第14講線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第 15 講第六章 控制系統(tǒng)的校正前面幾章中討論了控制系統(tǒng)幾種根本方法。掌握了這些根本方法，就 可以對控制系統(tǒng)進行定性分析和定量計算。本章討論另一命題，即如何根 據(jù)系統(tǒng)預(yù)先給定的性能指標，去設(shè)計一個能滿足性能要求的控制系統(tǒng)?；?于一個控制系統(tǒng)可視為由控制器和被控對象兩大局部組成，當被控對象確 定后，對系統(tǒng)的設(shè)計實際上歸結(jié)為對控制器的設(shè)計，這項工作稱為對控制 系統(tǒng)的校正。在實際過程中，既要理論指導(dǎo)，也要重視實踐經(jīng)驗，往往還要配合許多局 部和整體的試驗。所謂校正，就是在系統(tǒng)中參加一些其參數(shù)可以根據(jù)需要 而改變的機構(gòu)或裝置，使系統(tǒng)整個特性發(fā)生變化，從而滿足給定的各項性 能指標。工程實踐中常用的校正方

2、法，串聯(lián)校正、反應(yīng)校正和復(fù)合校正。 6.1 系統(tǒng)的設(shè)計與校正問題6.1.1 控制系統(tǒng)的性能指標時域指標 穩(wěn)態(tài) 型別、靜態(tài)誤差系數(shù)動態(tài) 超調(diào)、調(diào)整時間頻域指標 開環(huán)頻率 增益穿越頻率、幅值裕度和相位裕度閉環(huán)頻率諧振峰值、諧振頻率目前，工業(yè)技術(shù)界多習(xí)慣采用頻率法，故通常通過近似公式進行兩種指標 的互換。參見書p220(1)二階系統(tǒng)頻域指標與時域指標的關(guān)系(6-1)諧振峰值Mr二 10- : 0.7072巴尸2諧振頻率 -“.1-2 2 (6-2)帶寬頻率 b =叭丫1 -2皆 + J(1 2：2)2 +1 (6-3)截止頻率 n 一 (4 4 1 -2 2 (6-4)相位裕度 =arctg加4 +

3、1 _2哄(6-5)超調(diào)量； =e J 100%(6-6)調(diào)節(jié)時間 ts 二 'cts 二 7tg(6-7)(2)高階系統(tǒng)頻域指標與時域指標(6-8)超調(diào)量 v -0.16 0.4(Mr -1)1 < Mr <1.8(6-9)調(diào)節(jié)時間t(6-10)«cK =2 1.5(Mr -1) 2.5(Mr -1)21空 M r 乞1.8系統(tǒng)帶寬的選擇帶寬頻率是一項重要指標。既能以所需精度跟蹤輸入信號，又能擬制 噪聲擾動信號。在控制系統(tǒng)實際運行中，輸入信號一般是低頻信號，而噪 聲信號是高頻信號。如果輸入信號的帶寬為OM圖6-1系統(tǒng)帶寬的選擇校正方式串聯(lián)校正 一般接在系統(tǒng)誤差測

4、量點之后和放大器之前，串聯(lián)接于系統(tǒng)前向通道之中 反應(yīng)校正接在系統(tǒng)局部反應(yīng)通路中 前饋校正 又稱順饋校正。單獨作用于開環(huán)控制系統(tǒng)，也可作為反應(yīng)控制系 統(tǒng)的附加校正而組成復(fù)合控制系統(tǒng)。復(fù)合校正 在反應(yīng)控制回路中，參加前饋校正通路，組成有機整體(a)串聯(lián)校正(b)反應(yīng)校正圖6-2串聯(lián)校正與反應(yīng)校正a前饋校正對給定值處理b前饋校正對擾動的補償圖6-3前饋校正圖b按輸入補償?shù)膹?fù)合控制R(s)圖6-4復(fù)合校正串聯(lián)校正和反應(yīng)校正的應(yīng)用場合、要求和特點串聯(lián)校正 串聯(lián)校正裝置 有源 參數(shù)可調(diào)整，運放加RC網(wǎng)絡(luò)，電動(氣動) 單元構(gòu)成的PID調(diào)節(jié)器。有源 有放大器 阻抗匹配，接在前向通路能量較 低的部位。反應(yīng)校正

