線性的代數(shù)習(xí)地的題目集(帶答案詳解)

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文檔第一部分專項同步練習(xí)第一章行列式一、單項選擇題下列排列是5階偶排列的是().(A) 24315(B) 14325(C) 41523(D)243512.如果n階排列j1j2jn的逆序數(shù)是k,則排列jnj2j1的逆序數(shù)是().3.4.5.(A) k(B), 八n!.n -k(C)- -k(D)n階行列式的展開式中含a11al2的項共有() 項.(A)0(B)(C)(n -2)!(D)n(n-1)-k2(n-1)!000100100100(A)010=(00(B).-1(C)(D)20001010010000010=().(A)0(B)6.在函數(shù)f(x)=2x-130-1-11(C)(D

2、)2(A)0(B)-x0-11231中x3項的系數(shù)是(C).(D)2a11a12a1312a11a13a11 - 2a127.若D =a21a22a23= 則D1 =2a21a23 a21 2a22=().a31a32a3322a31 a 33a31 2 a32(A) 4(B)-4(C) 2(D)8.若a11a)2=a,貝 Ua12k42=().a21a22&1ka21(A)ka(B)ka(C)k2a(D)-k2a9.已知4階行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第 32行元的余子式依次為精彩文案-2,5,1,x,則 x=().(A) 0-810.若 D = 614(B) 7-2134

3、31-7-33-115(A) -111.若 D =3105(B)01-13-2(A) -1(B)(C)(D) 2則D中第一行元的代數(shù)余子式的和為（）.(C)-3(D)410-20102,則D中第四行元的余子式的和為-2(C)-3(D)X1 X2kx3).12. k等于下列選項中哪個值時,齊次線性方程組x1 kx2x3kx1x2x3二0=0有非零解.二0()(A) -1(B)-2(C)-3(D)0、填空題1 . 2n階排列24（2n）13j （2n -1）的逆序數(shù)是 2 .在六階行列式中項a32a54a41a65013a26所帶的符一號是3 .四階行列式中包含a22a43且?guī)д柕捻検?.4 .

4、若一個n階行列式中至少有n2n+1個元素等于0,則這個行列式的值等于5.1行列式0001101011110100 10 00 02 06 .行列式 0 00 n1n 000al（n）a1 n7 .行列式a21,a2（n）0an1-0041a12a13a11a13 - 3a123a128.如果D=a21a22a23=M,則 D1 =a21a23 3a223a22=a31a32a 33a31a33 3a323a329.已知某5階行列式的值為5,將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所有元素，則所得的新行列式的值為 1 +九1.111+九 T 1* ,1111十九-11-111. n階行列式10.行

5、列式-11x -1-1 x+1-1x-11-1其對應(yīng)的余子式依次為3,2,1 ,12 .已知三階行列式中第二列元素依次為 1,2,3,則該行列式的值為13.設(shè)行列式D =1548263737264815,A4j (j =1,2,3, 4)為D中第四行元的代數(shù)余子式,則 4 A413 A422 A43A44 =14.已知D =D中第四列元的代數(shù)余子式的和為15.設(shè)行列式D=-6,從上為24上。=1,2,3,4)的代數(shù)余子式，則A41A42 二A43A44 二13512016 .已知行列式D = 1031002n -100 , D中第一行元的代數(shù)余子式的和為nkx1 2x2 x3 = 017 .齊

6、次線性方程組px1 +kx2=0僅有零解的充要條件是X1 X2x3 =0x12x2x3 =018 .若齊次線性方程組42x2 +5x3=0有非零解，則k=-3x1 -2x2 + kx3 =0abcd1.2 ab22 cd23 ab33 cd3b +c +da +c +da +b +da + b + c0 1x1、一101x3.解方程101x=0；x1101x10xa1a2an”a1xa2anq4 .a1a2xanq * a1a2a3xa1a2a3an -4111115.a011a11a2aj#1, j =0,1，n)；an6.11131 -b1112 -b(n -1) -b7.9.1 bi b

