3[1]1微分中值定理及其應(yīng)用

1、3.2微分中值定理及其應(yīng)用教學(xué)目的：1. 掌握微分學(xué)中值定理，領(lǐng)會其實質(zhì)，為微分學(xué)的應(yīng)用打好堅實的理論基礎(chǔ)；2. 熟練掌握洛比塔法則，會正確應(yīng)用它求某些不定式的極限；3. 掌握泰勒公式，并能應(yīng)用它解決一些有關(guān)的問題；使學(xué)生掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上整體性態(tài)的理論依據(jù)和方法，能根據(jù)函數(shù)的整體性態(tài)較為準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖象；4. 會求函數(shù)的最大值、最小值，了解牛頓切線法。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是中值定理和泰勒公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值與凸性；難點(diǎn)是用輔助函數(shù)解決問題的方法。教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時一、微分中值定理：1. Rolle中值定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間a頂上連續(xù)，在（低&）內(nèi)可導(dǎo)，且有抓）=姬

2、=。.貝U北-（a,b），使得f估）=0.2. Lagrange中值定理：設(shè)函數(shù)/在區(qū)間。力上連續(xù)，在版尚內(nèi)可導(dǎo)，則-（a,b），使得f寸）=f（；二（a）.推論i函數(shù)在區(qū)間i上可導(dǎo)且廣（對三0,n/（力為i上的常值函推論2函數(shù),和在區(qū)間I上可導(dǎo)且典）三眄=加推論3設(shè)函數(shù)Hx）在點(diǎn)而的某右鄰域U而）上連續(xù)，在U+（XO）內(nèi)可導(dǎo).若血（對=ff（x0+0）存在，則右導(dǎo)數(shù)/；（瓦）也存在,且有/；（布）=/0+0）,XT禮-（證）但是，S0）不存在時，卻未必有工（、）不存在.例如對函數(shù)（x2sin0,L0雖然廣（0+0）不存在，但/卻在點(diǎn)1=0可導(dǎo)（可用定義求得廣（0）=0）.aTh（導(dǎo)數(shù)極限定理

3、）設(shè)函數(shù)/（了）在點(diǎn)而的某鄰域IJ（而）內(nèi)連續(xù),在：.內(nèi)可導(dǎo).若極限知廣0）存在,則，功也存在，且/（%）=知了饑,（證）XT命由該定理可見，若函數(shù)了（X）在區(qū)間I上可導(dǎo)，則區(qū)間I上的每一點(diǎn)，要么是導(dǎo)函數(shù)廣的連續(xù)點(diǎn)，要么是尸（X）的第二類問斷點(diǎn).這就是說，當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)時，導(dǎo)函數(shù)/在區(qū)間I上不可能有第二類問斷點(diǎn).推論4（導(dǎo)函數(shù)的介值性）若函數(shù)，在閉區(qū)問色句上可導(dǎo)，且fXMgu弋e（）,3廣項（證）Th（Darboux）設(shè)函數(shù)了（X）在區(qū)間afb可導(dǎo)且TV）.若k為介WS）與f，0）之間的任一實數(shù)，則3*（）,=k（設(shè)廣對輔助函數(shù)二J（x）F，應(yīng)用系4的結(jié)果.）（證）3. Ca

4、uchy中值定理:Th3設(shè)函數(shù)/和g在閉區(qū)問叵句上連續(xù)，在開區(qū)間(仍內(nèi)可導(dǎo)，和在()內(nèi)不同時為零，乂g(G)亍g(b).則在()內(nèi)至少存在一點(diǎn)匕使.證分析引出輔助函數(shù)火L*).驗證F(x)在gw-gw0,句上滿足Rolle定理的條件，=Ye(叫BF叮(-氣廠g=0.g-g(a)必有m，因為否則就有f司=0.這與條件“f和，在03)內(nèi)不同時為零”矛盾.Cauchy中值定理的幾何意義.(二)中值定理的簡單應(yīng)用：1. Rolle中值定理的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)/在區(qū)間們句上連續(xù)，在(。J)內(nèi)可導(dǎo)，且有-.試證明：；-.提示：設(shè)F(x)=f(x)e例2設(shè)函數(shù)卬(x)，甲(x)在區(qū)間的句上連續(xù)，在03)內(nèi)可導(dǎo),