5、 不需要放大器，可消除系統(tǒng)原有局部參數(shù)波動對系統(tǒng)性能的影 響，在性能指標要求較高的控制系統(tǒng)中，常常兼用串聯(lián)校正和反應(yīng)校正。根本控制規(guī)律(1) 比例(P)控制規(guī)律m(t)二 Kpe(t)(6-12)提高系統(tǒng)開環(huán)增益，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，但會降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。(b)PD控制器圖6-5 P控制器P控制器和PD控制器(2) 比例-微分(PD)控制規(guī)律pe心詈(6-13)PD控制規(guī)律中的微分控制規(guī)律能反映輸入信號的變化趨勢，產(chǎn)生有效的早期修正信號，以增加系統(tǒng)的阻尼程度，從而改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在串 聯(lián)校正時，可使系統(tǒng)增加一個的開環(huán)零點，使系統(tǒng)的相角裕度提高，因 此有助于系統(tǒng)動態(tài)性能的改善。單獨用微分也很

6、少，對噪聲敏感。(3) 積分(I)控制規(guī)律具有積分(I)控制規(guī)律的控制器，稱為I控制器。t m(t)二 Ki 0e(t)dt (6-14)輸出信號m(t)與其輸入信號的積分成比例。Ki為可調(diào)比例系數(shù)。當e(t)消失后，輸出信號m(t)有可能是一個不為零的常量。在串聯(lián)校正中，采用I控制器可以提高系統(tǒng)的型別無差度，有利提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能，但積分控制增 加了一個位于原點的開環(huán)極點，使信號產(chǎn)生 90的相角滯后，于系統(tǒng)的穩(wěn)定 不利。不宜采用單一的I控制器。4比例-積分PI控制規(guī)律E(s)M (s) R(s)C(s)具有積分比例-積分控制規(guī)律的控制器，稱為PI控制器。m(t)二 Kpe(t) 0e(t)dt

7、T i(6-15)圖6-6積分控制器I和PI控制器輸出信號mt同時與其輸入信號及輸入信號的積分成比例。Kp為可調(diào)比例系數(shù)，Ti為可調(diào)積分時間系數(shù)。開環(huán)極點，提高型別，減小穩(wěn)態(tài)誤差。右半平面的開環(huán)零點，提高系統(tǒng)的阻尼程度，緩和PI極點對系統(tǒng)產(chǎn)生的不利影響。只要積分時間常數(shù)Ti足夠大，PI控制器對系統(tǒng)的不利影響可大為 減小。PI控制器主要用來改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。5比例PID控制規(guī)律丄s)TisM(s)C(s)圖6-7 PID控制器具有積分比例-積分控制規(guī)律的控制器，稱為PI控制器。m(t)二 Kpe(t) ¥ .：e(t)dt Kp.Tide(t)dt(6-16)1Gc(s)二 Kp

8、(1s)TisKp T sTis1 K p (s 1)( 2s 1)(廠TisTi(6-17)心T(1W"Ti (1 - ：1 -蘭)女口果 4対'Ti <12 Ti增加一個極點，提高型別，穩(wěn)態(tài)性能兩個負實零點，動態(tài)性能比PI更具優(yōu)越性I積分發(fā)生在低頻段，穩(wěn)態(tài)性能提高D微分發(fā)生在高頻段，動態(tài)性能改善6.2常用校正裝置及其特性無源校正網(wǎng)絡(luò)1無源超前校正 一般而言，當控制系統(tǒng)的開環(huán)增益增大到滿足其靜態(tài)性能所要求的數(shù)值時, 系統(tǒng)有可能不穩(wěn)定，或者即使能穩(wěn)定，其動態(tài)性能一般也不會理想。在這 種情況下，需在系統(tǒng)的前向通路中增加超前校正裝置，以實現(xiàn)在開環(huán)增益 不變的前題下，系統(tǒng)的動

9、態(tài)性能亦能滿足設(shè)計的要求。本節(jié)先討論超前校 正網(wǎng)絡(luò)的特性，而后介紹基于頻率響應(yīng)法的超前校正裝置的設(shè)計過程。RiUrC R2LUcO(b)圖6-8無源超前網(wǎng)絡(luò)圖6-8為常用的無源超前網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)該網(wǎng)絡(luò)信號源的阻抗很小，可以忽略不計，而輸出負載的阻抗為無窮大，那么其傳遞函數(shù)為U c(s)U r(S)二 Gc(s)二R2R2sRiR2Ri1 sRCR2(1 RiCs)R2 R R1R2 Cs畀第畀一天時間常數(shù)專分度系數(shù)a- R1C1 1 aTs(6-18)1 + aTs/o c、aGc(s)(6-19)1 +TsR1UcGc(S)= a 1 Ts注：采用無源超前網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正時，整個系統(tǒng)的開環(huán)增益要