7、ibia1b2b22X1X2X1XnX1a1a2b3X1X21X2XnX2a-1000-a-100a1a2anXXnX2Xn1X2-a-10-a-18.10.Xa1a2aa1Xa2aa1a2X annna1a2a3四、證明題b21 .設(shè) abcd =1,證明:d212 a1b22c號2.a1a2a3bixb2xb3xax bia2x b2a3x b3C1C2C3= (1-x2)a1a2a33.4.a2 a4 aa12a1n 2ana1c2 c4 c1 d d： da22a2n 2a2na2a1b1b1 b2 b3Gc2c3=(b - a)(c - a)(d - a)(c - b)(d -b)(

8、d - c)(a b c d).n 2annann=' ai 11 (aj - a。.1 _i 打 _n5.設(shè)a,b,c兩兩不等，證明1bb3=。的充要條件是a + b + c = 0.n 111 (x-ak)k=1-(2 b)(1-b) (n-2)-b);nn(x 八 ak)il (x-ak);k Wkdn 1;一.單項選擇題A D A C C D A B C D B B二.填空題1. n ;2.” ;3. a14a22a31a43 ；4. 0 ;5. 0 ;6. (-1)n'n!;n(n)7. (1)kaina2(n)ani； 8.-3M ; 9.-160 ; 10.x4

9、; 11.( n),n；ccc“ Cn 1、12. -2 ;13. 0 ;14. 0 ;15. 12,-9;16. n!(1 -v-) ;17. k - -2,3 ; k18. k =7三.計算題1. (a +b +c +d)(b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c); 2.一 2(x3 + y3);3. x - -2,0,1;4.nn 15. II (ak -1)(1 '-);6.k =0k =0 ak -1n7. (-1)nlT (bk - ak) ;8.k 1n9. 1 - 1：xk ;10.k 111. (1 - a)(1 a2 a4).四.證明題(略)第二章

10、 矩陣一、單項選擇題1. A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。(a)A2 = A2(b) A2 B2=(A B)(A+B) (c)(A B)A=A2AB (d) (AB)T =ATBT2 .設(shè)方陣A、B C滿足AB=AC當(dāng)A滿足()時，B=C(a) AB =BA (b) A=0 (c)方程組AX=0有非零解 (d) B 、C可逆3 .若A為n階方陣，k為非零常數(shù)，則|kA=()(a) kA(b) k A4.設(shè)A為n階方陣，且|A=0,則()(a) A中兩行(歹!J)對應(yīng)元素成比例(b)(c)A中至少有一行元素全為零(d)(c) kn A(d) kn|AA中任意一行為其它行的線性組合A中

11、必有一行為其它行的線性組合5 .設(shè)A, B為n階可逆矩陣，下面各式包正確的是()(a) (A + B),=A+ B(b)(AB)t=AB(c) (A，+B)T = A+|B (d) (A + B)/=A+ B6.設(shè)A為n階萬陣，A為A的伴隨矩陣，則()o- 、 . . . . . ， . .A為A的伴隨矩陣，則行列式_ n_*_*n書*(a)(a) A = A (b) A = A (c) A = A (d) A = A7.設(shè)A為3階方陣，行列式|A=1 ,(2A),-2A =()(a)27 (b)-(c)27 (d)-278278.設(shè)A, B為n階方矩陣，A2 = B2,則下列各式成立的是（）

12、(a)_.2A = B (b)A=B(c) A=|B (d) A = B9.設(shè)A , B均為n階方矩陣,則必有（）(a)A + B=|A+|B (b) AB = BA (c) AB =|BA (d)A2=|B10.設(shè)A為n階可逆矩陣，則下面各式包正確的是（(a) 2 A = 2 AT(c)(A)午a1111.如果Aa21a3101-3 012.已知A23(a) AT = A1 0(c) A 0 00 113.設(shè) A,B,C,I(a) ACB =I(b)一一 一(2A) = 2A= (AT)T,(d)(AT)T=(A')TTai2a13a11 - 3a 31a12 一 3a32a13 -

13、 3a33a22a23a32131 0 - 3,10 0 -3、J 00'0 10(c)0 10(d)01010 01,J 0 1 >2 -3 ba23I(b)a33a21a31a22a32(b)A，(d)10<0為同階方陣,I為單位矩陣,(b) CAB=I(c) CBA10，12<3ABC = I(d)BAC 二14 .設(shè)A為n階方陣，且|A|#0,則()(a) A經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嘔(b)由 AX =BA ,可得 X =B(c)當(dāng)(A 11)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)?I | B)時，有A=B(d)以上(a)、(b)、(c)都不對15 .設(shè)A為m父n階矩陣，秩(A

