i=1 , 2,3, 4)取(Zi

11、, Wi)和(Zi4, w1)則可以根據(jù)它們的中點(diǎn)得到這兩點(diǎn)的路段需要的加權(quán)權(quán)3重，即:1.4A=*x, y)|3 <x <5,3< y <51.3A2 =&x, y)|2<x<6,2 <y <6/At =<1.2A3 ="x,y)|1 <x <7,1 <y <7/(&UAi)1.1 A=(x, y)|0Ex<8,0E y <8/(AUA2UAi)1.A5 -'(x, y) 10MxM 9,8 < y < 9.或.8 < x :二 9,0 < y

12、< 9)PB因此對(duì)于si =，(zi zi)2 +(wi wil)2有vi = sit ,累加可得AP段公路的費(fèi)用 段公路的費(fèi)用同理可得。故此總費(fèi)用的表達(dá)式為：W J vi c sit5.1.2 軟件求解根據(jù)枚舉法，利用Matlab軟件求解（程序見(jiàn)附錄一），流程圖如圖2：x=1y=1圖2求解W的流程圖從MATLAB程序運(yùn)行結(jié)果可以看出，使得 W最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,6）和（6,5） 止匕時(shí)，Wmin =14.707百萬(wàn)元。因?yàn)?14.707<14.9907所以，將轉(zhuǎn)彎點(diǎn)設(shè)在坐標(biāo)為（5,6）或（6,5）的網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)，能使建設(shè)費(fèi)用最省,5.1.3 可靠性分析在該問(wèn)題中，我們采用枚舉法，

13、對(duì)所有情況下所需的建設(shè)費(fèi)用進(jìn)行了全面的求解, 從中得到了使得 W最小的P點(diǎn)，故結(jié)論可靠。5.2至多可以有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建在網(wǎng)格點(diǎn)上。5.2.1 判斷公路的大致走向5.2.1.1 公路在直線(xiàn)AB的上方以直線(xiàn)AB為對(duì)稱(chēng)軸，上方區(qū)域的單位建設(shè)費(fèi)用要低于其下方對(duì)應(yīng)區(qū)域的單位建設(shè)費(fèi)用。如圖4所示，若有某段公路在直線(xiàn) AB的下方，則以直線(xiàn)AB為對(duì)稱(chēng)軸，得到與其對(duì)稱(chēng)的公路。兩公路長(zhǎng)度相等，但下方價(jià)格明顯高與上方，故公路應(yīng)在直線(xiàn)AB的上方。XLILILILlLlLIy7sLILl1.1LItrXLSXLl1.111L：XL4XLI7.lLILILIXUXLl可LILILIL)XL)11LiLILiL!

14、yLILILILILILlLl1.15.2.1.2公路呈向下趨勢(shì)若公路趨勢(shì)如圖5所示，路段P1P2向上，水平或豎直，則連接AP2,則易得公路AP2的建設(shè)費(fèi)用低于A- P1- P2段的建設(shè)費(fèi)用I、LlLl11 1LlULlLlXN%LlLlLl1.1X13Ll1.1LlL>LlL4XLlLlLl1.1Ll14UXLlxlL，LJL)L3L：LSLlXLlllLlItllLlLlLlLlLl11LlLlLlLl所以，我們得到公路的大致走向，如圖 6所示:YLILI五LILILILI11LIVXLtLI1.1LIllLIXLILI1J14LI111.1X141.1LILILIL414LJLI1

15、4LSL)1114XX11J.211Li1!LtLIXLI1.1LILILILILLI圖6其坐標(biāo)特點(diǎn)為：m < a ; n > b5.2.2建立模型第一步：根據(jù)兩點(diǎn)的位置關(guān)系，在網(wǎng)格點(diǎn)上任取兩點(diǎn)P1(m,n), P2(a,b),如圖7。根據(jù)直線(xiàn)兩點(diǎn)式方程：(y-y1)(x2- Xi) =(y2 -y1)(x-xi)，得到直線(xiàn)AR, RP2,P2B的方程：AR : (y - 9) m= (m- 9 ) xPP2 ：( y - n)( a - m)=( b - n )( x - m )P2B (y - b ) (9 - a ) =-b ( x - a )弋LIXL/*iLlLI11LI

