奧數(shù)題 等差數(shù)列求和及應(yīng)用一

1、等差數(shù)列求和及應(yīng)用一等差數(shù)列的定義：一列數(shù)，如果相鄰兩個(gè)數(shù)的差相等，我們就說(shuō)這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列；相等的差叫做這列數(shù)的公差，這列數(shù)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)，最小的數(shù)叫做首項(xiàng)，最大的數(shù)叫做末項(xiàng)。 （以下公式要求熟記）基本公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1 首項(xiàng)=末項(xiàng)-（項(xiàng)數(shù)-1）×公差 公差=例1、 計(jì)算：1+2+3+4+99+100=？例2、 計(jì)算：1+3+5+7+1995+1997+1999=？例3、 數(shù)列4，9，14，19，的第80項(xiàng)是多少？例4、 有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：6，10，14

2、，18，這數(shù)列中前100個(gè)數(shù)的和是多少？例5、 求100至200之間被7除余2的所有三位數(shù)的和是多少？例6、 學(xué)校進(jìn)行乒乓球選拔賽，每個(gè)參賽選手要和其他選手賽一場(chǎng)，如果一共有10外隊(duì)員，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？一共進(jìn)行了78場(chǎng)比賽，有多少人參加了選拔賽？例7、 小紅家在一條胡同里，這條胡同門(mén)牌號(hào)從1開(kāi)始，挨著號(hào)碼編下去。如果除小紅家外，其余各家的門(mén)牌號(hào)加起來(lái)，減去小紅家的門(mén)牌號(hào)數(shù)，恰好等于100。問(wèn)小紅家的門(mén)牌是幾號(hào)？全胡同里共有幾家？例8、 若干個(gè)同樣的盒子排成一排，小明把50多個(gè)同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一個(gè)盒子沒(méi)有棋子，然后他外出了。小光從每個(gè)有棋子的盒子里各拿出一個(gè)其中放在空盒里，再

3、把盒子重新排列了一下，小明回來(lái)查看一番，沒(méi)發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)。問(wèn)：共有多少個(gè)盒子？家庭作業(yè)：【1】計(jì)算 2+4+6+8+198+200 3+10+17+24+31+94 77+74+71+11+8+5【2】已知等差數(shù)列3，7，11，15，195，問(wèn)這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？【3】已知等差數(shù)列2，7，12，17，它的第25項(xiàng)是多少？第36項(xiàng)是多少？【4】一個(gè)有30項(xiàng)的等差數(shù)列，公差是5，末項(xiàng)為154，這個(gè)數(shù)的首項(xiàng)是多少？【5】一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是4，末項(xiàng)是88，公差是6，這列數(shù)的總和是多少？【6】有一列數(shù)，已知第一個(gè)數(shù)是9，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)多4，這列數(shù)的前50個(gè)數(shù)的和是多少？【7】學(xué)校舉行乒

4、乓球選拔賽，每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)，一共進(jìn)行91場(chǎng)比賽，有多少人參加了選拔賽？【8】一個(gè)物體從空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，經(jīng)過(guò)10秒到達(dá)地面，這個(gè)場(chǎng)體原來(lái)離地面的高是多少米？【9】上體育課時(shí)，我們幾個(gè)同學(xué)站成一排，從1開(kāi)始順序報(bào)數(shù)，除我以外的其他同學(xué)報(bào)的數(shù)之和減去我報(bào)的數(shù)恰好等于72。問(wèn)：共有多少個(gè)同學(xué)？我報(bào)的數(shù)是幾？【10】7個(gè)小隊(duì)共種樹(shù)100棵，各小隊(duì)種的棵數(shù)都不相同，其中種樹(shù)最多的小隊(duì)種了18棵樹(shù)，種樹(shù)最少的小隊(duì)至少種了多少棵樹(shù)？【11】編號(hào)為19的9個(gè)盒子里共放有351粒糖，已知每個(gè)盒子都比前一個(gè)盒子里多同樣數(shù)量的糖。如果1號(hào)盒子里放11粒糖