14、) = r c m < n ,則()。(a) A中r階子式不全為零(b) A中階數(shù)小于r的子式全為零0、(c) A經(jīng)行初等變換可化為 r (d) A為滿秩矩陣<0 0J16 .設(shè)A為m"矩陣，C為n階可逆矩陣，B = AC ,則()。(a)秩(A)> 秩(B)(b)秩(A尸秩(B)(c)秩(人)<秩(8)(d)秩(A)與秩(B)的關(guān)系依C而定17 . A , B為n階非零矩陣，且AB=0 ,則秩(A)和秩(B)()。(a)有一個等于零(b) 都為n (c) 都小于n (d) 一個小于n,一個等于n18 .n階方陣A可逆的充分必要條件是()。(a) r(A) =

15、r cn(b)A 的列秩為 n(c) A的每一個行向量都是非零向量(d) 伴隨矩陣存在19.n階矩陣A可逆的充要條件是()。(a) A的每個行向量都是非零向量(b) A中任意兩個行向量都不成比例(c) A的行向量中有一個向量可由其它向量線性表示(d)對任何n維非零向量X ,均有AX #0 二、填空題1.設(shè)A為n階方陣，I為n階單位陣，且A2 = I ,則行列式|A =Q1biababn '7.非零矩陣a2 bla2b2 a2bn國bianb2 anbn )6.設(shè)4階方陣A的秩為的秩為2.行列式- a-b3 .設(shè) 2A =0 ,則行列式(A+3I)(A2 -9I )的值為1J4 .設(shè) A

16、 =2.3且已知A6 = I ,則行列式A115 .設(shè)A為5階方陣,是其伴隨矩陣，且|A=3,則2,則其伴隨矩陣A的秩為8 .設(shè)A為100階矩陣，且對任何100維非零列向量X ,均有AX # 0 ,則A的秩10.方 陣 A 與 4I 相 似2K11.2K13K12.-1149 .若A = (aj)為15階矩陣，則AT A的第4行第8列的元素是三、計算題1 .解下列矩陣方程（X為未知矩陣）.22 3、空 2、0 11)1-1 0X =32；2)1 011 21,10 -210 000 X2、門 0)=2D <13-101 0 1、C= 2 1 2J 2 b匕1 0'3) X(I B

17、CBT =1 ,其中 B= 4 0 4 <4 1 2 2>'1 0 1、4) AX = A2+X I ,其中 A= 0 2 0 、10 1,.42 3、5) AX =A+2X，其中 a= 11 0L 2 3>.2 .設(shè)A為n階對稱陣，且A2 =0,求A.01 ，求(A+2I)(A2-4I)，1 -13 .已知A = 0 2J 04.設(shè)A00;102、bA1AA2A426.設(shè) A = 1u11”00 11 0，B= 1U1 12 1，求非奇異矩陣口使人=301 07 .求非奇異矩陣P,使PAP為對角陣.di?| 17122 1-A-A8 .已知三階萬陣A的三個特征根為1

18、,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為(0,0,1)T,(-1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩陣 A.5 -3 2、9.設(shè) A=6 -4 4,求 A100.<4 T 5四、證明題1 .設(shè)A、B均為n階非奇異陣，求證AB可逆.2 .設(shè)Ak=0（k為整數(shù)），求證I-A可逆.3 .設(shè)a1.a2,lll,ak為實數(shù)，且如果ak#0 ,如果方陣A滿足Ak +a1Ak，+|+akA + akI =0 ,求證 A是非奇異陣.4 .設(shè)n階方陣A與B中有一個是非奇異的，求證矩陣AB相似于BA.5 .證明可逆的對稱矩陣的逆也是對稱矩陣.6 .證明兩個矩陣和的秩小于這兩個矩陣秩的和.7 .證明兩個矩陣乘積的秩不

19、大于這兩個矩陣的秩中較小者.8 .證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴 隨矩陣.9 .證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.10 .證明每一個方陣均可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和。第二章參考答案9.c ; 10.d ; 11.b; 12.c；1. a ; 2. b ； 3.c ; 4.d ; 5.b ; 6.d ; 7.a ;13.b; 14.a；1或-12. 0; 3.-4; 4. 1; 5. 81; 6.0； 7.1；8. 100; 9.15ai4i =4ai8 ；15.a ; 16.b ; 17.c ; 18.b ; 19.d.三、1.1 ）、-1

