淺談數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、2011年北京市教育科學(xué)研究參評論文類 別： A 編 號： 06 題 目：淺談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 內(nèi)容提要: 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的對象，概括起來就是數(shù)和形兩個方面?！皵?shù)”與“形”是貫穿整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，更是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容。“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合既是數(shù)學(xué)的重要思想，更是解決問題的重要方法。數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了代數(shù)和幾何中最精彩的方面：幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性、解題過程機(jī)械化、可操作性強(qiáng)，便于把握，因此數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，承載了為中學(xué)數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)的任務(wù)。主 題 詞： 數(shù)形結(jié)合 作者單位： 海淀區(qū)

2、 區(qū)（縣） 第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)學(xué)校作者姓名： 劉坤 通訊地址： 北京市海淀區(qū)清河鎮(zhèn)西 郵 編： 100085 聯(lián)系電話 單位： 62914379 住宅： 手機(jī)： 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的對象，概括起來就是數(shù)和形兩個方面。“數(shù)”與“形”是貫穿整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線，更是貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)始終的基本內(nèi)容?！皵?shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合既是數(shù)學(xué)的重要思想，更是解決問題的重要方法。數(shù)形結(jié)合的思想方法體現(xiàn)了代數(shù)和幾何中最精彩的方面：幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性、解題過程機(jī)械化、可操作性強(qiáng)，便于把握，因此數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)好小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，承載了為中學(xué)數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)的任務(wù)。然而，目

3、前小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法落實(shí)得怎樣呢？經(jīng)過調(diào)查我們發(fā)現(xiàn)很多老師認(rèn)為小學(xué)接觸到該詞，當(dāng)時與之相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容主要集中在：用線段表示應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系，關(guān)于路程、行程的應(yīng)用題；對“數(shù)”的涵義絕大多數(shù)人回答為：數(shù)量關(guān)系。有一部分人列舉數(shù)量關(guān)系的外延來代替，例如數(shù)字和代數(shù)的字母、表達(dá)式及其之間的運(yùn)算。也有一小部分的人望文生義認(rèn)為“數(shù)”指代數(shù)、數(shù)據(jù)、函數(shù)等。對“形”的涵義絕大多數(shù)人回答為：空間形式。有一部分人列舉空間形式的外延來代替，例如圖形、圖象、實(shí)物等。基本上沒有太離譜的答案。對“結(jié)合”的涵義答案相當(dāng)多。大多數(shù)人認(rèn)為“結(jié)合”就是：相互轉(zhuǎn)化（換）、相互反映、相互表達(dá)、建立對應(yīng)關(guān)系等等

4、。 對于“數(shù)形結(jié)合”的作用。 “數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”。大部分人認(rèn)為“數(shù)形結(jié)合”的主要作用在于將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，化抽象為形象，使學(xué)習(xí)者建立直觀的認(rèn)識，或使解題者便于發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，即以“形”助“數(shù)”。但沒有人將借“數(shù)”解“形”及其同義詞名單獨(dú)地作為答案。通過對“數(shù)形結(jié)合”作用的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，多數(shù)人對將數(shù)轉(zhuǎn)化形比較關(guān)注，但是覺得數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)目標(biāo)中不像知識目標(biāo)那樣顯性，是隱性的，想滲透但不知怎樣滲透、怎樣培養(yǎng)。同時還可以發(fā)現(xiàn)對借“數(shù)”解“形”重視不足。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是很不到位的。部分教師仍然過分重視知識的傳授或是進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練，而一些數(shù)學(xué)思想往往會被忽視，被理解成數(shù)學(xué)中

5、最常見的、最基本、較淺顯的內(nèi)容，一帶而過，有名無實(shí)。這種對數(shù)學(xué)思想方法理解偏頗的教學(xué)也導(dǎo)致了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的膚淺，不完整，也造成學(xué)生只能停留在解題方法的一招一式的模仿上，不易形成數(shù)學(xué)意識，因此學(xué)生對問題的審視不能站在一定的高度，對問題的解決缺乏靈活駕馭的能力。 因此針對以上這些我難題，我在教學(xué)中關(guān)注了以下幾點(diǎn)：一、 數(shù)形結(jié)合，變“模糊”為“清晰” 建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的本質(zhì)是：學(xué)習(xí)并非對于教師所授予的知識的被動接受，而是學(xué)習(xí)者以自身已有的知識和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)意義所指的“意義”是人們一致公認(rèn)的事物的性質(zhì)、規(guī)律以及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。是比較抽象的概念。而“數(shù)形結(jié)合”能使比較