10、下降：倍,因此需要提高放大器增益加以補償，見圖6-9所示。此時的傳遞函數(shù)圖6-9帶有附加放大器的無源超前校正網(wǎng)絡(luò)超前網(wǎng)絡(luò)的零極點分布見圖6-8(b)所示。由于a 1故超前網(wǎng)絡(luò)的負實零點 總是位于負實極點之右，兩者之間的距離由常數(shù) a決定。可知改變a和T(即 電路的參數(shù)R1,R2,C)的數(shù)值，超前網(wǎng)絡(luò)的零極點可在s平面的負實軸任意移 動。對應(yīng)式(6-19)得20lg : Gc(s) =20lg 1 (aT )2 -20 lg J (T )2(6-20)c()二 arctgaT$ -arctgT(6-21)畫出對數(shù)頻率特性如圖6-10所示。顯然，超前網(wǎng)絡(luò)對頻率在 丄至之間的aT T輸入信號有明顯的

11、微分作用，在該頻率范圍內(nèi)輸出信號相角比輸入信號相角超前，超前網(wǎng)絡(luò)的名稱由此而得。a =10,T =1(a)頻率特性(b)最大超前角及最大超前角處幅值與分度系數(shù)的關(guān)系曲線圖6-10無源超前網(wǎng)絡(luò)特性由(6-21)知 c()二arctgaT -arctgT1 a(T )(6-22)將上式對求導(dǎo)并令其為零，得最大超前角頻率(6-23)將(6-23)代入(6-22)，得最大超前角；m.a 1=arcs ina +1(6-24) 1 sin m1-sin m故在最大超前角頻率處 r ,具有最大超前角-m , m正好處于頻率與-的aT T幾何中心aT與T的幾何中心為 11 1 1 1 1 22(lg 訐 呻

12、)=2lg0F Vlg m 七 m (6-25)2"1 (aT m) 20lg .2 1+gm)2即幾何中心為-'mLcC，m) = 20lg 專 1 (aT m) -20 lg ：.；1 - (T m)=20 lg、a =10lgaLcm) =20lg j2=10lga (6-26)由式(6-24)和式(6-26)可畫出最大超前相角;m與分度系數(shù)a及10lga與a的 關(guān)系曲線。如圖6-16(b)。a m 。但a不能取得太大(為了保證較高的信噪比),a一般不超過20由圖可知，這種超前校正網(wǎng)絡(luò)的最大相位超前角一般 不大于65。如果需要大于65的相位超前角，那么要在兩個超前網(wǎng)絡(luò)相

13、串聯(lián)來 實現(xiàn)，并在所串聯(lián)的兩個網(wǎng)絡(luò)之間加一隔離放大器，以消除它們之間的負載效應(yīng)。2無源滯后網(wǎng)絡(luò)RiurucR2C圖6-11無源滯后網(wǎng)絡(luò)條件：如果信號源的內(nèi)部阻抗為零，負載阻抗為無窮大，那么滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為Uc(s)Ur(S)R2丄sC1R2 ' RisCR2Cs +1(R1 R2)Cs 1R1 R212 R2Cs 1R1 R2(R1 R2)Cs 1T=(jR2)C時間常數(shù)"JV Ts分度系數(shù)aRCGc(s)二1 bTs(6-27)n圖6-12無源滯后網(wǎng)絡(luò)特性由圖6-12可知 同超前網(wǎng)絡(luò)，滯后網(wǎng)絡(luò)在時，對信號沒有衰減作用，丄一丄時，對信號有積分作用，呈滯后特性，丄時，對信號

14、衰減作用TbTT為20lgb，b越小，這種衰減作用越強同超前網(wǎng)絡(luò)，最大滯后角，發(fā)生在t與bT幾何中心稱為最大滯后角頻率，計算公式為；m1 b二 arcs in1+b(6-28)(6-29)采用無源滯后網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正時， 主要利用其高頻幅值衰減的特性，以降低系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率，提高系統(tǒng)的相位裕度。滯后網(wǎng)絡(luò)怎么能提高系 統(tǒng)的相位裕度呢?在設(shè)計中力求防止最大滯后角發(fā)生在已校系統(tǒng)開環(huán)截止頻率附近。選擇滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)時通常使網(wǎng)絡(luò)的交接頻率bT遠小于：一般取bT 10(6-30)(b-1)T ；21 b(Tc)2此時，滯后網(wǎng)絡(luò)在處產(chǎn)生的相位滯后按下式確定c( c)二 arctgbT c _arctgT C

15、將；T代入上式bc( c)二 arctg10(b-1)b1 b(¥)2b=arctg10(b -1)100 barctg 0.1(b -1) (6-31)b與cC c和20lgb的關(guān)系如圖6-13所示圖6-13 b與c C和20lgb的關(guān)系3無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)RiUrC12 TUcC2圖6-14無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)n圖6-15無源滯后-超前網(wǎng)絡(luò)頻率特性傳遞函數(shù)為Gc(s)Uc(s)_Ur(S)R2SC21RiR2sC1sC2(R1Gs+1)(R2C2S+1)_ <JaS + 1)(TbS + 1)R1C1R2C2s2 (R1C1R2C2R1C2)s 1(T1S 1)(T2S 1)