20、0-130-2；2）、22-13；3）、11-4-5-3、-3；4）、2003<160.'110-164 000102J12. 011.5)、-3-2-15.8.-1-10-1-912-1-6-62.0；3.-1-3-19 J04.101不唯6.10；7.1)、-11J2)-2101-21-201-2-300 ； 9.13100 +2(2002(2100 +3100)2(310° -1)-1)2 -2100-31004-2100 -2(3100)2(1-3100)31002(310°-1-1)100/2(3) -1第三章向量一、單項選擇題1. %,。2P3,P

21、i,邑都是四維列向量，且四階行列式«1 C(2 C(3 Pl|=m, |。1?203 C(2|=n，則行列式巴«2*3日1+叼=()(a)m n (b)m n (c) m n(d) m n2. 設(shè)A為n階方陣，且網(wǎng)=0,則()0(a)A中兩行(列)對應(yīng)元素成比例(b)A中任意一行為其它行的線性組合(c)A中至少有一行元素全為零(d)A中必有一行為其它行的線性組合3. 設(shè)A為n階方陣，r(A) = r<n,則在A的n個行向量中(a)必有r行同1線®關(guān)(b)任意r個行向量線性無關(guān)(c)任意r個行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)組(d)任意一個行向量都能被 其它r個行向量線

22、性表示4. n階方陣A可逆的充分必要條件是()(a)r(A) = r :二 n(b) A的列秩為n(c) A的每一個行向量都是非零向量(d) A的伴隨矩陣存在5. n維向量組%,口2,as線性無關(guān)的充分條件是()(a)四,口2,叫都不是零向量(b)%,口2,Ps中任一向量均不能由其它向量線性表示(C) «1 «2, Ps中任意兩個向量都不成比例1 d) «1,«2, 氣中有一個部分組線性無關(guān)6 . n維向量組,口2,0s (s2 2)線性相關(guān)的充要條件是()(a)叫a2,Ps中至少有一個零向量(b)%42,，鼻中至少有兩個向量成比例(C)%產(chǎn)2, 4s中

23、任意兩個向量不成比例(d)«1 «2, 產(chǎn)s中至少有一向量可由其它向量線性表示7 . n維向量組%,%,Ps(3«s«n)線性無關(guān)的充要條件是()(a)存在一組不全為零的數(shù)ki,k2,ks使彳.-% + k2% +ksA # 0(b)%,%,j中任意兩個向量都線性無關(guān)(C)%P2, 尸s中存在一個向量，它不能被其余向量線性表示(d)%產(chǎn)2,產(chǎn)s中任一部分組線性無關(guān)實用標(biāo)準(zhǔn)文檔8 .設(shè)向量組ot1,a2； 0s的秩為，則()(a)«i«2,產(chǎn)s中至少有一個由r個向量組成的部分組線性無關(guān)(b)«i,«2,，口s中存在由

24、r +1個向量組成的部分組線性無關(guān)(c)%,c(2,9s中由r個向量組成的部分組都線性無關(guān)9)%22,Ps中個數(shù)小于r的任意部分組都線性無關(guān)9 .設(shè)o(1P2,ps均為n維向量，那么下列結(jié)論正確的是()(a)若 ki«i +k2汽2 +ks«s =0,則%,磔2；Ps線性相關(guān)(b)若對于任意一組不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有ki% +k2a2 +ks«s ¥0,則 四42,Ps線性無關(guān)(c)若巴,久2,Ps線性相關(guān)，則對任意不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,都有"1 k2: 2ks: s =0(d)若0% +0«2 +0吐s =0

25、,則%,久2, Qs線性無關(guān)10 .已知向量組產(chǎn)2尸3尸4線性無關(guān)，則向量組()(a)% +«2,«2 +口3P3 +口4,口4 +% 線性無關(guān)(b)«i -«2,«2 -«3,«3 -«4,«4 -% 線性無關(guān)(c)% +%尸2+%產(chǎn)3 +4尸4 %線性無關(guān)9)% +%尸2 +%,% f產(chǎn)4 -%線性無關(guān)11 .若向量P可被向量組%92, 戶s線性表示，則()(a)存在一組不全為零的數(shù)k *2, ,ks使得k = k1% + k2c12 + ksA(b)存在一組全為零的數(shù)ki ,k2,ks使得k =兄5