5、，那么后面的盒子比它前一個(gè)盒子里多放幾粒糖？如果3號(hào)盒子里放了23粒糖呢？體育比賽中的數(shù)學(xué)問(wèn)題例1、 三年級(jí)一班組織了一次投籃比賽，規(guī)定投進(jìn)一球得3分，投不進(jìn)倒扣1分，小明投5個(gè)球，投進(jìn)了3個(gè)，那么他應(yīng)該得多少分？例2、 甲、乙、丙3人進(jìn)行乒乓球循環(huán)賽，結(jié)果3人獲勝的場(chǎng)數(shù)各不相同，問(wèn)第一名勝了幾場(chǎng)？例3、 甲、乙、丙、丁等4人進(jìn)行乒乓球比賽，每2人都要賽一場(chǎng)，結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙3人勝的場(chǎng)數(shù)相同，問(wèn)丁勝了多少場(chǎng)？例4、 甲、乙、丙、丁與小華等5個(gè)人參加乒乓球比賽，每2人都要比賽1盤(pán)。到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)，小華賽了幾盤(pán)？例5、 世界杯足球小組賽，

6、每組四個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽。每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3 分，敗隊(duì)得0分。平局時(shí)兩隊(duì)各得1分，各小組之間全賽完以后，總積分最高的兩個(gè)隊(duì)出線進(jìn)入下輪比賽。如果積分相同，要按小分排序。問(wèn)一個(gè)隊(duì)至少要積幾分才能保證本隊(duì)出線？簡(jiǎn)述理由。（2）在上述世界杯足球小組賽中，若有一個(gè)隊(duì)總積3分，問(wèn)：這個(gè)隊(duì)有可能出線嗎？為什么？例6、有A,B,C三個(gè)足球隊(duì),兩兩比賽1場(chǎng),一共賽了3場(chǎng)球,每個(gè)隊(duì)的比分如下勝負(fù)平進(jìn)球失球A262B1144C26你能根據(jù)上表寫(xiě)出3場(chǎng)球的具體比分嗎？例7、A，B，C，D，E等五人參加乒乓球比賽。每?jī)蓚€(gè)人都要賽一場(chǎng)，并且只賽一場(chǎng)，規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得0分，已知比賽得結(jié)果如下：A與B并列第一名；（2）

7、C是第三名；D和E并列第四名。求C的得分。例8、六個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每?jī)申?duì)都要比賽一場(chǎng)。如果踢平，每隊(duì)各得1分，否則勝隊(duì)得3分，負(fù)隊(duì)得0分?，F(xiàn)在比賽已進(jìn)行了四輪（每隊(duì)都已與4個(gè)隊(duì)比賽過(guò)），各隊(duì)4場(chǎng)得分之和都互不相同。已知總分居第三位的隊(duì)共得7分，并且有場(chǎng)球賽踢成平局，總得分居第五位的隊(duì)最多可得 分，最少可得 分。例9、 在某市舉行的一次乒乓球比賽中，有6名選手參賽。其中專業(yè)選手與業(yè)余選手各3名。比賽采用單循環(huán)方式進(jìn)行，就是說(shuō)每?jī)擅x手都要比賽一場(chǎng)。為公平起見(jiàn)，用以下方法記分：開(kāi)賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場(chǎng)，勝者加分，負(fù)者扣分；每勝專業(yè)選手一場(chǎng)的加2分，每勝業(yè)余選手一場(chǎng)的加1分

