2、數(shù)列與遞推

1、數(shù)列與遞推一、等差、等比數(shù)列數(shù)列an是定義在自然數(shù)集或它的子集上的一個函數(shù)anfn,求數(shù)列的通項(xiàng)公式相當(dāng)于求這個函數(shù)的表達(dá)式.同時，數(shù)列的前n項(xiàng)的和Sn也組成一個數(shù)列，且a1S1,%&&1n2.數(shù)列的有關(guān)問題，往往圍繞通項(xiàng)與求和問題展開.等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列.我們應(yīng)當(dāng)熟知一下性質(zhì)p,q,m,nN.等差數(shù)列的性質(zhì)： 若an為等差數(shù)列，則ank（k為常數(shù)）仍為等差數(shù)列. 若a。，bn為等差數(shù)列，則CBC2bn（G,c2為常數(shù)）仍為等差數(shù)列.若an為等差數(shù)列，則mnpq的充amanapaq.等比數(shù)列的常用性質(zhì)： 若an為等比數(shù)列，則ank（k為常數(shù)）仍為等比數(shù)

2、列. 若an,bn為等比數(shù)列，貝gc1anc2bn（c1,c2為常數(shù)）仍為等比數(shù)列.若an為等比數(shù)列，則mnpq的充amanapaq.例1已知一個等差數(shù)列其中有三項(xiàng)：13、25、41.試證明：2009為此等差數(shù)列中的一項(xiàng).解方法1:設(shè)已知等差數(shù)列的公差為d,25134113ada、bZbd,adbd12,28.由12得abd40.由221得b2ad4.因?yàn)?00913199613504041350abdb2ad1352a49bd其中52a49bZ,所以2009為此等差數(shù)列中的一項(xiàng).方法2:設(shè)已知的等差數(shù)列的公差為d,2513ad,a、bZ,4113bd,ad12,bd28.假設(shè)存在x、yZ使得

3、200913xadybd,(3)即20091312x28y,得x4997y3當(dāng)y1時，x164,即200913164abd,其中164abZ.所以2009為此等差數(shù)列中的一項(xiàng)方法3:設(shè)13、25、41所在的等差數(shù)列為an,則37必為此數(shù)列中的一項(xiàng)（因?yàn)?5為13、37的等差中項(xiàng)），由41374,可以構(gòu)造一個等差數(shù)列（分兩種情況討論）：(1) ,13,17,21,25,29,33,37,41,易知，這個等差數(shù)列一定是數(shù)列an的一個子列，此時公差d4,而2009134994,所以2009為此等差數(shù)列子列中的一項(xiàng).(2) ,41,37,33,29,25,21,17,13,易知，這個等差數(shù)列一定是數(shù)列

4、an的一個子列，此時公差d4，而1320094994，所以2009為此等差數(shù)列子列中的一項(xiàng).綜合、(2)得2009為此等差數(shù)列中的一項(xiàng).方法4:設(shè)13、25、41所在的等差數(shù)列為an，則251312,452516,而與公約數(shù)為2或4或2或4,構(gòu)造出含有13、25、41三項(xiàng)公差d分別為2或4或2或4的等差數(shù)列an的子列.仿方法3便可證得2009為此等差數(shù)列中的一項(xiàng).方法5:定理各項(xiàng)為整數(shù)的等差數(shù)列an,公差為d的充要條件是各項(xiàng)為整數(shù)的數(shù)列an中的任一項(xiàng)an被整數(shù)d除余數(shù)相同（證明略）.設(shè)已知的等差數(shù)列的公差為d,依題意，不妨取dZ,且1d12.當(dāng)且僅當(dāng)d2或4時，131modd,251modd,

5、411modd,此時20091modd,由定理知2009為此等差數(shù)列中的一項(xiàng).例2各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100,這樣的數(shù)列至多有項(xiàng).分析已知公差，那么等差數(shù)列的各項(xiàng)都可以用首項(xiàng)a1表示出來，于是根據(jù)第二個條件，就可以得到一個關(guān)于a和項(xiàng)數(shù)n的不等式.解不妨設(shè)等差數(shù)列a1,a2,an的公差為4,由題設(shè)條件可得a12a2a3an100,2a14a14n1即a11n1100,2整理得a12n1a12n22n1000當(dāng)且僅當(dāng)n1242n22n1000時，至少存在一個實(shí)數(shù)a1滿足不等式于是由0得7n26n4010,即3281632816n.77注意到3'；