26、 +k2a2 +ks-(c)存在一組數(shù) k1, k2, ks 使得 k = k1cc1 + k2ct2 + ksccs(d)對P的表達式唯一12 .下列說法正確的是()(a)若有不全為零的數(shù)ki,k2,ks,使得月%+卜2%+ks«s = 0,則«1,«2, ,J線性無關(guān)(b)若有不全為零的數(shù)ki*2, K,使得k1al + k2 a 2 + ksas#0,則%,口2, ,外線性無關(guān)(C)若%42,Ps線性相關(guān)，則其中每個向量均可由其余向量線性表示(d)任彳sj n十1個n維向量必線性相關(guān)13 .設(shè)P是向量組% =(1, 0, 0)T,a2=(0, 1, 0)T的

27、線性組合，則P =()(Q 3, 0)T (b)(2, 0, 1)T(c)(0, 0, 1)T(d)(0, 2, 1)T14 .設(shè)有向量組% =(1, -1, 2, 4 T , a2=(0, 3, 1, 2，%=(3, 0, 7, 14T, %=(1, -2, 2, 0)T, "(2, 1, 5, 10T,則該向量組的極大線性無關(guān)組為()(a)： 1 ,1 2,： 3(b) ： 1 ,1 2,： 4(c) ： 1 ,1 2,： 5(d)： 1,二 2,二 4, ： 515 .設(shè) a=(a1，a2,a3)T,P=(b1,b2,b3)T,%=(ai,a2)T,3=(b1,bz)T ,下列

28、正確的是()(a)若a, P線性相關(guān)，則%,P1也線性相關(guān)；(b)若a邛線性無關(guān)，則 «1,也也線性無關(guān);(c)若%, P1線性相關(guān)，則u,P也線性相關(guān)；(d)以上都不對二、填空題1 .若巴 =(1, 1, 1)T, 口2 =(1, 2, 3)T, 口3=(1,3, t)T 線性相關(guān)，則 t=一Q2 . n維零向量一定線性 關(guān)。3 .向量a線性無關(guān)的充要條件是 o4 .若巴 ,口2，豆3線性相關(guān)，則豆1,豆2,Qs(S：3)線性 關(guān)。5 . n維單位向量組一定線性。6 .設(shè)向量組久1p2, Ps的秩為r,則a1,a2, Qs中任意r個 的向量都是它的極大線性無關(guān)組。7 .設(shè)向量 %=

29、(1, 0, 1)T與a2=(1, 1, a)T正交，則 a =o8 .正交向量組一定線性。9 .若向量組% ,4, Ps與1凡,，Pt等價，則%,1a2,"“,Ps的秩與1,2,，4的秩10 .若向量組 , 4,4s可由向量組1月,，線性表示,則r(%,%,as) r(P1,P2,pt)o11 .向量組 %=(a, 1, 0, 0T,。2=g2, 1, 1, 0，口3=俗3, 1, 1, 1的 線性關(guān)系是。12 .設(shè) n 階方陣 A =(%,a2j ,an , % =a 2 +a3,則 A =.13.設(shè)0tl =(0, y,)T、工 2 = (x,0, 0)T ,若豆和P是標(biāo)準(zhǔn)正交

30、向量，則x和y的值.14.兩向量線性相關(guān)的充要條件是三、計算題1.設(shè)% =(1+兒 1, 1)T, %=(1，1+九，1)T,%=(1, 1, 1+九)T, -2 TP =(0, K 九)，問(1)九為何值時，P能由巴,。2,A唯一地線性表示？(2)人為何值時，P能由內(nèi),也,外線性表示，但表達式不唯一？(3)九為何值時，口不能由%,C(2產(chǎn)3線性表示？2 .設(shè)% =(1, 0, 2, 3)T, 口2=(1, 1, 3, 5)T, 口3=(1, 1, a + 2, 1)T, 4=(1, 2, 4, a+8)T, P=(1, 1, b + 3, 5)T 問：(1) a,b為何值時，P不能表示為ct