16、LIVLILIVP2>LILILILJXULJLli14LILIKXLI1.1LI1.1LIL4XLILI11UUUL3LlLILILIuLIL!KdLILILI11LILILILl圖7第二步：根據(jù)直線(xiàn)方程可求得直線(xiàn) AR與x=i(i=0、1、2xp4D y=j(j=y p8、9)的所有交點(diǎn),并按x從小到大的排序,即：(Zi, Wi) (i=1 , 2,3, 4)取(Zi, Wi)和(Zu, Wi)則可以根據(jù)它們的中點(diǎn)得到這兩點(diǎn)的路段需要的加權(quán)權(quán) 重，即：1.4A=(x, y)|3 <x <5,3< y 父5)1.3A2 =x, y)|2<x<6,2 <

17、;y <6'At =1.2A3 =<x,y)|1 <x <7,1 cy <7>(A2UAi)1.1 A4(x, y)|0Wx<8,0W y <8/(A3UA2UA1)1.A5 =；(x, y) | 0 < x < 9,8 三 y 三 9.或.8 < x :二 9,0 < y < 9)第3步：對(duì)于6 =，億-Zi)2 +(Wi - Wi)2有m =s，累加彳#到APi段公路的費(fèi)用,同理得到P1P2, P2B段公路的費(fèi)用。故整條公路的總費(fèi)用表達(dá)式為：W = M =st5.2.2軟件求解5.2.2.1 當(dāng)有兩個(gè)轉(zhuǎn)彎

18、點(diǎn)時(shí)編寫(xiě)Matlab編程，利用枚舉法，得到所有可能得到的兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的情況時(shí)所需要的總建設(shè)費(fèi)用 W程序見(jiàn)附錄二，分析流程圖如圖8:圖8求兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)的流程圖經(jīng)過(guò)分析，得出使得 W最小的兩點(diǎn)坐標(biāo)為（4,7）和（7,4）,此時(shí)，Wmin =14.6241 百萬(wàn)元。所以，將兩轉(zhuǎn)彎點(diǎn)分別設(shè)在坐標(biāo)為(4,7)和(7,4)的網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)，能使建設(shè)費(fèi)用 最省，即為最優(yōu)的方案。如圖9:YLHLILI1.11.1LIuX11XLILI.lIII12LIXLI1.1LILIL3L4XLI1.1LILILIL4L47UR；1LILIL>L*Uu'xLHLILILiLIL2LIxdLILILILI

19、LILILILI圖9兩轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上時(shí)的最優(yōu)方案5.3至多只能有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)且轉(zhuǎn)彎點(diǎn)只能建網(wǎng)格線(xiàn)上。5.3.1 建立模型5.3.1.1 有兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在第二問(wèn)的基礎(chǔ)上，第1步：根據(jù)兩點(diǎn)的位置關(guān)系，在網(wǎng)格點(diǎn)上任取兩點(diǎn)P1(m,n) , P2(a,b),得到直 線(xiàn)AR , P1P2, P2B的方程:AR : (y - 9) m= (m- 9 ) xPP2 ：( y - n)( a - n)=( b - n )( x - m )P2B: (y - b ) (9 - a ) =-b ( x - a )第2步：在坐標(biāo)滿(mǎn)足條件的情況下，如果n為整數(shù)根據(jù)直線(xiàn)方程可求得直線(xiàn) Ar與 x=i(i=0、1、2xp)

20、ft y=j(j=y p8、9)的所有交點(diǎn),并按x從小到大的排序,即：(乙,w。(i=1 , 2,3, 4)取(Zi, Wi)和(z，w)則可以根據(jù)它們的中點(diǎn)得到這兩點(diǎn)的路段需要的加權(quán)權(quán) 重，即：1.4A=(x, y)|3 <x <5,3< y <51.3 A2 = «x, y)|2<x<6,2 <y <6At =<1.2A3 =(x,y)|1 <x <7,1 < y <7/(A2UA1)1.1 A=(x,y) 10Mx <8,0 E y <8>(A3UA2UA1)1.A5 -'(