6、抽象的概念轉(zhuǎn)化為清晰、具體的事物，學(xué)生容易掌握和理解。 例如：在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的初步認(rèn)識時，因?yàn)橥灰饬x可以表示兩種乘法算式，如果老師在教學(xué)過程中，不注意數(shù)形結(jié)合，學(xué)生對乘法意義的理解及運(yùn)用往往處于云里霧里的“一知半解”狀態(tài)。如二年級有3個班，每班有4個三好學(xué)生，問：一共有多少個三好學(xué)生？這道題對于剛剛接觸到“乘法”的二年級學(xué)生來說，有的會以樣畫葫蘆地用3×4=12或4×3=12求出答案，也有的會用3+4=7，為什么會出現(xiàn)用加法運(yùn)算呢？其實(shí)是不理解同一算式的兩種不同含義，這時，可以將題目的意思用圖表示出來，借助下圖來理解：在看圖的基礎(chǔ)上，學(xué)生清楚地 4+4+4 3×

7、4 4×3 3+3+3+3 理解：橫看圖形，得到4+4+4，可以表示成3×4或4×3，豎看圖形，得到3+3+3+3，可以表示成3×4或4×3。但是，老師問學(xué)生：3×4、4×3表示什么？如果在學(xué)生表達(dá)乘法意義時，不結(jié)合圖形，學(xué)生會含糊的表述3×4既表示3個4相加，也表示4個3連加，4×3既表示3個4連加，也表示4個3連加。如果不進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析，學(xué)生腦中所構(gòu)建的意義是模糊不清的。我認(rèn)為：在學(xué)生表達(dá)3×4既表示3個4連加也表示4個3連加時，老師應(yīng)該結(jié)合圖形強(qiáng)調(diào)，3個4連加應(yīng)該怎樣看？（橫看）4個3連

8、加又應(yīng)該怎樣看？（豎看）指一指，說說相同加數(shù)是多少？幾個這樣的相同加數(shù)？通過數(shù)與形的一一對應(yīng)，來意義建構(gòu)乘法算式所表達(dá)的意義。這樣借助圖形變抽象的乘法的意義為具體的事物，幫助學(xué)生將頭腦中模糊的數(shù)學(xué)概念逐漸清晰，學(xué)生自然就不會出現(xiàn)3+4=7的錯誤了。 二、 數(shù)形結(jié)合，變“模仿”為“理解” 在學(xué)生學(xué)習(xí)三角形、梯形等面積計(jì)算時，一般的教學(xué)過程是學(xué)生經(jīng)歷面積公式的推導(dǎo)之后，讓學(xué)生運(yùn)用面積公式解決圖形面積問題。那么為什么學(xué)生在解題的過程中，常常會把三角形的面積公式中的“÷2”掉了呢？這樣是否就把錯誤的原因簡單地歸結(jié)為“不細(xì)心”？其實(shí)不是那么簡單，而是學(xué)生沒有很好地理解公式的含義，即使有的學(xué)生做

9、對了，他的解題活動也是完全建立在對公式的機(jī)械記憶和例題的簡單模仿之上。那么，如何使學(xué)生在經(jīng)歷面積公式的推導(dǎo)之后，不是機(jī)械套用公式解決問題，而是進(jìn)一步地理解面積公式意義呢？ 我在教學(xué)三角形面積的教學(xué)時，在學(xué)生經(jīng)歷三角形面積公式的推導(dǎo)之后，讓學(xué)生獨(dú)立求下列三角形的面積，提問：“你是怎樣求的？為什么？”在反饋下面圖（1）的解題思路時，要求學(xué)生說清楚8×5求的是什么？在圖上畫一畫，指一指，老師在課件上展示正確的圖像加以強(qiáng)化。8×5÷2呢？有的孩子解題思路同樣強(qiáng)化數(shù)與形的緊密結(jié)合，以此促進(jìn)學(xué)生理解三角形面積計(jì)算的算理，使學(xué)生知其然且知其所以然，同時也強(qiáng)化“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方

10、法。 三、 數(shù)形結(jié)合，變“定勢”為“創(chuàng)造” 數(shù)形結(jié)合能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感，進(jìn)行形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用，是多種思維互相促進(jìn)，和諧發(fā)展的主要形式。數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生克服思維定勢，鼓勵學(xué)生大膽合理地進(jìn)行想象，讓學(xué)生充分表現(xiàn)他們的“發(fā)明”、“創(chuàng)造”，培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力和探索精神，不拘泥于教師教過的一般解題模式，追求解題方法的新穎和奇特，能從新的角度、用靈活的方法解決問題。如計(jì)算+=？按一般的解法，先進(jìn)行通分，然后按同分母分?jǐn)?shù)加法的法則算出結(jié)果，但這樣算起來比較麻煩，如果借助作圖，此題就不難了，解題方法非常簡捷。 實(shí)踐證明：數(shù)形結(jié)