31、1P243P4的線性組合？(2) a,b為何值時，P能唯一地表示為豆1p243p4的線性組合？3 .求向量組口1 =(1, -1, 0, 4),，口2=(2, 1, 5, 6)T,c(3=(1, 2, 5, 2)T , 口4=(1, -1, -2, 0)T , 口5=(3, 0, 7, 14)T 的一個極大線性無關(guān)組， 并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。4 .設(shè)% =(l 1 1)T, %=(1 2 3T,%=(1 3 t)T, t 為何值時豆 1,%,A線性相 關(guān)，t為何值時a192 P3線性無關(guān)？5 .將向量組 % =(1, 2, 0)T,%=(-1, 0, 2):%=(0, 1, 2)

32、T 標(biāo)準(zhǔn)正交化。四、證明題1 .設(shè) P1 =0t1 +ot2, P2 =3a2 -%, P3 =2% -a2,試證 3凡邛3線性相關(guān)。2 .設(shè),儀2,冊線性無關(guān)，證明陽 +汽2,1a2十口3；4n+豆1在n為奇數(shù)時線性無關(guān)；在n為偶數(shù)時線性相關(guān)。3 .設(shè)%,C(2,.«s，P線性相關(guān)，而值1,外,，口s線性無關(guān)，證明P能由«1,«2, J 線性表示且表示式唯一。4 .設(shè)%,口2,4線性相關(guān)，二2,。3,34線性無關(guān)，求證。4不能由二1,。2尸3線性表示。5 .證明：向量組«1,«2,«s(S>2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一

33、個向 量是其余向量的線性組合。6 .設(shè)向量組口 1p2,Ps中小 ¥0,并且每一個四都不能由前i-1個向量線性表示(i =2,3，s),求證叫,外,，鼻線性無關(guān)。7 .證明：如果向量組中有一個部分組線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān)。8 .設(shè)% ,% p2,，j是線性無關(guān)向量組，證明向量組 s s 7s«0,«0 +口140 +S2,，0 +C(s也線性無關(guān)。精彩文案第三章向量參考答案一、單項選擇1 .b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d13 .a 14.b 15. a二、填空題1. 5 2. 相關(guān)3.”0

34、4.相關(guān)5.無關(guān)6.線性無關(guān)7. -18.無關(guān)9.相等10.<11.線性無關(guān)12. 0 13.,1x = 1,y =二.214 .對應(yīng)分量成比例三、解答題1.解：設(shè) P ='% +X2 口 2 +X3口3(1 + £)x1 + x2 +x3 =0貝取寸應(yīng)方程組為4 x1 +(1十*Jx2 +x3 =兒x1 + x2 +(1 + 九)x3 =九21 +九11其系數(shù)行列式A= 11+九1 =九2(九+ 3)111 十 九(1)當(dāng)九#0,九# -3時，A ¥0 ,方程組有唯一解，所以P可由5尸2,1M3唯地線性表示；(2)當(dāng)九=0時，方程組的增廣陣0)p0 T 00

35、.；<01 10、0 0 0,0 0 0 ,口可由口1戶2口3線性表示,r(A) =r(A) =1 <3 ,方程組有無窮多解，所以 但表示式不唯(3)當(dāng)九=-3時，方程組的增廣陣-2111-2111-20、-3910l0-2-30-3、-12一包r(A)#r(A),方程組無解,所以P不能由% ,。23線性表示。2.解：以%,ct293g4, P為列構(gòu)造矩陣102311351121124a 811b 35(D當(dāng)2 = _1且b :0時,P不能表示為(2)當(dāng)a #±1,b任意時,3.解:12a 141 - al41"2,：飛"4的線性組合;P能唯一地表示為

36、a1,a2,a3,a4的線性組合。(1, 二 2, 二 3, ? 4, ： 5)=1-104215612521-1-203071410020100-1100001021-10%,外,5 為一個極大無關(guān)組，且 “3 =9 十04,二 54.解:a ot ot 1, - 2, - 3當(dāng)t =5時%產(chǎn)口 3線性相關(guān)，當(dāng)t #5時巴產(chǎn) 3線性無關(guān)。5.解：先正交化:=1, 2,0T-2= ： 2L(IB1,力145,22T5,再單位化:匕 3,-1二,T 二二123,16,2,.5,0T- -3_33r_ _2_1_5_.30 ,30 ,. 30'.6 '.6ZGz,4為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組