6、8160,83'；8169,故滿足條件的自然數(shù)n的最大值為8,即滿足題設(shè)條件的數(shù)列至多有8項(xiàng).例3設(shè)數(shù)列an與bn的通項(xiàng)分別為an2n,bn3n2,它們的公共項(xiàng)由小到大排成數(shù)列cn,求cn的前n項(xiàng)的和.分析an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，探索兩個數(shù)列公共項(xiàng)排成的數(shù)列cn的特征，求出通項(xiàng)公式或求和公式.解由題設(shè)條件易知，G23322.設(shè)an的第m項(xiàng)與bn的第k項(xiàng)相等，并設(shè)這是cn的第n項(xiàng)，即cn2m3k2.由于an是遞增的，它的第m+1項(xiàng)為am12m122m23k232k11,顯然不是bn的項(xiàng)；而an的第m+2項(xiàng)為am22m242m43k234k22,這是bn的項(xiàng)，從而也是cn的第n+1

7、項(xiàng):Cn1由此可見,等比數(shù)列，nSnCq1%是首項(xiàng)為I所以它的前84n1822n413、公比為4的n項(xiàng)的和是例4數(shù)列&滿足：a11,且對每個nN,an,an1是方程x23nxbn0的兩根,20則bkk1分析關(guān)鍵是求出an的通項(xiàng)公式，由條件得出關(guān)系式再進(jìn)行變形.解對每個nananaan1尾，可知3n1an1因此an23n27343是一個公比為-14an3n2的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為-4,故an32n13n2an32nanbnana因此k例5174，2298347474'21a20bk6385.1正項(xiàng)數(shù)列_1滿足1(nN），a36,aan1aan2a2a1,a2,a3單調(diào)遞增且成等比數(shù)

8、列,Sn為an前n項(xiàng)和，貝IS2O08的值是.分析已知條件等式變形，以顯現(xiàn)數(shù)列an的性質(zhì)，便于求Sn.解由已知有ananian2ana”a”2所以a1a2a3a1a2a3,而a1a3a；,因此a；a26,可知(a22)(a；2a23)0,解得a22.又因?yàn)閍1,a2,a3單調(diào)遞增知a13V5.再由式得an1an2an3anian2an3得(an3an)(1anian2)0,因此anan3,故an是以3為周期的數(shù)歹U,可知a2008ai3V5,因此S2008S207a2008(62)(3*5)35352(375),S20085352.例6設(shè)非負(fù)等差數(shù)列an的公差d0,記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，

9、證明：（1）若m,n,pN,且mn2p,則土1冬SmSnSp若a50320071005，、S2008.分析根據(jù)mn2p,可得aman2ap,利用均值不等式進(jìn)行放縮可證一112,一一一,一一明土；第（2）小題的證明顯然要用SmSnSp到第（1）小題的結(jié)論.解設(shè)非負(fù)等差數(shù)列an是首項(xiàng)為a10,公差為d0.（1）因?yàn)閙n2p,所以m2n22p2,p2mn,ama”2ap，從而有（ap）2ama”.因?yàn)镾nna1d,所以有SnSm(mn)ain(n1)m(m1)d2n2pa2c2p22p2Pa1P2PSSnGa”)m(aam)-f2mn»2a1a1(aman)aman4P2,2(a12a1a

10、P4P(a1ap)22apap)2SP(Sp)2于是-1Sm20071(2):n1Sn(1S1003S10051SnIS1又因?yàn)镸oSmSnSmSn°20072SpSpSp12sPS2S200612100312007S10041004a1S1004S100410041003.d21004(ai502d)1004a50310041005所以有10052008.2007120072007sn慕4頑說明本題把等差數(shù)列的知識和不等式的證明結(jié)合在一起，均值不等式的恰當(dāng)運(yùn)用是解題的關(guān)鍵例7設(shè)等差數(shù)列翥的前n項(xiàng)和為Sn,若&010S11,貝S2011（2011年全國聯(lián)賽B卷一試第一題）解：

