二次函數(shù)的三種表達(dá)形式

1、精選文檔· 二次函數(shù)的三種表達(dá)形式：一般式：y=ax2+bx+c(a0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,把三個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)解析式得出一個(gè)三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k為常數(shù)),頂點(diǎn)坐標(biāo)為對(duì)稱軸為直線x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同，當(dāng)x=h時(shí)，y最值=k。有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。例：已知二次函數(shù)y的頂點(diǎn)(1,2)和另一任意點(diǎn)(3,10)，求y的解析式。解：設(shè)y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。留意：與點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的平移不同，二

2、次函數(shù)平移后的頂點(diǎn)式中，h>0時(shí)，h越大，圖像的對(duì)稱軸離y軸越遠(yuǎn)，且在x軸正方向上，不能因h前是負(fù)號(hào)就簡(jiǎn)潔地認(rèn)為是向左平移。具體可分為下面幾種狀況：當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到；當(dāng)h<0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到；當(dāng)h>0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h

3、<0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象；當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)時(shí)的拋物線，即b2-4ac0 .已知拋物線與x軸即y=0有交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）,我們可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三點(diǎn)代入x、y中便可求出a。由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數(shù)x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韋達(dá)定理得)

4、,y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=ax2-(x1+x2)x+x1?x2=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c為常數(shù)，a0，且a打算函數(shù)的開(kāi)口方向。a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。a的確定值可以打算開(kāi)口大小。a的確定值越大開(kāi)口就越小，a的確定值越小開(kāi)口就越大。能機(jī)敏運(yùn)用這三種方式求二次函數(shù)的解析式；能嫻熟地運(yùn)用二次函數(shù)在幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用；能嫻熟地運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。· 二次函數(shù)解釋式的求法：就一般式y(tǒng)=ax2bxc（其中a，b，c為常數(shù)，且a0）而言，其中含有三個(gè)待定的系數(shù)a ，b ，c求二次函數(shù)的一般式時(shí)，必需要有三個(gè)

5、獨(dú)立的定量條件，來(lái)建立關(guān)于a ，b ，c 的方程，聯(lián)立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函數(shù)解析式，即可得到所求的二次函數(shù)解析式。1.巧取交點(diǎn)式法：學(xué)問(wèn)歸納：二次函數(shù)交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2) （a0）x1，x2分別是拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求二次函數(shù)解析式時(shí)，用交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便。典型例題一：告知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，和第三個(gè)點(diǎn)，可求出函數(shù)的交點(diǎn)式。例：已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和1 ，且通過(guò)點(diǎn)（2，8），求二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：解設(shè)函數(shù)的解析式為ya(x+2)(x-1)，過(guò)點(diǎn)（2，8），8a(2+2)(2-1)。解得a=

6、2，拋物線的解析式為：y2(x+2)(x-1)，即y2x2+2x-4。典型例題二：告知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離和對(duì)稱軸，可利用拋物線的對(duì)稱性求解。例：已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2），并且圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：在已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離和頂點(diǎn)坐標(biāo)的狀況下，問(wèn)題比較簡(jiǎn)潔解決由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2）的條件，易知其對(duì)稱軸為x3，再利用拋物線的對(duì)稱性，可知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）和（5，0）。此時(shí)，可使用二次函數(shù)的交點(diǎn)式，得出函數(shù)解析式。2.巧用頂點(diǎn)式：頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)2+k（a0），其中（h，k）是拋物線的頂點(diǎn)。當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)

7、或?qū)ΨQ軸，或能夠先求出拋物線頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)頂點(diǎn)式解題格外簡(jiǎn)潔，由于其中只有一個(gè)未知數(shù)a。在此類問(wèn)題中，常和對(duì)稱軸，最大值或最小值結(jié)合起來(lái)命題。在應(yīng)用題中，涉及到橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等問(wèn)題時(shí)，一般用頂點(diǎn)式便利典型例題一：告知頂點(diǎn)坐標(biāo)和另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接可以解出函數(shù)頂點(diǎn)式。例：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），且通過(guò)點(diǎn)（1，10），求此二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：解頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），故設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+1)2-2 （a0）。把點(diǎn)（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。a=3。二次函數(shù)的解析式為y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。典型例題二：

8、假如a>0，那么當(dāng) 時(shí)，y有最小值且y最小=；假如a<0，那么，當(dāng)時(shí)，y有最大值，且y最大=。告知最大值或最小值，實(shí)際上也是告知了頂點(diǎn)坐標(biāo)，同樣也可以求出頂點(diǎn)式。例：已知二次函數(shù)當(dāng)x4時(shí)有最小值3，且它的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。點(diǎn)撥：析解二次函數(shù)當(dāng)x4時(shí)有最小值3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3），對(duì)稱軸為直線x4，拋物線開(kāi)口向上。由于圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，依據(jù)圖象的對(duì)稱性就可以得到圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）和（7，0）。拋物線的頂點(diǎn)為（4，-3）且過(guò)點(diǎn)（1，0）。故可設(shè)函數(shù)解析式為ya(x4)23。將（1，0）代入得0a(14)23,

9、 解得a13y13(x4)2-3，即y13x283x73。典型例題三：告知對(duì)稱軸，相當(dāng)于告知了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，綜合其他條件，也可解出。例如：（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，-2）和B（1，0），且對(duì)稱軸是直線x3求這個(gè)二次函數(shù)的解析式. （2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=1，圖象交y軸于點(diǎn)（0，2），且過(guò)點(diǎn)（-1，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式. （3）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，且通過(guò)點(diǎn)（1，4）和點(diǎn)（5，0），求此拋物線的解析式. （4）二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=-4，且過(guò)原點(diǎn)，它的頂點(diǎn)到x軸的距離為4，求此函數(shù)的解析式典型例題四：利用函數(shù)的頂點(diǎn)式，解圖像的平移等問(wèn)題格外便利。例：把拋物線y=ax2+bx+c的圖像向右平移3 個(gè)單位, 再向下平移2 個(gè)單位, 所得圖像的解析式是y=x2-