37、。四1.證明題:= 3( -1-)-4(2) 一、)=0 -5'-13-24'-3 = 01232.:設(shè) k1(： 1： 2) k2(： 2： 3)knGn 1 J =0則(kK”1(Kk2)： 2(kn4kn )1 n = 0w,a n線性無關(guān)k1kk1kkn,kn =0102 n為奇數(shù)、0,n為偶數(shù)0其系數(shù)行列式=1(-1)當(dāng)n為奇數(shù)時，kih,，口只能為零，J,”，與線性無關(guān)；當(dāng)n為偶數(shù)時，ki,k2,，kn可以不全為零，«1«2；4n線性相關(guān)。3.證：: 巴,口2,0s，P線性相關(guān)存在不全為零的數(shù)ki,k2,，ks,k使得ki: i k2: 2 ks

38、: s k'?" 0若 k = 0 ,則 k1a1 +k2a2 + +ksas = 0, ( k1,k2, ,ks不全為零)與«1«2,Qs線性無關(guān)矛盾所以k = 0于是.ki2 ： 2 -ks： s k kkB能由%p2,產(chǎn)s線性表示。設(shè) B =ki% +k2a2 + +ksJP =ll% +12ct2 + +ls«s 則-得(ki li)% +«2 T2)0f2 +(ks -1s)«s =0V «i«2,Ps線性無關(guān) ki -li =0,(i =1,2, ,s). ki =1i，(i =1,2,，s)即

39、表示法唯4 .證：假設(shè)能由%,外,外線性表示一4尸3尸4線性無關(guān)，%尸3線性無關(guān).%02,網(wǎng)線性相關(guān)，%可由% ,%線性表示,口 4能由支2,1a3線性表示，從而口 2P3,口4線性相關(guān)，矛盾；口4不能由巴,口2 P3線性表示。5 .證：必要性設(shè)向量組%,%,，明線性相關(guān)則存在不全為零的數(shù)k1,k2,ks，使得k1a1 +k20t2 + +ksus =0不妨設(shè)ks#0,貝Uas=&a1k2a2一幺八， ksksks即至少有一個向量是其余向量的線性組合。充分性設(shè)向量組%42,，叫中至少有一個向量是其余向量的線性組合不妨設(shè)二 s =k1 k2： 2 , ks4： s4則 k1% +k2ct

40、2 + +ksJ-«s =0 ,所以31p2,Ps線性相關(guān)。6 .證：用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)s=1時，% #0,線性無關(guān)，當(dāng)s=2時，= %不能由巴線性表示，；口1,4線性無關(guān)，設(shè)s=i-1時，產(chǎn)2,產(chǎn)i線性無關(guān)則s=i時，假設(shè)%,4,，叫線性相關(guān)，：%1,4,%線性無關(guān)，叫可由42,戶一線性表示，矛盾，所以巴,、；，線性無關(guān)。得證7 .證：若向量組a1,«2,Ps中有一部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)1M1,“2；產(chǎn)r(r<s)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,kr,使得kl ： 1 k2： 2kr - r =。于是 k1 卜2: 2一 kJ r 。: r 10： s =0因為

41、ki,k2,，kr,0,0不全為零所以,久2,4s線性相關(guān)。8 .證：設(shè) koo +k1Qo +%) +卜230 +2)+ +ks0 +6s) = 0則«0 kl k20 " 1 k2： 2ks： s =0因a。,%,%，as線性無關(guān)， s s ss0 +ki +k2 十一 十 ks =0ki =0所以,k2 0解得 k0 = k1 = k2= ks = 0ks =0所以向量組«0,«0 +%尸0 +c(2,，"0+"s線性無關(guān)。第四章線性方程組一、單項選擇題1 .設(shè)n元齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩為r,則AX =0有非零解的

42、充 分必要條件是()r nAX =b有無窮解的充要條件是(A) r = n(B)r : n(C) r -n(D)2 .設(shè)A是mn矩陣，則線性方程組(A) r(A)；m (B)r(A)：二 n3.則(C) r(Ab) =r(A) ；m (D)設(shè)A是mn矩陣，非齊次線性方程組r(Ab) = r(A):二 nAX = b的導(dǎo)出組為AX = 0 ,若m < n ,AX =b必有唯一解AX =0必有唯一解(A) AX = b必有無窮多解(B)(C) AX =0必有非零解(D)4.方程組X 2x2 _ X3 = 4x2 2x3 =2無解的充分條件是(-2)x3 二 -(1-3)( 1 - 4)(1