21、x, y) 10 Mx M 9,8 < y M9.或.8 < x :二 9,0 < y < 9若n為小數(shù)，則取n的整數(shù)部分再加1,重復(fù)上述步驟；如果m為整數(shù)，同樣方法得到(Zi , wP,若m為小數(shù)，則取m的整數(shù)部分，然后 計(jì)算得到(zi , wi) o第3步：對(duì)于與=，(Zi -Zi)2 +(wi - wy)2有m =s，累加彳#到APi段公路的費(fèi)用，同理得到P1P2, P2B段公路的費(fèi)用。故整條公路的總費(fèi)用表達(dá)式為：W =、Vi = " st5.3.1.2 有一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)與設(shè)立兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)相比，只需在網(wǎng)格線(xiàn)上任取一個(gè)點(diǎn)P,思想和方法都與之相同1.1.2 軟件求

22、解1.1.2.1 有兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)以第二問(wèn)的程序?yàn)榛A(chǔ)，將循環(huán)中的步長(zhǎng)設(shè)為0.01 ,在m或n為整數(shù)且a或b為整 數(shù)的條件下，尋找最優(yōu)解。程序見(jiàn)附錄三，流程圖以AR為例顯示了取整與求取線(xiàn)段與網(wǎng)格線(xiàn)交點(diǎn)的過(guò)程，其他步驟同第二問(wèn)。如圖 11。圖11兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)下的部分流程圖1.1.2.2 設(shè)一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)編程思路與設(shè)兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的情況相同，程序見(jiàn)附錄四。1.1.3 結(jié)果設(shè)一個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)時(shí)，使 W最小的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)坐標(biāo)為（6, 4.57）, Wnm =14.6989;設(shè)兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)時(shí)，使 WR小的轉(zhuǎn)彎點(diǎn)坐標(biāo)為（3.62,7 ）和（7,3.62 ）, % =14.63所以最優(yōu)方案為：設(shè)立兩個(gè)*$彎點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是（3.62,

23、7 ）和（7,3.62 ）。5.4 至多只能有2個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)但轉(zhuǎn)彎點(diǎn)可以建在所示區(qū)域的任何位置。該問(wèn)中，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)坐標(biāo)都為實(shí)數(shù)，在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上只需要改變x, y的步長(zhǎng)，比較步長(zhǎng)0.1和0.01 ,分析結(jié)果為步長(zhǎng)是0.01時(shí)所花費(fèi)用最省，即兩個(gè)轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3.58,7.32）,（7.32,3.58 ）時(shí)，建設(shè)費(fèi)用為 14.54 百萬(wàn)元。5.5 單位建設(shè)費(fèi)用連續(xù)變化5.5.1 縮小轉(zhuǎn)彎點(diǎn)所在區(qū)間以AB所在直線(xiàn)為x軸，AB的中垂線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。以點(diǎn) A、B焦點(diǎn), 任意畫(huà)一橢圓，如圖7:圖7兩圓的半徑差為dr,當(dāng)dr足夠小時(shí)，我們可將區(qū)域內(nèi)的單位造價(jià)視為均勻的，設(shè)三個(gè)區(qū)域內(nèi)的造價(jià)分別為ti

24、t%,由條可知，白池也，Pi是P沿橢圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)某一微小弧度所對(duì)應(yīng)位置，C,D分別是PiB與圓相交的兩個(gè)點(diǎn)，分別計(jì)算路線(xiàn) A-P-B和路線(xiàn)A- Pi-B所對(duì)應(yīng)的總造價(jià)：Wa_p_b =m3（AP + PB）WAg=m3 (APi + RC+DB)+m2 CDWa_p1_b m3 (APi + RB)= m3(AF+PE)= Wa_p同理可證得：WAWAf以此類(lèi)推可知將轉(zhuǎn)彎點(diǎn)設(shè)在y軸上可使建設(shè)費(fèi)用最省。在如圖8所示的坐標(biāo)系下, 轉(zhuǎn)彎點(diǎn)在直線(xiàn)y =x上5.5.2 建立模型第一步：在線(xiàn)段上取極小的一段 dS,此時(shí)，其建設(shè)費(fèi)用可看作是均勻的，設(shè)此時(shí)(1)t = 1.5-0.1 (x-4)2 (y-4)