16、令 Ta = R1C1 Tb = R2C2 設(shè) T1TaT =T = 1 a 1，那么有 T aTa , T2 二耳Tb aa aTa 衛(wèi)二Ta Tb RC2，a是該方程的解式(6-32)表示為仃aS 1)(TbS 1)Gc(s)(aTaS 1)(Tbs 1)aTb(6-33)將(6-33)寫成頻率特性Gc(s)(aj1)(bj 1)(aTaj-1)(Tbr 1)a滯后超前的伯特圖如圖6-15所示求相角為零時的角頻率'1( r)二 arctgTa v arctgT b r arctgaTa r arctg -= 0a=arctg(Ta Tb) 11-TaTb 12(aTa) 1a-ar

17、ctg 1-aTa 耳 2a=0.TaTbTaTbf =1(6-34)當一1的頻段，校正網(wǎng)絡(luò)具有相位滯后特性1的頻段，校正網(wǎng)絡(luò)具有相位超前特性。有源校正網(wǎng)絡(luò)實際控制系統(tǒng)中廣泛采用無源網(wǎng)絡(luò)進行串聯(lián)校正，但在放大器級間接入無源校正網(wǎng)絡(luò)后，由于負載效應(yīng)問題，有時難以實現(xiàn)希望的規(guī)律。此外, 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計和調(diào)整也不方便。因此，需要采用有源校正裝置。6.3 串聯(lián)校正6.3.1 串聯(lián)超前校正基于頻率響應(yīng)法用頻率法對系統(tǒng)進行校正的根本思路是：通過所加校正裝置，改變系 統(tǒng)開環(huán)頻率特性的形狀，即要求校正后系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有如下特點： 低頻段的增益充分大，滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求； 中頻段的幅頻特性的斜率為 -20

18、dB/dec, 并具有較寬的頻帶， 這一要求是為 了系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能；高頻段要求幅值迅速衰減，以較少噪聲的影響。用頻率法對系統(tǒng)進行超前校正的根本原理，是利用超前校正網(wǎng)絡(luò)的相 位超前特性來增大系統(tǒng)的相位裕量，以到達改善系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的目點。為 此，要求校正網(wǎng)絡(luò)最大的相位超前角出現(xiàn)在系統(tǒng)的截止頻率剪切頻率 處。對截止頻率沒有特別要求時。用頻率法對系統(tǒng)進行串聯(lián)超前校正的一般步驟可歸納為：根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的要求，確定開環(huán)增益 K 。根據(jù)所確定的開環(huán)增益K,畫出未校正系統(tǒng)的波特圖，計算未校正系 統(tǒng)的相位裕度。根據(jù)截止頻率-.c的要求，計算超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)a和T;關(guān)鍵是選擇最大 超前角頻率等于要求的系統(tǒng)截止頻

19、率， 即、二c，以保證系統(tǒng)的響應(yīng)速度， 并充分利用網(wǎng)絡(luò)的相角超前特性。顯然，c成立的條件是-L°( c) K c) =10lga(6-35)由上式可求出a T =1(6-36)CO m 丄 a由(6-36)求出T。驗證已校正系統(tǒng)的相位裕度。由給定的相位裕度值，計算超前校正裝置提供的相位超前量，即cp=cp =Y補卜償m13給定的 校正前:是用于補償因超前校正裝置的引入，使系統(tǒng)截止頻率增大而增加的相 角滯后量。；值通常是這樣估計的：如果未校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在截止頻率處的斜率為-40dB/dec, 般?。?5 10 ;如果為-60dB/dec那么取 ；=15 20 。1 + si

20、n 半根據(jù)所確定的最大相位超前角;：m按a = 1一i一-(6-37)1 -sinm算出a的值計算校正裝置在-m處的幅值10lga (圖6-10)。由未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅 頻特性曲線，求得其幅值為-10lga處的頻率，該頻率m就是校正后系統(tǒng)的 開環(huán)截止頻率七，即C z：m。確定校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率 r和遼。®m廠 1 ： ， 2 = e- a.a畫出校正后系統(tǒng)的波特土，并演算相位裕度時候滿足要求？如果不滿 足，那么需增大；值，從第 步，開始重新進行計算。例6 -1.某一單位反應(yīng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 G(s) = 4K ,設(shè)計一個超 s(s + 2)前校正裝置，使校正后系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系