43、-1)(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4x1 + x2 + x3 =九一15.方程組2x2 ” 二九-2有唯一解的充分條件是x3 - 1 -4(-1痰=-( -3)(' -1)(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4x( 2x2 -x3 - 1 -16 .方程組«3x2-x3 =九-2有無窮解的充分條件是 九=()J -x2 X3 - (3)( 4) . (，, -2)(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 47 .已知 見久是非齊次線性方程組 AX =b的兩個不同的解，5，石是導(dǎo)出組AX =0的基本解系，"k2為任意常數(shù)，則AX =b的通解是()(A)k

44、i 卜2(二 i 1 2)1 2 2(B)P -P(C)ki k2i)12(D)28.設(shè)A為mn矩陣，則下列結(jié)論正確的是(ki： 1 - k2（： 1 -：-2） -% 1 *2（ ：1 - ：2）一：22一：12(A) 若AX =0僅有零解,則AX =b有唯一解(B) 若AX =0有非零解，則AX =b有無窮多解(C) 若AX = b有無窮多解，則AX = 0僅有零解(D)若AX =b有無窮多解，則AX =0有非零解9.設(shè)A為mn矩陣，齊次線性方程組AX = 0僅有零解的充要條件為()(A)A的列向量線性無關(guān)(B)A的列向量線性相關(guān)(C)A的行向量線性無關(guān)(D)A的行向量線性相關(guān)xi x2

45、X3 = 110.線性方程組X為+2x2+3x3=0()4xi 7x2 10x3 = 1(A)無解(B)有唯一解(C)有無窮多解(D)其導(dǎo)出組只有零解、填空題1 .設(shè)A為100階矩陣，且對任意100維的非零列向量X,均有AX#0,則A的 秩為一kxi 2x2 x3 =02 .線性方程組J 2xi+kx2=0僅有零解的充分必要條件是.IXi f2 «3 = 03.設(shè)Xi,X2*lXs和gXi +C2X2 +IH+CsXs均為非齊次線性方程組 AX =b的解（q,C2,|Cs為常數(shù)），則 a+Q+|+cs =4.若線性方程組 AX=b的導(dǎo)出組與BX =0(r(B)= r)有相同的基礎(chǔ)解系

46、，則r(A)=5.若線性方程組Am2X =b的系數(shù)矩陣的秩為m,則其增廣矩陣的秩為6.7.設(shè)10 M15矩陣的秩為8 ,則AX =0的解向量組的秩為.如果n階方陣A的各行元素之和均為0,且rA) n 1，則線性方程組AX =08.的通解為.若n元齊次線性方程組AX =0有n個線性無關(guān)的解向量，則 A =9.設(shè) A |2 31 'a +2一2 J,b =,X = | X2 I lX3,若齊次線性方程組AX=0只有零解,10.1a+2一2 J,b 二130,x 二X1X2<X3 ),若線性方程組AX=b無解，則11.n階方陣A,對于AX =0,若每個n維向量都是解，則r(A)=112

47、 .設(shè)5父4矩陣A的秩為3,%,%,%是非齊次線性方程組AX=b的三個不同的解向量，若% +%+2% =(2,0,0,0)T,3%+% =(2,4,6,8)T , WJ AX =b 的通解 為-13 .設(shè) A為 mn 矩陣，r (A) = r < min( m, n),則 AX=0 有 個解，有 個線性無關(guān)的解.三、計算題1.已知叫尸2a懸齊次線性方程組AX = 0的一個基礎(chǔ)解系，問 %+%,%+%,% +%是否是該方程組的一個基礎(chǔ)解系？為什么?2.設(shè) A =一503412132113211性方程組AX = 0的解, 什么？-16-31 _試問-151-2-6-2-20013100-2。1100,已知B的行向量都是線B的四個行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為3.設(shè)四元齊次線性方程組為x1 x2 =0：lx；”。1)2)求（i）的一個基礎(chǔ)解系如果k1（0,1,1,0）T+k2（-1,2,2,1）T是某齊次線性方程組（II ）的通解，問方程組（I ）和（II ）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若無，說