興化市高中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試卷

1、興化市高中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試卷 (考試時(shí)間：150分鐘 滿分：160分) 2011年9月25日題號(hào)一二總分評(píng)分人復(fù)計(jì)分人得分得分閱卷人一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在各題的相應(yīng)的橫線上1若的內(nèi)角滿足，則的值為 2已知是定義在上的函數(shù)，且是偶函數(shù)，則圖象關(guān)于直線 對(duì)稱3設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，若，則的值是 4若函數(shù)定義域是，則函數(shù)的值域是 5設(shè)，則的值為 6已知是實(shí)數(shù)且若，那么 7設(shè)是空間中給定的個(gè)不同的點(diǎn)，則使成立的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 8如圖，直線MN過的重心G，且（其中)，則的最小值是 (第8題圖) (第9題圖)9如圖，在四面體中，面，則四面體的外接球的表面積為

2、 10有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本若將其隨機(jī)地并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率為 11如圖，是根據(jù)所輸入的值計(jì)算值的一個(gè)算法程序，若依次取數(shù)列 中的前項(xiàng)，則輸出值中的最小值為 Read If 0 ThenElseEnd IfPrint (第11題圖)12平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若 ，則橢圓的離心率為_ (第12題圖)13設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的值 14設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

3、程或演算步驟得分閱卷人15（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求的值；（2）求的值得分閱卷人16（本小題滿分14分）如圖,在三棱柱中，側(cè)棱底面,為的中點(diǎn)，,.（1）求證：平面；（2求四棱錐的體積得分閱卷人17（本小題滿分14分）如圖，點(diǎn)A（非頂點(diǎn)）為拋物線上任一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)求作拋物線在點(diǎn)A處的切線，并證明得分閱卷人18（本小題滿分16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，記 .（1）若為常數(shù)列，求的值；（2）若為公比為的等比數(shù)列，求的解析式；（3）數(shù)列能否成等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立?若能，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說明理由得分閱卷人19（本小題滿分16分）已知，函數(shù)，（1）當(dāng)=

4、2時(shí)，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）設(shè)，函數(shù)在上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出的取值范圍（用表示）得分閱卷人20（本小題滿分16分）已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為，（），將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列（1）求；（2）求證：在數(shù)列中但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式興化市高中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽參考答案1； 2； 3； 4； 5； 6；7； 8； 9； 10； 11； 12；13； 1415解：（1）由，可得，所以（2）因?yàn)?，所以，所?6（1）證明:連接,設(shè)與相交于點(diǎn),連接, 四邊形是平行四邊形, 點(diǎn)為的中點(diǎn). 為的中點(diǎn)，為的中位線, . 平面,

5、平面,平面. （2）解法1：平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足為，則平面， ，在中，四棱錐的體積 .四棱錐的體積為. 解法2：平面,平面，.,.，平面. 取的中點(diǎn),連接,則，平面.三棱柱的體積為， 則，. 而,. .四棱錐的體積為. 17解：作法一：以拋物線的焦點(diǎn)F為圓心，以|FA|為半徑畫弧與拋物線的對(duì)稱軸交于一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在頂點(diǎn)O的左側(cè)，則直線AB就是拋物線在點(diǎn)A處的切線xyFABO證明：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），設(shè)A（），則|FA|=，從而B（），故過點(diǎn)A、B的直線方程為 （*）利用方程將方程（*）整理得，此方程即為拋物線在點(diǎn)A處的切線點(diǎn)方程作法二：過作軸垂線，交軸于點(diǎn)，在軸

6、上截取，且點(diǎn)B在頂點(diǎn)O的左側(cè)，連，則直線為所求作的切線證明同上18解:（1）為常數(shù)列，.（2）為公比為的等比數(shù)列，.，故. （3）假設(shè)數(shù)列能為等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，設(shè)公差為，則， 且，相加得 ，.恒成立，即 恒成立，.故能為等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，它的通項(xiàng)公式為. （也可先特殊猜想，后一般論證及其它方法相應(yīng)給分）19解：（1）當(dāng)時(shí)，由圖象可知，單調(diào)遞增區(qū)間為（-，1，2，+）（開區(qū)間不扣分）（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)時(shí)，（）當(dāng)時(shí)， （3）當(dāng)時(shí)，圖象如右圖所示由得，當(dāng)時(shí)，圖象如右圖所示由得， 20解：（1） ；（2） 任意，設(shè)，則，即 假設(shè)（矛盾）， 在數(shù)列中但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為（

7、3） ， ， 當(dāng)時(shí)，依次有， 興化市高中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽參考答案1； 2； 3； 4； 5； 6；7； 8； 9； 10； 11； 12；13； 1415解：（1）由，可得，所以（2）因?yàn)椋?，所?6（1）證明:連接,設(shè)與相交于點(diǎn),連接, 四邊形是平行四邊形, 點(diǎn)為的中點(diǎn). 為的中點(diǎn)，為的中位線, . 平面,平面,平面. （2）解法1：平面,平面, 平面平面，且平面平面.作，垂足為，則平面， ，在中，四棱錐的體積 .四棱錐的體積為. 解法2：平面,平面，.,.，平面. 取的中點(diǎn),連接,則，平面.三棱柱的體積為， 則，. 而,. .四棱錐的體積為. 17解：作法一：以拋物線的焦點(diǎn)F為圓心

8、，以|FA|為半徑畫弧與拋物線的對(duì)稱軸交于一點(diǎn)B，且點(diǎn)B在頂點(diǎn)O的左側(cè)，則直線AB就是拋物線在點(diǎn)A處的切線xyFABO證明：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），設(shè)A（），則|FA|=，從而B（），故過點(diǎn)A、B的直線方程為 （*）利用方程將方程（*）整理得，此方程即為拋物線在點(diǎn)A處的切線點(diǎn)方程作法二：過作軸垂線，交軸于點(diǎn)，在軸上截取，且點(diǎn)B在頂點(diǎn)O的左側(cè)，連，則直線為所求作的切線證明同上18解:（1）為常數(shù)列，.（2）為公比為的等比數(shù)列，.，故. （3）假設(shè)數(shù)列能為等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，設(shè)公差為，則， 且，相加得 ，.恒成立，即 恒成立，.故能為等差數(shù)列，使得對(duì)一切都成立，它的通項(xiàng)公式為. （也可先特殊猜想，后一般論證及其它方法相應(yīng)給分）19解：（1）當(dāng)時(shí)，由圖象可知，單調(diào)遞增區(qū)間為（-