21、數(shù) Kv=20s,相位裕度一50 , 增益裕度20 lg h不小于10dB。解：根據(jù)對靜態(tài)速度誤差系數(shù)的要求，確定系統(tǒng)的開環(huán)增益K4KKv = lim s2K =20 ,K 二 10s >0 s(s 2)當K =10時，未校正系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為G(j )40( 2)20-90 - arctg繪制未校正系統(tǒng)的伯特圖，如圖6-16中的藍線所示。由該圖可知未校正系統(tǒng)的相位裕度為二17也可計算20=1 . =6.17 丫 =17.96根據(jù)相位裕度的要求確定超前校正網(wǎng)絡(luò)的相位超前角i'- S ； =50 -175、38由式(6-37)知1 sin m 1 sin38 a 二1 -sin

22、m 1 - sin38超前校正裝置在'm處的幅值為-6.2dB10lga =10lg4.2 =6.2dB，據(jù)此，在為校正系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅值為對應(yīng)的頻率二m =9S，這一頻率就是校正后系統(tǒng)的截止頻率-c*也可計算 20lg20-20lg -20lg、1= -6.2V 4- =8.93圖6-16校正后系統(tǒng)框圖計算超前校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率1T、aco4.2= 4.4 , 2 = m - a = 9.4.2 = 18.4Gc(s)s 4.4s 18.2= 0.23810.227s10.054s為了補償因超前校正網(wǎng)絡(luò)的引入而造成系統(tǒng)開環(huán)增益的衰減，必須使 附加放大器的放大倍數(shù)為a=4.2校正后系統(tǒng)

23、的框圖如圖6-17所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為Gc(s)Go(s)=4.2 40(s 4.4)(s 18.2)s(s 2)R(s)20(1 0.227s)s(1 0.5s)(1 0.0542s)C(s)20(10.227s)s(10.5s)(1 0.0 5圖6-17校正后系統(tǒng)框圖對應(yīng)的伯特圖中紅線所示。由該圖可見，校正后系統(tǒng)的相位裕度為 -50，增益裕度為20lgh=dB，均已滿足系統(tǒng)設(shè)計要求?；谏鲜龇治?，可知串聯(lián)超前校正有如下特點：這種校正主要對未校正系統(tǒng)中頻段進行校正，使校正后中頻段幅值的 斜率為-20dB/dec,且有足夠大的相位裕度。超前校正會使系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度變快。由例6-1知，校正后

24、系統(tǒng)的 截止頻率由未校正前的6.3增大到9。這說明校正后，系統(tǒng)的頻帶變寬，瞬 態(tài)響應(yīng)速度變快；但系統(tǒng)抗高頻噪聲的能力變差。對此，在校正裝置設(shè)計 時必須注意。超前校正一般雖能較有效地改善動態(tài)性能，但未校正系統(tǒng)的相頻特性 在截止頻率附近急劇下降時，假設(shè)用單級超前校正網(wǎng)絡(luò)去校正，收效不大。 因為校正后系統(tǒng)的截至頻率向高頻段移動。在新的截至頻率處，由于未校 正系統(tǒng)的相角滯后量過大，因而用單級的超前校正網(wǎng)絡(luò)難以獲得較大的相 位裕度。632串聯(lián)滯后校正(基于頻率響應(yīng)法)由于滯后校正網(wǎng)絡(luò)具有低通濾波器的特性，因而當它與系統(tǒng)的不可變 局部串聯(lián)相連時，會使系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的中頻和高頻段增益降低和截止 頻率C減小

25、，從而有可能使系統(tǒng)獲得足夠大的相位裕度，它不影響頻率特 性的低頻段。由此可見，滯后校正在一定的條件下，也能使系統(tǒng)同時滿足 動態(tài)和靜態(tài)的要求。不難看出，滯后校正的缺乏之處是：校正后系統(tǒng)的截止頻率會減小， 瞬態(tài)響應(yīng)的速度要變慢；在截止頻率c處，滯后校正網(wǎng)絡(luò)會產(chǎn)生一定的相角滯后量。為了使這個滯后角盡可能地小，理論上總希望Gc(s)兩個轉(zhuǎn)折頻率1,匕比七越小越好，但考慮物理實現(xiàn)上的可行性，一般取2 = = 0.25 0.1 c 為宜。在系統(tǒng)響應(yīng)速度要求不高而抑制噪聲電平性能要求較高的情況下，可考慮采用串聯(lián)滯后校正。保持原有的已滿足要求的動態(tài)性能不變，而用以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差如果所研