11、因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以S2010S1S2010a12009(七嚴(yán))2009a10061于是a1006所以120112009a2011)2011a10062009aS20112011（12二、遞推數(shù)列一階遞歸數(shù)列的一般形式為：an1pnanqnpn0,a1aa為常數(shù).其特例為：(1) an1panp0,這就是等比數(shù)列.(2)an1panqp0,q0.當(dāng)p1時數(shù)列為等差數(shù)列.當(dāng)p1,p0,q0時，可用待定系數(shù)法求解.令anip為，求得尸，從1p而有an1pan,所以數(shù)列an11p等比數(shù)列.(3)an1是首項(xiàng)為，公比為p的1p兩邊同除以paqnp0.1得¥a，pn1pnbn*，則bmbn

12、M，由此可用累加的pp方法求出bn，從而求出an.(4)an1pnanqq0.解決這類問題的思想方法，通常也是利用待定系數(shù)法構(gòu)造類似于“等比數(shù)列”的新數(shù)列.設(shè)a1cotx,anan1cosxsin(n1)x,試求數(shù)列an的通項(xiàng)an.分析a1cotx,a2a1cosxsinxcotxcosxsinx22cosxsinxcos2x.,sinxsinxa3a2cosxsin2xcos2xcosxcos3xsin2xsinxsinxa4a3cosxsin3xcos3xcosxsin3xsinxcos4xsinxsinx至此已猜出an絲業(yè)這一猜想是否正sinx確，有待于證明.證：根據(jù)分析，已猜出an絲業(yè)

13、，sinx下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時，a1cotx,命題成立.sinx設(shè)nk時，命題成立，即akC0業(yè).sinx當(dāng)nak1k1時，akcosxsin(k11)xcoskxcosxsinkxsinxcos(k1)x-,sinx.nk1時，命題也成立.故n為一切自然數(shù)時，an絲業(yè)成立.sinx例9若數(shù)列an滿足a10,a21,且an23ani2an2n，求an解(an2由已知遞推式，得2an1)an12an2n,令bnan12an，則bn1bn2L所以bn1nb1(bkbk1)n12k1,k2k2a22a1n121k12n1,k2即an12an2n1,兩邊同除以2n,得an12na11-2門1

14、2。所以n1k1ak12kak2k1n111尹，k12ana1n-11k1n112°12k12k1n1.(n1)(11n1)(n2)0bn所以an(n2)2n11.例10在數(shù)列an中，a11,an1anan3求an.由anan3an旦取倒數(shù),an3g,an11an121anan3；2所以數(shù)列1an是以3為公比的等比數(shù)111一1一2223所以an3n.213n1.例11若數(shù)列an滿足a13anan13'1,2,，求an.解令anbn1,則an1bn11,bn113(bn1)1(bn1)33bn2bn2bn13bn2bn214bnbn21bn1112bn41 再令Cn:，則Cn1

15、bn變形為Cn112(Cn112Cn4'k2即'為首項(xiàng),24數(shù)列Cn12為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式,是以C1Cn1n12Cnan122口132n1232n2口1，2n12n332n所以bn已知數(shù)列an中，a1a2a31,2n3a2n2a2n1.分析：該遞歸數(shù)列是非齊次非線性的，思考將其轉(zhuǎn)化為齊次線性遞歸數(shù)列.為消去常數(shù)，可遞推一步作差消去常數(shù)使其齊次化，再通過換元使其線性化.解:an3anan1anan4an1an2an23an4an1an3anan2an3an1an2，即an4an1an1an2an2an3a3an故an1an4an2an3an2a.an3從而,2a

16、nan4anLJ2an則bnbna21a3a21n22.a.anan所以,bb3b5b2b4be1.3b2a3a4a213'因此，當(dāng)n為奇數(shù)時,bnan1an2an12'則an22anian.當(dāng)n為偶數(shù)時，bnan1二則an2an3an23an1an.故a2n3a2n12a2n2a2n2a2n1a2n1a2n12a2na2n12a2n2a2n12a2na2n12a2n2a2n1a2na2n1212.例13（2011年全國聯(lián)賽B卷一試第十題）已知數(shù)列an滿足：a12t2（tR且t1）,an1(1(nN*).an2tn2求數(shù)列an)的通項(xiàng)公式；若t0,試比較an1與an的大小.由原