8、；專業(yè)選手每負(fù)一場(chǎng)扣2分，業(yè)余選手每負(fù)一場(chǎng)扣1分。現(xiàn)問(wèn)：一位業(yè)余選手至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)才能保證他必定進(jìn)入前三名？家庭作業(yè)：【1】三年級(jí)六個(gè)班舉行拔河循環(huán)賽，每個(gè)班要進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？一共要進(jìn)行幾場(chǎng)比賽？【2】在一次排球聯(lián)賽中，所有參賽隊(duì)每?jī)申?duì)都要賽1場(chǎng)，共賽21場(chǎng)，問(wèn)有多少個(gè)隊(duì)參加？【3】某校五年級(jí)五個(gè)班各派一隊(duì)參加小足球比賽，每?jī)申?duì)都要比賽一場(chǎng)，到現(xiàn)在為止，一班賽了4場(chǎng)，二班賽了3場(chǎng)，三班賽了1場(chǎng)，那么五班賽了 場(chǎng)?！?】甲、乙、丙、丁與小明等五位同學(xué)進(jìn)入象棋比賽。每?jī)扇硕家荣?盤(pán)，每勝1盤(pán)得2分，和1盤(pán)得1分，輸一盤(pán)得0分。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤(pán)，共得2分；乙賽了3盤(pán)，得了4分；丙賽了2盤(pán)，得了1

9、分，丁賽了1盤(pán)，得了2分，那么小明現(xiàn)在已賽了 盤(pán)，得 分?！?】五所小學(xué)進(jìn)行足球賽，每?jī)伤鶎W(xué)校賽一場(chǎng)，每場(chǎng)勝的隊(duì)得3分，負(fù)的隊(duì)得0分，踢平各和1分。已知四所小學(xué)的得分分別為8、7、4、1，第五所小學(xué)的得分最多是 ?！?】六個(gè)排球隊(duì)進(jìn)行比賽，每?jī)申?duì)都剛好比賽一次，現(xiàn)知各隊(duì)的得分都各個(gè)相同（排隊(duì)賽中沒(méi)有平局，贏隊(duì)得1分，輸隊(duì)得0分）；且A隊(duì)名列第三，B隊(duì)名列第四。試問(wèn)：在A、B兩隊(duì)比賽時(shí)，誰(shuí)贏了誰(shuí)？試加以論證。【7】德國(guó)隊(duì)、意大利和荷蘭進(jìn)行一次足球比賽，每一隊(duì)與另外兩隊(duì)各賽一場(chǎng)，現(xiàn)在知道：意大利隊(duì)總進(jìn)球數(shù)是0，并且有一場(chǎng)平局；荷蘭隊(duì)總進(jìn)取球數(shù)是1，總失球數(shù)是2，并且它恰好勝了一場(chǎng)。按規(guī)定，勝一場(chǎng)得

10、2分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，那么德國(guó)隊(duì)共得 分?！?】德國(guó)隊(duì)、意大利隊(duì)和荷蘭隊(duì)進(jìn)行一次足球賽，每隊(duì)與另外兩隊(duì)各比賽一場(chǎng)?，F(xiàn)在知道： 意大利總進(jìn)球是0。并且有一場(chǎng)打了平局。 荷蘭隊(duì)總進(jìn)球數(shù)是1，總失球數(shù)是2，并且經(jīng)恰好勝過(guò)1場(chǎng)。按照規(guī)則勝1場(chǎng)得2分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分。那么，德國(guó)隊(duì)得了 分?！?】四個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每?jī)申?duì)都要賽一場(chǎng)，如果踢平，每隊(duì)各得1分，否則勝隊(duì)得3分，負(fù)隊(duì)得0分。比賽結(jié)果各隊(duì)得分恰好是連續(xù)自然數(shù)，問(wèn)：輸給第一名的隊(duì)的總分是多少？【10】四名棋手進(jìn)行循環(huán)比賽，勝一局得2分，平一局得1分，負(fù)一局得0分。如果各人得的總分不同，第一名不是全勝，那么至少多有 局是

11、平局。【11】1994年“世界杯”足球賽中，甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)分在同一小組。在小組賽中這4支隊(duì)伍中的每支隊(duì)伍都要與其他3隊(duì)比賽1場(chǎng)，根據(jù)規(guī)定：每場(chǎng)比賽勝隊(duì)可得3分，負(fù)隊(duì)得0分，如果雙方踢平，兩隊(duì)各記1分。已知：這4支隊(duì)比賽得總得分為4個(gè)連續(xù)奇數(shù)；乙隊(duì)總得分排在第一；丁隊(duì)恰有兩場(chǎng)同對(duì)方踢平，其中有一場(chǎng)是與丙隊(duì)踢平的。根據(jù)以上條件可以推斷：總分排在第四位的是 隊(duì)。圖形的切拼例1、 用兩塊相同的直角三角板（不等腰）可以拼成哪幾種圖形？例2、 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小形狀都相等的兩塊，并使它們拼成一個(gè)正方形。例3、 把下面16個(gè)小方體方格分成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形。 例