26、究的系統(tǒng)為單位反應(yīng)最小相位系統(tǒng)，那么應(yīng)用頻率法設(shè)計串聯(lián) 滯后校正網(wǎng)絡(luò)的步驟如下：根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，確定開環(huán)增益 K；利用已確定的開環(huán)增益，畫出未校正系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線，確定未 校正系統(tǒng)的截止頻率 二、相位裕度 和幅值裕度h(dB)；選擇不同的-c，計算或查出不同的 值，在伯特圖上繪制(c)曲線;根據(jù)相位裕度要求，選擇已校正系統(tǒng)的截止頻率 c ；考慮到滯后 網(wǎng)絡(luò)在新的截止頻率C處，會產(chǎn)生一定的相角滯后c( c)，因此，以下等式 成立：指標要求值(c) c( c)可取- 6(6-38)根據(jù)(6-38)的計算結(jié)果，在(c)曲線上可查出相應(yīng)的c值根據(jù)下述關(guān)系確定滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù) b和T如下:20lgb

27、L (匕)=0(6-39)1bT-0.1 c(6-40)式(6-39)成立的原因是顯然的，因為要保證已校正系統(tǒng)的截止頻率為上 一步所選的c值，就必須使滯后網(wǎng)絡(luò)的衰減量20lgb在數(shù)值上等于未校正 系統(tǒng)在新截止頻率c上的對數(shù)幅頻值L( c)，該值在未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻 曲線上可以查出，于是，通過式(6-39)可以算出b值。根據(jù)(6-40)，由已確定的b值，可以算出滯后網(wǎng)絡(luò)的T值。如果求得的 T值過大難以實現(xiàn)，那么可將(6-40)式中的系數(shù)0.1適當增大，例如在0.1 0.25 范圍內(nèi)選取，而cC c)的估計值應(yīng)在- 6 -14范圍內(nèi)確定。驗算已校正系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度。例6-2.控制系統(tǒng)如圖

28、6-18所示。假設(shè)要求校正后的靜態(tài)速度誤差系數(shù)等于30s-1，相位裕度不低于40，幅值裕度不小于10dB,截止頻率不小于2.3rad/s,設(shè)計串聯(lián)校正裝置R(s)Ks(0.1s 1)(0.2s 1)C(s)圖6-18控制系統(tǒng)解：首先確定開環(huán)增益K心=lmsG(s)二 K =30未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)取G(s)30s(0.1s 1)(0.2s 1)畫出未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻漸進特性曲線，如圖6-19所示圖6-19例6-2對數(shù)幅頻漸進特性曲線由圖可得c =12rad/s可算出 匕g) =-180'心 g = 7.07rad/s, t = 12rad/s= 180 -90 arctg c 0

29、.1-arctg c 0.2=90 -50.19 -67.38 - -27.6說明未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且截止頻率遠大于要求值。在這種情況下，采用串聯(lián)超前校正是無效的?？梢宰C明，當=30 ,1 +sin ®mm =：； =30 -(-27.6 ) 20 =77.6 , a- =84.731 -sin ®-而截止頻率也向右移動。考慮到，本例題對系統(tǒng)截止頻率值要求不大，應(yīng)選用串聯(lián)滯后校正，可以 滿足需要的性能指標。計算(小90 -arctg(0.1 .c)-arctg(02c)二(c) C c) CcJ，：-:：-':：C -c40 (6)=46于是，由Cc)與c與的曲線(

30、玫瑰紅色)，可查得 “2.7rad/s時，(2.7) = 46.5可滿足要求。由于指標要求<2.3rad/s，故二值可在2.3rad /s 2.7rad /s范圍內(nèi)任取?？紤]到 七取值較大時，已校正系統(tǒng)響應(yīng)速度較快滯后網(wǎng)絡(luò)時間常數(shù)T值較小，便于實現(xiàn)，應(yīng)選取c=27rad/s。然后，在圖6-19上 查出L ( -0 = 21dB。也可計算。計算滯后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)利用(6-39)式 20lgb L ( J =0b=0.09再利用式(6-40)1=0.1 c bT0.1 cb=41.1sbT=3.7s那么滯后網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)Gc(s)1 bTs1 Ts13.7s141s驗算指標(相位裕度和幅值裕度)

31、c( ；) ： arctg0.1(b -1) =-5.2IIc( ；)= arctg (b 一1)1 ； = -5.21； J ；'( c)(七)=46.5 -5.2 = 41.340 滿1 b(T J足要求。未校正前的相位穿越頻率 'g， C 'g-180 ，1 -0.1g 0.2 g =0/ g =7.07rad /s，校正后的相位穿越頻率g =6.8rad/s。求幅值裕度 h(dB) = -20lgGc(jg)G。(冷；)=10.5dB>10dB100500-50101010210-10010串聯(lián)超前校正和串聯(lián)滯后校正方法的適用范圍和特點超前校正是利用超前網(wǎng)