25、2第二步：對(duì)線(xiàn)段上的任意一點(diǎn)(x , y ),設(shè)其參數(shù)方程為: x= x(z)y(z)且令 x = x( z ) =z第三步:dS =x (z)2 y (z)2dz因?yàn)?x = x( z ) =z,所以 dS= .1 y(z)2dzy(z)是公路所在直線(xiàn)的斜率，用k表示，所以dS = Jl + k2dx;(2)第四步：根據(jù)直線(xiàn)兩點(diǎn)式方程：(y - y1 )(x2 -x1) = (y2 - y1)(x-x1),得到直線(xiàn)ARPB的直線(xiàn)方程：AP：PB :n - 9 門(mén)y 二x 9mn 9ny 二xm-9 m -9由于點(diǎn)P在直線(xiàn)y = x上，所以：m-9 cAR y =x 9m(3)PB= m(x-

26、9)m -9第五步：對(duì)x積分，得到 W勺表達(dá)式：m9W = j0 ZApdS + m ZpBdS將(1) - (4)代入(5)得：m2 m - 92 m - 9 2W =(1.5-0.1, (x-4)( x 5) ) 1() dx0,m. m92m9m12、m二2 ,(1.5-01 (x-4)( x4) > 1 () dxm,m -9 m -9m -9所以，該問(wèn)題轉(zhuǎn)化求函數(shù)式(6)的最小值問(wèn)題5.2.3模型求解5.2.3.1 縮小轉(zhuǎn)彎點(diǎn)的范圍(4)(5)(6)單位建設(shè)費(fèi)用的分布如圖9所示：圖9如圖8和圖9, (4,4)處單位建設(shè)費(fèi)用最高，以直線(xiàn) AB為對(duì)稱(chēng)軸，上方區(qū)域的單位 建設(shè)費(fèi)用要低

27、于其下方對(duì)應(yīng)區(qū)域的單位建設(shè)費(fèi)用。所以，轉(zhuǎn)彎點(diǎn)應(yīng)選在直線(xiàn)y=x上且位 于直線(xiàn)AB的上方，即m>4,可縮短程序運(yùn)行的時(shí)間。利用Matlab軟件編程，以0.01為步長(zhǎng)，解出 W在區(qū)間4,8.99上的最小值。程序 見(jiàn)附錄五。5.2.3.2 結(jié)果當(dāng) m循環(huán) 132 次即 m=4+1.32=5.32 時(shí)，Wt小，Win=14.707 百萬(wàn)元。所以，將轉(zhuǎn)彎點(diǎn)設(shè)在（5.32,5.32 ）處，可使建設(shè)費(fèi)用最少，為最優(yōu)方案。六、 模型的推廣與改進(jìn)方向1、函數(shù)化思想滲透于生活的各個(gè)方面，然而枚舉法在個(gè)體數(shù)量不多的情況下不失為一個(gè)很好的計(jì)算方法，而且計(jì)算結(jié)果可靠性高。2、根據(jù)題目要求，分析出合適區(qū)域，在不影響最

28、優(yōu)方案的選擇情況下適當(dāng)縮短步長(zhǎng)，以減少程序中不必要的循環(huán)計(jì)算進(jìn)而縮短運(yùn)算時(shí)間。七、 模型的優(yōu)缺點(diǎn)1、 模型的優(yōu)點(diǎn)（ 1）模型運(yùn)用函數(shù)化思想建模，使得解題過(guò)程更容易；（ 2）由于模型運(yùn)用了枚舉法，從而使得建立出該模型后比較直觀，易于理解且算法的正確性比較容易證明。（ 3）利用 編程可以減少很多的代碼量，特別是在數(shù)據(jù)處理方面，對(duì)于龐大的數(shù)據(jù)量計(jì)算更是方便，減少了模型的復(fù)雜程度。2、模型的缺點(diǎn)當(dāng)數(shù)據(jù)量龐大時(shí)，程序運(yùn)行時(shí)間稍長(zhǎng)，對(duì)計(jì)算機(jī)的性能要求過(guò)高。參考文獻(xiàn)1謝軍占，呂常影.亞當(dāng)斯密的公路經(jīng)濟(jì)理論J.長(zhǎng)安大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版 ）. 第 8卷第 3期 . 2006 年 9月2 徐秀華 . Matlab