17、式2antn1antn(1)(2)解變形得an1tn112anan2(tn1)bnbn2bnbn2bi2tt11bn12.1bn1b111bnb1(n1)n2'于是有an2(tn1)(2)an1an2(tn11)2(tn1)n1n2(t1),+'7n(1tn(n1)tn1tn)(n1)(1ttn1)ntn(1tItn1)n(n1)O!(tn1)(tnt)(tntn1)n(n1)2(t1)2n(n1)(tn1t*I"1)t(tn2t®I"1)I"tn1顯然在t0時恒有an1an0,蟻an1an.例14(2011年全國聯(lián)賽A卷一試第十題)已知

18、數(shù)列an滿足：&2t3(tR且t1),(2tn1g2(t1)tn1*、an1-(nN).(2) an2tn1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;若t0,試比較an1與an的大小.解(1)an12(tn11)(an1)an2tn1由原式1,變形得2(an1)則an112(an1)tn1、tn11an2tn1aJ2an1,記-Tbtn1tn1'a112t22.1t1t又11bn11,八1bn11,11,從而2b12nbn7(n1)b22，故J2tn1n,于是有an2(t1)1.n則卜b有(2)an1an2(tn11)2(tn1)n12(t1)n(n1)n(1tI"tn1tn)(n

19、1)(1tI"tn1)2ntn(1ttn1)n(n1)20!(tn1)(tnt)(tntn1)n(n1)2(t1)2n(n1)tn1(tn1tn2I1)t(tn2t®I"1)HI顯然在t0(t1)時恒有an1an0，故an1an.例15已知數(shù)列an滿足：a2t3(tan1R且t(2tn11),3)%2(t1)tnan2tn11(n(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若t>0，試比較ani與an的大小.解(1)由a12t3(tR且t1),及an1(2tn13)%2(t1)tnan2tn11可得a2t2a32t35,猜想：an2tn、.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=

20、1時，猜想顯然成立.假設(shè)k(k1且kN)時猜想成立，即k2tkkck2kk2ck2k2,k八ak2tk1一tk2tk1(tk1)kkk(2tk13)ak2(t1)tk1k12kk2k(2tk13)一tk2(t1)tk1kk(2tk13)2tk-(2tk13)2(t1)tk1kk4k1_t6kk4k12ktk1k11時13)a,kak2t4危12ktk166k2(tk1)(tk1)(tk1)(tk1)2(t1)tk1所以nkak1陞2L（tk1）k2tk1Jk1k1即nk1時猜想也成立.綜合、可知對一切正整數(shù)，猜想成立.an2tnn2t.nn(2）由,2(1)知：an-tn2-tn12,則n1n

21、1nn2，n2nin32nn2aniant-tn1n1nn2ntn1(n1)tn1n(n1)由t0及n1元均值不等式可得：(n1)tn1ntn11tn1|tn1(n1)nj")n個取等號時t=1.而t1,所以ntn1(n1)tn10,an1an0,an1an.三、數(shù)列的性質(zhì)1.整數(shù)性例16已知an12aa21,an(n3).an2證明數(shù)列an中的一切項(xiàng)都是整數(shù).分析遞推關(guān)系是明顯的，由遞推關(guān)系計(jì)算數(shù)列前面若干項(xiàng):1,1,3,11,41,153,思考1能否證明an2(a212)，思維受阻.思考2求數(shù)列an的通項(xiàng)anf(n),利用解析式研究f(n),嘗試遇到困難.思考3考察數(shù)列an前面若

22、干項(xiàng)，雖無明顯規(guī)律，但如果能證明存在整數(shù)p,q,使anpan1qan2對一切自然數(shù)n3均成立，則由遞推觀點(diǎn)可歸納證明an(n3)都是整數(shù)，原問題就解決了.p,q為何值呢？特殊化處理，可由a1a21,a33,a411滿足anpan1qan2試探求出q,p.解法1:設(shè)anpan1qan2(n3),由a1,a21,a33,a411代入，得3pa2qa,11pa3qa2,解得p4,q1.猜想an4ania。2對n3,4是成立的.設(shè)nk(kN,k3)4ak1時成立，即有akak1a、2ak1ak(4ak1ak2)2ak14akak14ak4akakak22ak1aki,即nk1時，式也成立，故an4an

