勾股定理知識(shí)點(diǎn)梳理

1、勾股定理知識(shí)點(diǎn)梳理1 .直角三角型有哪些特殊的性質(zhì)；角，直角三角型的兩銳角互余；邊， 直角 三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，用符號(hào)表示：在RtABC中，a2+b2=c2；面積，兩種計(jì)算面積的方法。2 .如何判定一個(gè)三角形是直角三角形呢？有一個(gè)內(nèi)角為直角的三角形是直角三角形；兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長(zhǎng)為 a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直 角三角形3 .勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4 .互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題

2、設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè) 命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。5 .勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a,b, c為正整數(shù)時(shí)，稱a, b, c為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25,8,15,17 ; 9,40,41 等cB6.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾

3、股定理常見(jiàn)方法如下:122'-r方法 4 sq + SE方形efgH =S正方形ABCD, 4 M萬(wàn)ab十(ba)2 =c2 ,化簡(jiǎn)可證.方法二: 四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面 積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為122S =4 ab c =2ab c 2大正方形面積為 S =(a - b)2 =a2 - 2ab - b2所以 a2b2 =c2方法三：S梯形=l(a +b) (a +b) , S梯形=2S皿e +S+be =2 1ab +-c2 ,化簡(jiǎn)得 2-22一.典型例題類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtABC中，/ 0=90°(1)

4、已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c; (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過(guò)程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形A中，注意勾股定理的變形使用。9舉一反三【變式】：如圖/ B=/ACD90° ,AD=13,C=12, BG3,則 AB的長(zhǎng)是多少類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在 函中,75 = 60°, = 70,您二3。.求：BC的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥：由條件 上60°,想到構(gòu)造含30。角的直角三角形，為此作力D1BC于D,則有BD = -AB5/朋口二30口,2，再由勾股定理計(jì)算出 AD DC的長(zhǎng),進(jìn)

5、而求出BC的長(zhǎng).舉一反三【變式1】如圖，已知：二9儼，AM = CM ,誑1乂8于 P.求證：bp2=ap2bc2.BLc M A【變式2】已知：如圖，/ B=Z D=90° , / A=60° , AB=4 CD=2求：四邊形 ABCD勺面積。A(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題IBE類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了 5叩石m到達(dá)b點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離(2)確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡

6、車，其外形高 2.5米，寬1.6米，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過(guò)，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其 高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CDLAB,與地 面交于H.（二）用勾股定理求最短問(wèn)題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、C、D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂 點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí) 線部分.請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.(2)<3)思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路

7、長(zhǎng)最短，通過(guò)利用勾股定理 計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高A B為4cm, B C是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C,試求出爬行的最短路程.（提問(wèn)：勾股定理）0cm,根據(jù)勾股定理得/.AO J"+冊(cè)=次+形=2萬(wàn)。10. 7 7 ( cm)(勾股定理).答：最短路程約為10.77 cm類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為 J。的線段5、作長(zhǎng)為也、也、加的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 應(yīng)，直角邊為也和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是 也,類似地可作舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示而

8、的點(diǎn)。解析：可以把而 看作是直角三角形的斜邊，血，二10 ,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù),3和1。而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使OA=3彳ACL OA且截取AC=1,以O(shè)C為半徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為 而0類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1 .原命題：貓有四只腳.（正確）2 .原命題：對(duì)頂角相等（正確）3 .原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4 .原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1

9、.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2 .逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3 .逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.？（正確）4 .逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果 ABC的三邊分別為 a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷ABC的形狀?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。BC舉一反三【變式 1】四邊形 ABCCDK / B=90° , AB=3, BC=4 CD=12 AD=13)求四邊形ABCD勺面積【

10、變式2】已知： ABC勺三邊分別為mi n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m n）,判斷 ABC是否為直角三角形.分析：本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明：:，；， 一；，：,二斕+2掰 +耳4=（掰”用所以 AB混直角三角形.2【變式3】如圖正方形 ABCD E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=4 AB請(qǐng)問(wèn)fe與DE是否垂直請(qǐng)說(shuō)明經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3: 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先 通過(guò)比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理

11、列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定 理列方程（組）求解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2,求它的面積?！咀兪?】直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積【變式3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1, n+2, n+3,求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)n+3,然后利用勾股定理列方程求解?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A 8, 15, 17B、4, 5, 6 C 、5, 8, 10D、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷,【變式5】四邊形 AB

12、CB, / B=90° , AB=3, BC=4 CD=12 AD=13求四邊形ABC面面積。C類型二：勾股定理的應(yīng)用. 2、如圖，公路 M師口公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPNk30° , /點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP= 160ml假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m;D以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校 A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作

13、垂線段 AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。(2)要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開(kāi)始脫離影響， 那么，AA 100(m),BD= 60(m),，CA 120(m)。拖拉機(jī)行駛的速度為：18km/h =5m/st = 120nrr 5m/s = 24s。答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響，若圖形缺少直角條件，則的時(shí)間為24秒 總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法可以通過(guò)作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。舉一反三【變式1

14、】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1m),卻踩傷了花草。解析：他們?cè)瓉?lái)走的路為 3+4 = 7(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為 xm,則故少走的路長(zhǎng)為 7 5=2(m)又因?yàn)?步為1m,所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(1)直接寫出單位正三角形的高與面積。(2)圖中的平行四邊形ABC華有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD勺面積是多少？(3)求出圖中線段AC的長(zhǎng)(可作輔助線)57VV7類型三：數(shù)學(xué)思想方法 （一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決.3、如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB AC邊上的點(diǎn)，且 DE!DF,若BE=12, CF=5求線段 EF的長(zhǎng)。0 F C思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF,要求EF,但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān) 鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨 先連接AD.總結(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)。通過(guò)此B題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同