解一元二次方程的方法

1、解一元二次方程的方法之南宮幫珍創(chuàng)作定義只含有一個(gè) 未知數(shù)，且未知數(shù)的最高 次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程 (quadratic equati on of onevariable )。一元二次方程有四個(gè)特點(diǎn)：(1) 含有一個(gè)未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2 ；(3) 是整式方程.要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理.如果能整理為 axA2+bx+c=0(a工0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程.里 面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。(4) 將方程化為一般形式：axA2+bx+c=0時(shí)，應(yīng)滿足(a、b、c為常數(shù)，0)彌補(bǔ)說明1、該部分的知識(shí)為初

2、等 數(shù)學(xué)知識(shí)，一般在初三就有學(xué)習(xí)。(但一般二次函數(shù)與反比例函數(shù)會(huì)涉及到一元二次方程的解法)2、該部分是高考的熱點(diǎn)。3、 方程的兩根與方程中各數(shù)有如下關(guān)系：X1+X2二-b/a ,X1 X2=c/a (也稱 韋達(dá)定理)4、方程兩根為 x1，x2時(shí)，方程為：x2-(x1+x2)X+x1x2=0 ( 根據(jù)韋達(dá)定理逆推而得)5、 在系數(shù)a0的情況下，b“2-4ac0時(shí)有2個(gè)不相等的 實(shí)數(shù)根，bA2-4ac=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，bA2-4ac0時(shí)無(wú)實(shí)數(shù)根。一般式axA2+bx+c=0 (a、b、c 是實(shí)數(shù)，a0)例如：xA2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)A2=(bA2-4ac)/4aA2(b

3、b上一 4ac+亦丿兩根式(交點(diǎn)式)a(x-x1)(x-x2)=0一般解法(可解部分一元二次方程)因式分解法 又分“提公因式法”、公式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種)”和“十字相乘法”。因式分 解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。如1. 解方程：x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：(x+1 )八2=0解得：x?= x?=-12. 解方程 x ( x+1) -3 (x+1) =0解：利用提公因式法解得：(x-3 ) ( x+1 ) =0即x-3=0 或x+仁0x仁3 ,x2=-13. 解方程x2-4=0解：(x+2 )( x-2 ) =0

4、x+2=0 或 x-2=0二 x?= -2 , x?= 2十字相乘法公式：xA2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+bA2+a-b- 2二ab+a+bA2-b-2二a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)（可解全部一元二次方程）首先要通過 =bA2 -4ac的根的判別式 來判斷一元二次方程 有幾個(gè)根1. 當(dāng) =bA2 -4ac0時(shí)x有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根當(dāng)判斷完成后，若方程有根可根屬于2、3兩種情況方程有根則可根據(jù)公式：x=- bV（ bA2 4ac） /2a來求得方程的根（可解全部一元二次方程）女口：解方程:xA2+2x 3=0解：把常數(shù)項(xiàng) 移項(xiàng)得：x

5、A2+2x=3等式兩邊同時(shí)加1 （構(gòu)成完全 平方式）得：xA2+2x+1=4因式分解 得：（x+1）A2=4解得：x仁-3,x2=1用配方法解一元二次方程小口訣二次系數(shù)化為一 常數(shù)要往右邊移一次系數(shù)一半方兩邊加上最相當(dāng)(可解部分一元二次方程)如：xT-24=1解：x2=25x= 5x?=5 x?= -5(可解部分一元二次方程)axA2+bx+c=0同時(shí)除以a，得到xA2+bx/a+c/a=0設(shè) x1=-b/(2a)+m, x2=-b/(2a)- m (m 0)根據(jù) x1*x2=c/a求得m。再求得x1, x2。如：xA2-70x+825=0均值為 35，設(shè) x1=35+m, x2=35- m

6、(m0) x1*x2=825所以m=20所以 x?=55 , x?=15。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（以下兩個(gè)公式很重要，經(jīng)常在 考試中運(yùn)用到）一般式：axA2+bx+c=0的兩個(gè)根x?和x?的關(guān)系：x1+x2二-b/ax1*x2=c/a如何選擇最簡(jiǎn)單的解法1. 看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考慮 提公因式法，再考慮平方公式法，最后考慮十字相乘法）2. 看是否可以直接開方解3. 使用公式法求解4. 最后再考慮配方法（配方法雖然可以解全部一元二次方程，但是有時(shí)候解題太麻煩）。如果要介入競(jìng)賽，可按如下順序：1.因式分解2.韋達(dá)定理3.判別式4.公式法5.配方法6. 開平方7.求根公式

7、8.暗示法例題精講1、開方法：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如（x- m）A2=n （n 0）的方程，其解為x=nV n例1.（ 1） （3x+1F2=7 分析：此方程顯然用直接開平方 法好做。(1) 解:(3x+1)八2=73x+1=V 7/. x1=.,x2= .(2) 9xA2-24x+16=11 方程左邊是完全平方式(3x-4)A2 ，右邊=110，所以此方程也可用直接開平方法解解：9xA2-24x+16=11(3x-4)A2=113x- 4=V 11x1=.,x2= .2. 配方法：例1用配方法解方程 3xA2-4x-2=0解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程

8、右邊3xA2-4x=2將二次項(xiàng)系數(shù)化為1: xA2-4/3x=2/3方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：xA2-4/3x+(-2/3)A2= 2/3+(-2/3 )八2配方：(x-2/3)A2=10/9直接開平方得：x- 2/3= 士 (10)/3二x?= , x?=. 二原方程的解為 x?=,x?=.3. 公式法：把一元二次方程化成axA2+bx+c的一般形式，然后把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。當(dāng) =bA2 -4ac0時(shí)，求根公式為 x仁卜b+V少八2 -4ac)/2a,x2=-b-V少八2 -4ac)/2a(兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根)當(dāng) =bA2 -4ac=0時(shí)，求根

9、公式為 x仁x2=-b/2a(兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根)當(dāng)二匕八2-4ac0x= (4 士 V6)/2原方程的解為 x?=(4+ V6)/2,x?=(4- V6)/2.4. 因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于 零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得的 根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因 式分解法。例4.用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8解：化簡(jiǎn)整理得xA2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零)(x-5)(x+2)=0 ( 方程左邊分解因式).x -5=0或x+2

10、=0 (轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程 ) x?=5,x?二-2是原方程的解。 2xA2+3x=0解：x（2x+3）=0 （用提公因式法將方程左邊分解因式） x=0或2x+3=0 （轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一元一次方程） x?=0， x?=-3/2是原方程的解。注意：容易丟掉 x=0這個(gè)解，應(yīng)記住一元二次方程通常有兩個(gè) 解。 6xA2+5x-50=0 （ 選學(xué)）解：（十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號(hào)不要出錯(cuò)） 2x-5=0 或 3x+10=0 x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。（4）xA2-4x+4 =0解：（x+2）（x-2 ）=0 x?= -2 ,x?=2 是原方程的解。小結(jié)一般解一元二次方程，最經(jīng)常使用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。直接開平方法 是最基本的方法。公式法和配方法 是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方 程化成一般形式，以便確定系數(shù)