32、絡(luò)的相角超前特性對系統(tǒng)進行校正，而滯后校正那么 是利用滯后網(wǎng)絡(luò)的幅值在高頻衰減特性；用頻率法進行超前校正，旨在提高開環(huán)對數(shù)幅頻漸進線在截止頻率處的斜 率-40dB/dec提高到-20dB/dec，和相位裕度，并增大系統(tǒng)的頻帶寬度。 頻帶的變寬意味著校正后的系統(tǒng)響應(yīng)變快，調(diào)整時間縮短。對同一系統(tǒng)超前校正系統(tǒng)的頻帶寬度一般總大于滯后校正系統(tǒng)，因此，如果要求校正后的系統(tǒng)具有寬的頻帶和良好的瞬態(tài)響應(yīng)，那么采用超前校正。當噪聲電平較高時，顯然頻帶越寬的系統(tǒng)抗噪聲干擾的能力也越差。對于 這種情況，宜對系統(tǒng)采用滯后校正。超前校正需要增加一個附加的放大器， 以補償超前校正網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)增益的 衰減。滯后校正雖然能

33、改善系統(tǒng)的靜態(tài)精度， 但它促使系統(tǒng)的頻帶變窄， 瞬態(tài)響 應(yīng)速度變慢。如果要求校正后的系統(tǒng)既有快速的瞬態(tài)響應(yīng)，又有高的靜態(tài) 精度，那么應(yīng)采用滯后 -超前校正。 有些應(yīng)用方面，采用滯后校正可能得出時間常數(shù)大到不能實現(xiàn)的結(jié)果。6.3.3 串聯(lián)滯后 -超前校正這種校正方法兼有滯后校正和超前矯正的優(yōu)點，即已校正系統(tǒng)響應(yīng)速 度快，超調(diào)量小，抑制高頻噪聲的性能也較好。當未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定，且 對校正后的系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)性能 響應(yīng)速度、相位裕度和穩(wěn)態(tài)誤差 均有較 高要求時，顯然，僅采用上述超前校正或滯后校正，均難以到達預(yù)期的校 正效果。此時宜采用串聯(lián)滯后 -超前校正。串聯(lián)滯后 -超前校正，實質(zhì)上綜合應(yīng)用了滯后和

34、超前校正各自的特點， 即利用校正裝置的超前局部來增大系統(tǒng)的相位裕度，以改善其動態(tài)性能；利用它的滯后局部來改善系統(tǒng)的靜態(tài)性能，兩者分工明確，相輔相成。串聯(lián)滯后-超前校正的設(shè)計步驟如下：根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，確定開環(huán)增益 K；繪制未校正系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，求出未校正系統(tǒng)的截止頻率c、相位裕度 及幅值裕度h(dB)等；在未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性上，選擇斜率從 -20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率作為校正網(wǎng)絡(luò)超前局部的轉(zhuǎn)折頻率-；j|-a'b圖6-20滯后-超前網(wǎng)絡(luò)零極點這種選法可以降低已校正系統(tǒng)的階次，且可保證中頻區(qū)斜率為-20dB/dec，并占據(jù)較寬的頻帶。Gc(s)Sa'

35、b仃aS 1)(TbS 1)(aTaS 1)(Tbs 1) a根據(jù)響應(yīng)速度要求，選擇系統(tǒng)的截止頻率 'c和校正網(wǎng)絡(luò)的衰減因子1 ；要保證已校正系統(tǒng)截止頻率為所選的-C，以下等式應(yīng)成立：a 20lga L( ；) 20lg% ； =0(6-41)滯后超前網(wǎng)絡(luò)奉獻的幅值衰減的最大值，未校正系統(tǒng)的幅值量，滯后 超前網(wǎng)絡(luò)超前局部在 A處奉獻的幅值。L ( ；) 20lgTb ；，可由未校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的-20dB/dec延長線在 處的數(shù)值確定。因此，由(6-41)式求出a值。根據(jù)相角裕度要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后局部的轉(zhuǎn)折頻率a；校驗已校正系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)的各項性能指標。例6-3 (書p242例6

36、-5)未校正系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G°(S)二1£。設(shè)計校正裝置，使系統(tǒng)滿足以下性能s(S 1)(S 1)6 2指標：在最大指令速度為180 /s時，位置滯后誤差不超過1 ； 相位裕度為45 -3 ；幅值裕度不低于10dB ；過渡過程調(diào)節(jié)時間不超過3s。解：確定開環(huán)增益。K二Kv =180s_1。作為校正系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性漸近曲線，如圖6-21所示。由圖得未校正系統(tǒng)截止頻率''c =12.6rad / s11= 180 -90 - arctg c - arctg c - -55.562，；Tg - -180 丿-g = 3.464rad /sh(dB-20lgGo