29、 軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用J. 科技與生活.2010年第13期3飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.MATLAB6.5輔助優(yōu)化計(jì)算與設(shè)計(jì).北京；電子工業(yè)出版社， 20034 趙修坤 微積分第三版國(guó)防工業(yè)出版社2012 年 8 月附錄附錄一：clear allclc q=;zuixiao=0;for x=1:1:8for y=1:1:8k=0;g=0;v=0;z=;w=;p=;l=;t=0;r=0;for m=0:1:x z=z,m;endfor n=9:-1:yd=(n-9)*x/(y-9);z=z,d;endz=unique(z);m=size(z,2);for i=1:1:mp(i)=(y-9)/x)*z

30、(i)+9;endfor i=2:1:mn=(z(i)-z(i-1)A2+(p(i)-p(i-1)A2)A0.5;if (z(i)+z(i-1)/2>3 & (z(i)+z(i-1)/2<5 & (p(i)+p(i-1)/2>3 & (p(i)+p(i-1)/2<5 r=1.4;elseif (z(i)+z(i-1)/2>2 & (z(i)+z(i-1)/2<6 & (p(i)+p(i-1)/2>2 & (p(i)+p(i-1)/2<6r=1.3;elseif (z(i)+z(i-1)/2>1

31、 & (z(i)+z(i-1)/2<7 & (p(i)+p(i-1)/2>1 & (p(i)+p(i-1)/2<7r=1.2;elseif (z(i)+z(i-1)/2>0 & (z(i)+z(i-1)/2<8 & (p(i)+p(i-1)/2>0 & (p(i)+p(i-1)/2<8r=1.1;elser=1;endv=v+n*r;endfor s=y:-1:0w=w,s;endfor d=x:1:9c=(d-9)*y/(x-9);w=w,c;endw=unique(w);n=size(w,2);for

32、 i=1:1:nl(i)=w(i)*(x-9)/y+9;endfor i=2:1:nu=(l(i)-l(i-1)A2+(w(i)-w(i-1)A2)A0.5;if (l(i)+l(i-1)/2>3& (l(i)+l(i-1)/2<5& (w(i)+w(i-1)/2>3& (w(i)+w(i-1)/2<5t=1.4;elseif (l(i)+l(i-1)/2>2 & (l(i)+l(i-1)/2<6 & (w(i)+w(i-1)/2>2 &(w(i)+w(i-1)/2<6t=1.3;elseif (l

33、(i)+l(i-1)/2>1 & (l(i)+l(i-1)/2<7 & (w(i)+w(i-1)/2>1 &(w(i)+w(i-1)/2<7t=1.2;elseif (l(i)+l(i-1)/2>0 & (l(i)+l(i-1)/2<8 & (w(i)+w(i-1)/2>0 &(w(i)+w(i-1)/2<8t=1.1;elset=1;endg=g+t*u;endk=g+v;q=round(q,k.*10000)./10000;qendendzsb=min(q)col=find(q=zsb);b=c

34、eil(col/8)c=(mod(col,8)附錄二：clear allclco=;for x1=1:1:8for x2=1:1:8for y1=1:1:8for y2=1:1:8if x1<x2 & y1>y2 & x1+y1>=9 & x2+y2>=9v=0;l=0;t=0;z=;z11=;z12=;z21=;z22=;z31=;z32=;w=;w11=;w12=;w21=;w22=;w31=;w32=;q=;k1=(y1-9)/x1;k2=(y2-y1)/(x2-x1);k3=y2/(x2-9);for e=y1:1:9f=(e-9)/k1

35、;z11=z11,f;%等第一段直線(xiàn)y取整數(shù)又t應(yīng)的x裝入矩陣z1w11=w11,e; end for e=0:1:x1f=e*k1+9;z12=z12,e;w12=w12,f; endfor e=y2:1:y1f=(e-y1)/k2+x1;z21=z21用;%等第二段直線(xiàn)y取整數(shù)又t應(yīng)的x裝入矩陣z2w21=w21,e; end for e=x1:1:x2f=(e-x1)*k2+y1;z22=z22,e;w22=w22,f;endfor e=0:1:y2f=e/k3+9;z31=z31,f;%!第三段直線(xiàn)y取整數(shù)又t應(yīng)的x裝入矩陣z3w31=w31,e; end for e=x2:1:9f=