23、1an2對切n3均成立.最后，再根據(jù)a1a21為整數(shù)和an4an1an2(n3),由數(shù)學(xué)歸納法可以證明an對一切自然數(shù)n均為整數(shù).我們還可以直接推出an的線性遞推關(guān)系.解法2:將已知遞推式變形，得2an-1anan2以n置換n2anan1an1-，得22an-1ananan2將式變形，得an1an1ananan2an1在式中，將n換為nanan2an1an1an3an2將這些式子相乘，得an1an1a3a201,得20anian101,n2,a4a?a3ai冬,a?,3得蟲，a?an14anan1,以下同解法1.例17設(shè)an滿足a11ani2an/3a；1(n1)試證數(shù)列an的各項(xiàng)均為整數(shù).分

24、析直接利用遞推關(guān)系證明各項(xiàng)均為整數(shù)，或先求通項(xiàng)均有困難，可改變思路，先考察數(shù)列的前幾項(xiàng)：1,0,1,4,15,雖無明顯規(guī)律，但若證明各an間存在一個整系數(shù)線性遞推關(guān)系，貝U不妨設(shè)an2pan1qan將a”a2,a3代入,下面設(shè)法證明an1an各項(xiàng)必為整數(shù)，(p,q為待定系數(shù)).求出p4,q1.4an1an恒成立.為2an此，將題設(shè)遞推關(guān)系變形整理得4anan1(an11)0,又a224an2an1(a211)0,這兩式表明，an,an2恰好是二次方程x24an1X(a211)0的兩根，且anan2-這一點(diǎn)可以通過證明an的單調(diào)性解決.即an1anan®3ananan0,由韋達(dá)定理，a

25、n2an4an1對一切已知ai,a2,a3為整數(shù)，利用這一線性遞推關(guān)系，由數(shù)學(xué)歸納法可證所有an為整數(shù)（略）.本題中將非線性遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系，使問題得以解決2.有界性，單調(diào)性例1已知數(shù)列an中，an1sin2an,求證：（1）0a1；(2)anan1;(3)1an-（1a。）4分析本題給出了遞推關(guān)系，要證明數(shù)列有界性；單調(diào)性（遞增）；數(shù)列的某種特性.因此考慮如何利用數(shù)列的遞推關(guān)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.1證(1)0a11,.n1時，2an(0,1).設(shè)ak(0,1)，則asinak2k都有an(0,1)._一21sin422a.則4、(1an1)又an12an1an11a1.ak0

26、,2,-ak1(0,1),故n為一切自然數(shù)時,(2)a2sina12設(shè)akak1ak2sin2ak1sin-aka.,.n為一切自然數(shù)時，都有anan1,即此數(shù)列是遞增數(shù)列.(3).11an12,.4(1an1)4(1a1)3l8.1ansinsin-an12cos(14an1)sin：(1an4i)sin(1a。)40(14an1)-2sinan13. .Sin(1an1)-144故1an1an14數(shù)列的周期性定義對于數(shù)列an,若存在自然數(shù)k,使得從第l項(xiàng)起，有ankan(nl)恒成立.則稱an為周期數(shù)列，當(dāng)l1時，稱為an純周期數(shù)列，當(dāng)l2時，稱an為混周期數(shù)列.周期數(shù)列是特殊的線性遞歸數(shù)列，也可用特征根法求通項(xiàng)公式如an:1,9,，4,1,9,，4,的遞歸方程為an4an，特征方程為x410,由此可求其通項(xiàng).例19已知數(shù)列a1,a2,，滿足a14,a22,a31,且對任意的正整數(shù)n,有an3an2a”3an2(2) anan1anan1求證(1)數(shù)列中所有的項(xiàng)均不為0;該數(shù)列是一個周期數(shù)列；(3) 對任意正整數(shù)k,a1kakIIIa；。是一個完全平方數(shù).證(1)由得aan3aan2an1an3an2anan3anan2an1