37、(j«g30dB，說明未校正系統(tǒng)不穩(wěn)定分析為何要采用滯后超前校正?A如果采用串聯(lián)超前校正，要將未校正系統(tǒng)的相位裕度從-55 >45，至少選用兩級串聯(lián)超前網(wǎng)絡(luò)。顯然，校正后系統(tǒng)的截止頻率將過大，可能超過1 _25rad/s。利用2sin /K =2 1.5(Mr -1) 2.5(Mr -1)2 =3.05，t = 0.38s，比要求的指標提高了近C10倍。還有幾個原因：伺服電機出現(xiàn)飽和，這是因為超前校正系統(tǒng)要求伺服機構(gòu)輸出的變化速率超過了伺服電機的最大輸出轉(zhuǎn)速之故。180 /s，25rad/s=25 180加=1432 /s，于是，0.38s的調(diào)節(jié)時間將變得毫無意義；系統(tǒng)帶寬過大

38、，造成輸出噪聲電平過高；需要附加前置放大器，從而使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜化。B如果采用串聯(lián)滯后校正，可以使系統(tǒng)的相角裕度提高到 45左右，但是對 于該例題要求的高性能系統(tǒng)，會產(chǎn)生嚴重的缺點。 滯后網(wǎng)絡(luò)時間常數(shù)太大'' 1c =1 L ( O=45.1dB ，由 20lgb L(c) = 0 計算出 b 二2 0 010bTT=2000s,無法實現(xiàn)。響應(yīng)速度指標不滿足。由于滯后校正極大地減小了系統(tǒng)的截止頻率，使得系統(tǒng)的響應(yīng)緩慢設(shè)計滯后超前校正6-21可以發(fā)上述分析說明，純超前校正和純滯后校正都不宜采用。研究圖 現(xiàn)(步驟 的要求，即-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec的轉(zhuǎn)折頻率作為校正網(wǎng)

39、絡(luò)2K =2 1.5(Mr -1) 2.5(Mr -1)=3.05，竺3 tsc， C,ts 玄 3s c - 3.2rad / s 考慮 ts超前局部的轉(zhuǎn)折頻率''b)-=2到中頻區(qū)斜率為-20dB/dec,故應(yīng)在3.2 6范圍內(nèi)選取。由于；-20dB/dec的中頻區(qū)應(yīng)占據(jù)一定寬度，應(yīng)選=3.5rad/s ,相應(yīng)的LC 20lg抵； = 34dB從圖上得到，亦可計算由 _20lg a L C c) 20lgTb c = °a=50，此時，滯后-超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函s s (1+)(1) 數(shù)可寫為Gc(s)a 匚(1于)(1亠 a a%as s (1 )(1 ) &#

40、171;a250 ss)(1)(1 石)»a100根據(jù)相角裕度要求，估算校正網(wǎng)絡(luò)滯后局部的轉(zhuǎn)折頻率Gc(j )Go(j J180(1 烏aj e j6)(j )(1 loo)*80 arctg 十一 90 sctg 亍 sctg 牛 一 a盹福c-'a3.5175= 57.7 arctg arctg -'a- 'aa =0.78rad /sGc (s)=(1 亠(1-)0.78250ss(1 )(1 )0.78100(1 1.28s)(1 0.5s)(1 64s)(1 0.01s)Gc(S)G0 (s)180(1 +1.28s)s(10.167s)(164s)

41、(10.01s)驗算精度指標。護=45.5 , h“=27dB ,滿足要求。圖6-21滯后超前校正例6-3系統(tǒng)對數(shù)頻率特性例6-4某一單位反應(yīng)控制系統(tǒng)如圖6-22所示。設(shè)計一串聯(lián)校正裝置Gc(s)，使校正后的系統(tǒng)同時滿足以下性能指標要求：跟蹤輸入r(t) =gt2時的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1；相位裕度為=45圖6-22單位反應(yīng)控制系統(tǒng)解：由于2型系統(tǒng)才能跟蹤加速度信號，為此假設(shè)校正裝置為PI控制器,其傳遞函數(shù)為Gc(s) =Kp(1 丄)TiS校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K(TiS 1)2s11 K p Tj s +1Gc(s)G(s)=Kp(1 drs2根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的要求a二K二丄"0= 180 arctgTj c-180 =45 Ti c =1c = 3.76rad /s,T = 0.266s所以PI控制器傳遞函數(shù)為Gc(s)二10(0.266s 1)s例6-5某一控制系統(tǒng)如圖6-23所示，其中Gc(s)為PID控制器，它的傳遞函數(shù)為Gc(s) =KpKdS，要求校正后系統(tǒng)的閉環(huán)極點為-10_ j10和s-100,確定PID控制器的參數(shù)Kp,Ki和Kd 。圖6-23例6-5圖解：希望的閉環(huán)特征多項式為F*(s) =(s 10一 j10)(s 10j