11、合可以促進(jìn)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，獲得較優(yōu)化的解法，可以激發(fā)學(xué)生的靈感，產(chǎn)生頓悟，直接獲得結(jié)果。 四、 數(shù)形結(jié)合，變“主觀”為“現(xiàn)實(shí)” 數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路。數(shù)學(xué)知識來源于現(xiàn)實(shí)，又必須符合現(xiàn)實(shí)，數(shù)形結(jié)合，能很好地促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，靈活解決數(shù)學(xué)問題。 如：某醫(yī)院包扎用的三角巾是底和高各為9分米的等腰三角形?，F(xiàn)在有一塊長72分米，寬18分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？這道題表述的應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系錯綜復(fù)雜時，就文字的理解，得出的數(shù)量關(guān)系是“長方形白布的面積÷

12、;三角巾面積=三角巾的塊數(shù)”，即72×18÷（9×9÷2）=1296÷40.5，對于沒有學(xué)過小數(shù)除法的學(xué)生是不能解答這道題目的。這道題是不是只有這種解題方法呢？這時我運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，將題目的意思用圖表示出來： 72里有幾個9？18里有幾個9？ 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出示意圖可以先求共有幾個正方形，再求有幾個三角形。于是，有的學(xué)生想：72÷9×（18÷9）×2；有的學(xué)生想：82×18÷（9×9）×2。這樣很好地幫助理清數(shù)量之間的關(guān)系，從而明確解題思路，甚至拓寬解題思路。當(dāng)白

13、布長度不是9分米的整數(shù)倍時，就不能主觀地用面積包含關(guān)系來解答這類習(xí)題了。因?yàn)槿绻妹娣e包含關(guān)系來解答這類習(xí)題，其答案肯定會不符合實(shí)際。 五、 數(shù)形結(jié)合，變“抽象”為“直觀” 我國數(shù)學(xué)家張廣厚說過：“數(shù)學(xué)無疑是一門高度抽象的學(xué)科，需要人們具有高度抽象思維的能力。但是也同樣需要很強(qiáng)的幾何直觀能力。抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，一般說明還沒有把握住問題的實(shí)質(zhì)?！睆倪@樣的角度看，小學(xué)生在解決問題的過程中，學(xué)會數(shù)形結(jié)合，用畫圖的策略整理?xiàng)l件和問題，進(jìn)而分析數(shù)量關(guān)系，解決問題。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生形成“在抽象中看出直觀”的意識和能力。 48平方米 48平方米

14、 4米 6米 六、數(shù)形結(jié)合，變“復(fù)雜”為“簡單” 小學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，往往會單維度地思考問題，這其實(shí)就是受他們空間想象能力制約的影響。兒童在觀察的過程中，只觀察到事物的表面現(xiàn)象，卻不能透過現(xiàn)象，找出事物的本質(zhì)。教師應(yīng)指導(dǎo)他們逐漸懂得看問題應(yīng)該從什么角度看，找出問題內(nèi)在的規(guī)律，逐步形成由淺入深，將復(fù)雜問題簡單化，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。 例如：王阿姨以每雙13元購進(jìn)一批涼鞋，售價為14.8元。賣到還剩5雙時，除去購進(jìn)這批涼鞋的全部開銷外，還獲利88元，你知道王阿姨共購進(jìn)涼鞋多少雙？一般學(xué)生用方程、假設(shè)法進(jìn)行解答。這時，教師啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的問題用圖形表示，既簡單又巧妙。即：用

15、一大一小的兩個長方形拼在一起，如下圖：用長表示涼鞋的雙數(shù)，寬表示每雙涼鞋的單價，面積就表示涼鞋賣的錢數(shù)。的面積表示已賣掉的涼鞋獲得的利潤，的面積表示已賣掉的涼鞋的成本，的面積表示5雙涼鞋的成本。由條件可知：的面積的面積88元。的面積為：8865153元。已賣掉的涼鞋雙數(shù)為：153÷（14.313）85雙。這批涼鞋共有：85590雙。這樣巧妙地利用長方形表示題目的條件，將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為圖形問題，讓人一目了然。讓學(xué)生親身經(jīng)歷將數(shù)學(xué)實(shí)際問題抽象成簡單的數(shù)學(xué)圖形并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展。 如果說生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，生生間的合作交流是學(xué)習(xí)的推動力，那么，數(shù)形結(jié)合是學(xué)生建構(gòu)知識