12、4、 把下面切成兩塊，拼成一個(gè)正方形。例5、 請(qǐng)把一面兩個(gè)圖中的一個(gè)分成3塊，使它們能拼成一個(gè)正方形。（單位：厘米）例6、 把圖中的不規(guī)則圖形分成形狀大小相同的四塊，然后拼成一個(gè)正方形。只剪兩刀。例7、 將圖剪成一個(gè)中間有一個(gè)方孔的正方形。例8、 用四塊形狀和大小完全一樣的三角形，拼拼搭搭（不能重疊），能出現(xiàn)多少個(gè)邊長(zhǎng)不同的正方形？請(qǐng)畫(huà)出示意圖。例9、 將下圖分成三塊，然后把這三塊拼成一個(gè)正方形。家庭作業(yè)【1】用兩塊相同的直角三角板（等腰）可以拼成哪幾種圖形？【2】一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是8厘米和2厘米，要把它剪成大小形狀都相同的兩塊，并使它們拼成一個(gè)正方形?！?】把圖分成兩塊，然后拼成一個(gè)5

13、×6的長(zhǎng)方形?！?】將右圖切成大小相等、形狀相同的4個(gè)小方塊相連的4塊，拼成一個(gè)正方形?！?】將圖形切成3塊，再拼成一個(gè)正方形?！?】下圖是一塊長(zhǎng)方形鐵皮，現(xiàn)在要把它剪成形狀、大小都相同的2塊，然后拼成一個(gè)正方形，拼成的正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？（單位：厘米）【7】把圖中的長(zhǎng)方形切成兩塊，然后拼成一個(gè)正方形?！?】把一個(gè)平行四邊形剪成兩塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。（畫(huà)圖表示）【9】這是一個(gè)階梯的方格圖，順著哪條方格線剪一刀，就可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？【10】這是一張塔形的方格紙，沿著哪條方格線剪開(kāi)后，可以拼成一個(gè)正方形？圖形的分割例1、 用一條線段把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？

14、例2、 在一塊長(zhǎng)方形的地里有一口正方形的水池，如圖，試著畫(huà)一條直線把除開(kāi)水池外的這塊地平均分成兩塊。例3、 如圖是5個(gè)面積為1的正方形拼成的，試用一直線將此圖形劃分為面積相等的兩塊。例4、 試將下圖分割成4個(gè)大小相等、形狀相同的圖形。例5、 將圖分割成五個(gè)大小相等的圖形。左下圖是一個(gè)3×4的方格紙，請(qǐng)用四種不同的方法將它分割在完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方格的完整。例6、 把圖沿格線分成面積、形狀完全相同的五部分，用圖表示分割方法。例7、 將圖分成四個(gè)大小相等、形狀相同的圖形。例8、 把圖中分割成大小、形狀完全相同的四部分，使每部分都含有一個(gè)“”，應(yīng)怎樣分割？例9、 如圖是一塊“

15、H”形的地，地里栽了8棵樹(shù)，現(xiàn)在要把這塊地劃分成面積相等、形狀一樣的4塊地，要求每塊地里各有2棵樹(shù)，應(yīng)如何劃分？家庭作業(yè)【1】用一條線段把一個(gè)正方形平均分割成兩塊，一共有多少種不同的分割法？【2】在一塊正方形的地里有一條長(zhǎng)方形的水槽，如圖，試畫(huà)一條直線把除開(kāi)水槽外的這塊地平分成兩塊?！?】圖是由7個(gè)面積為1的正方形拼成的，試用一直線將此圖形劃分為面積相等的兩塊?！?】如圖是6個(gè)面積為1的正方形拼成的，試用一直線將此圖形劃分為面積相等的兩塊。【5】右上圖是一個(gè)4×4的方格紙，請(qǐng)用六種不同的方法將它分割成完全相同的兩部分，但要保持每個(gè)小方格的完整?！?】試將圖分成形狀、大小都一樣的四塊。