5、且甲(為)=8(x2)=0,x,x2在(a,b).試證明:Me(x，x2),使得W(勺+嚇件(勺=0.f()f()-f(a)g()一g(b)-g()例3設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)問切,可上連續(xù)，在(a,)內(nèi)可導(dǎo)，對(a,b),g(x)。0,試證w(a,b)，使得提示：設(shè)F(x)f(x)f(a)g(b)g(x)例4已知函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且好1!丑=0,門0)=門1)=0,試證在區(qū)問(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&,3f)=0例5證明方程+=0在(頃)內(nèi)有實根.例6證明方程4+2cx=ab+c在(0)內(nèi)有實根.練習(xí)設(shè)函數(shù)，在區(qū)間0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(l)=0,lim

6、f(x)T=1,試證明(1)w(】,1),mf)=聽;x；)22(2)對任意實數(shù)舄，必存在，w(0,n)”f估)心(。一勺=1.提示：(2)F(x)=exf(x)-x,F()=0,F(0)=0廣義Rolle中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在x芝0可微，limf(x)存在且等丁f(0),x-則存在C(0,E),使得f(c)=0.例7設(shè)函數(shù)在0,危)上連續(xù)可微，f(0)=1,f(x)共二證明存在一點(diǎn)x,使得f(x)=-e次x練習(xí)設(shè)函數(shù)了在0,危)上可微，0苴f(x)弓1丁2，試證3-w(0,kc),使得i_2f()=L-2. Lagrange中值定理的應(yīng)用例8設(shè)J是可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，若

7、f(a)=f(b),(ab),試證對一切xw(a,b),有f(x)f(a)=f(b).(不得直接利用凸函數(shù)的性質(zhì))3. Cauchy中值定理的應(yīng)用例1設(shè)函數(shù)了在區(qū)間0,句上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，f(a)#f(b),則.ab,(a,b),f(rf().練習(xí)設(shè)函數(shù)/在區(qū)間afb連續(xù)，在(a力)內(nèi)可導(dǎo)，0a0(或0),M對的句上的任意丹個點(diǎn)時1上質(zhì)),有Jensen不等式：11s汐g或5滔,且等號當(dāng)且僅當(dāng)I=1廣=L時成立.1證令X。=一把子仿）表為點(diǎn)Xq處具二階Lagrange型余項的歡A-1Taylor公式，仿前述定理的證明，注意（瓦-冷）=0,即得所證.JUL對具體的函數(shù)套用Jensen不等式的結(jié)果

8、，可以證明一些較復(fù)雜的不等式.這種證明不等式的方法稱為Jensen不等式法或凸函數(shù)法.具體應(yīng)用時，往往還用到所選函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.1例2證明：對VxjeRf有不等式&*+#）.例3證明均值不等式：對V%巧，,向ER*,有均值不等式的的證先證不等式啊冬-一住取/（）=M八/在（0,+）內(nèi)嚴(yán)格上凸，由Jensen不等式，有矛Wh居由了()/n七n對用上述已證結(jié)果，即得均值不等式的左半端向明知例4證明：對YfeR,有不等式.（平方根平均值）例5設(shè)x+y+z二6,證明x+y+z212.解取J（x）=F,應(yīng)用Jensen不等式.“凸（凹）函數(shù)Jensen不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例：參閱荊昌漢文:定理在不等式證明中的應(yīng)用”，數(shù)學(xué)通訊1980.4.P39.3*在/中，求證汕A+寺一.2考慮函數(shù)_.:在區(qū)間（0）內(nèi)凹,由Jensen不等式，有J+5+C3x3=sm=.sinA+sinB+sinC_f(A)+.J:：.I.I：.2例7已知姑ceRLM+c=L求證一|二|解考慮函數(shù)六I）二樂,了在（們+如）內(nèi)嚴(yán)格上凸.由Jensen不等式，有事云占十矩頑+璇斯/（3白十7）+/（必+7）+了（玄+7）/=