36、(e-9)*k3;z32=z32,e;w32=w32,f;endz=unique(sort(z11,z12,z21,z22,z31,z32);w=fliplr(unique(sort(w11,w12,w21,w22,w31,w32); n=size(z,2);for e=1:1:(n-1)r1=(z(e)+z(e+1)/2;r2=(w(e)+w(e+1)/2;if r1>3 & r1<5 & r2>3 & r2<5t=1.4;elseif r1>2 & r1<6 & r2>2 & r2<6t=1.3

37、;elseif r1>1 & r1<7 & r2>1 & r2<7t=1.2;elseif r1>0 & r1<8 & r2>0 & r2<8t=1.1;elset=1;endl=(z(e+1)-z(e)A2+(w(e+1)-w(e)F2)A0.5;v=l*t;q=q,v;endo=o;sum(q),x1,y1,x2,y2;endendendendendb=o(find(o=min(o(:,1),:)附錄三：clear allclco=;b=0;for x1=0.01:0.01:8.99for x2

38、=0.01:0.01:8.99for y1=0.01:0.01:8.99for y2=0.01:0.01:8.99if mod(x1*10,10)=0 | mod(y1*10,10)=0if mod(x2*10,10)=0 | mod(y2*10,10)=0 if x1 <x2 & y1 >y2 & x1 +y1 >=9 & x2+y2>=9 v=0;l=0;t=0;z=;z11=;z12=;z21=;z22=;z31=;z32=;z41=;z42=;w=;w11=;w12=;w21=;w22=;w31=;w32=;w41=;w42=;q=;s=

39、0;k1=(y1-9)/x1;k2=(y2-y1 )/(x2-x1);k3=y2/(x2-9);if mod(y1*10,10)=0for e=y1:1:9f=(e-9)/k1;z11=z11,f;w11=w11,e;endelsefor e=fix(y1)+1:1:9f=(e-9)/k1;z11=z11,f;w11=w11,e;endendfor e=0:1,fix(x1)f=e*k1+9;z12=z12,e;w12=w12,f;endif mod(y1*10,10)=0for e=fix(y2):1:y1f=(e-y1)/k2+x1;z21=z21,f;w21=w21,e;endelsef

40、or e=fix(y2):1:fix(y1+1) f=(e-y1)/k2+x1;z21=z21,f;w21=w21,e;endendfor e=0:1:fix(x1)f=e*k2+9;z22=z22,e;w22=w22,f;endif mod(x1*10,10)=0for e=x1:1:fix(x2)f=(e-x1)*k4+y1;z41=z41,e;w41=w41,f;endelsefor e=fix(x1)+1:1:fix(x2) f=(e-x1)*k4+y1;z41=z41,e;w41=w41,f;endendfor e=0:1:fix(x1)f=e/k4+9;z42=z42,e;w42=

41、w42,f;endfor e=0:1:fix(y2)f=e/k3+9;z31=z31,f;w31=w31,e;endif mod(x2*10,10)=0for e=x2:1:9f=(e-9)*k3;z32=z32,e;w32=w32,f;endelsefor e=fix(x2)+1:1:9f=(e-9)*k3;z32=z32,e;w32=w32,f;endendz=unique(sort(z11,z12,z21,z22,z31,z32,z41,z42,x1,x2);w=fliplr(sort(w11,w12,w21,w22,w31,w32,w41,w42,y1,y2); n=size(z,2)

42、;for e=1:1:(n-1)r1=(z(e)+z(e+1)/2;r2=(w(e)+w(e+1)/2;if r1>3 & r1<5 & r2>3 & r2<5t=1.4;elseif r1>2 & r1<6 & r2>2 & r2<6t=1.3;elseif r1>1 & r1<7 & r2>1 & r2<7t=1.2;elseif r1>0 & r1<8 & r2>0 & r2<8t=1.1;elset=1;end