16、【7】將右圖切成大小相等、形狀相同的4個(gè)小方塊相連的4塊，拼成一個(gè)正方形。【8】將圖分割成兩個(gè)大小相等、形狀相同的圖形?！?】將圖分成大小、形狀相同的4塊，每塊帶一個(gè)小圓圈?！?0】把圖分成形狀、大小完全相同的4塊，而且每塊中有1個(gè)字母?！?1】將圖分割成5個(gè)大小相等、形狀相同的圖形?！?2】將圖形分成大小、形狀相同的3塊，并且每塊帶一個(gè)小圓圈?；梅郊皯?yīng)用幻方：是指將給定的數(shù)，填入3×3，4×4的方格表中，使得每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線的3個(gè)或者4個(gè)數(shù)的和相等，這樣的方格表我們就稱之為幻方。這個(gè)相等的和叫做幻和。小學(xué)主要研究3×3的幻方（簡(jiǎn)稱三階幻方）一、幻

17、方的基本構(gòu)成方法例1、 將1-9這九個(gè)數(shù)填入右圖，使它成為一個(gè)三階幻方。例2、 用“楊輝法”將3-11這九個(gè)數(shù)制成三階幻方。例3、 將右圖中的數(shù)重新排列，使得橫行、豎行、對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)的和都相等。 二、幻方的應(yīng)用例4、 圖所示的三階幻方的幻和是30，請(qǐng)把圖所示的幻方填完整。例5、 將9個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入3行3列的9個(gè)方格中，使每橫行、每一豎行及每一對(duì)角線的3數(shù)之和都等于51。例6、 要使圖中的3×3的方格表中每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等，中間的空格（即第二行第二列的空格）內(nèi)應(yīng)該填入什么數(shù)？例7、 圖中有九個(gè)方格，要求每個(gè)方格中填入互不相同的數(shù)，使得每一橫行、豎行、斜行三個(gè)

18、數(shù)的和都相等。圖中左上角的數(shù)是 。例8、 在方格表中的格子填上數(shù)，每一行、每一列及兩條對(duì)角線上所填的數(shù)的和均相等，則x的值為 。例9、 在如圖方格表的每個(gè)方格中，填入一個(gè)數(shù)字，使和每行、每列以及兩條對(duì)角線上的四個(gè)方格中的數(shù)字都是1，3，5，7，那么表中帶的兩個(gè)方格中的數(shù)字之和等于 。例10、 諸葛亮只有360名士兵，全部駐守在城上，為了迷惑敵人，不論從哪一面觀察，都有100名全副武裝的士兵守城，如圖，為了打退敵人的圍攻，諸葛亮決定抽調(diào)一些士兵突襲敵人，并且不論從哪一面看士兵反而增加了25名，試填出兵力分布圖，并求出最多抽調(diào)了多少名士兵？家庭作業(yè)【1】 把2-10填入方格中，使幻方成立?！?】 試用“楊輝法”將715這九個(gè)數(shù)制成三階幻方。【3】 把6、8、10、12、14填入空格中，使幻方的幻和是30。【4】 在圖中的每個(gè)沒(méi)有數(shù)的格內(nèi)填入一個(gè)數(shù)，使得每行、每列及每條對(duì)角線的三個(gè)格中的三數(shù)之和都等于3000。那么，畫(huà)有？的格內(nèi)所填的數(shù)是 。【5】 用19這九個(gè)數(shù)補(bǔ)全圖中的幻方，并求出幻和。【6】 把3、4、5、6、8、10填入空格中，使每行、每列以及兩個(gè)斜向中三個(gè)數(shù)的和相等?！?】 圖中的3×3方格表示中行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都相等。正中間方格內(nèi)填的數(shù)是 ?！?】 如圖是一個(gè)三階幻方。圖中右上角的數(shù)是多少