多面體的歐拉公式 球

1、多面體的歐拉公式球 多面體的歐拉公式： 一重點(diǎn)、難點(diǎn)提示 1多面體的概念 若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體把多面體的任何一個(gè)面伸展為平面，如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體一個(gè)多面體至少有四個(gè)面 2正多面體每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體叫做正多面體 正多面體分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體共五種，其中正四面體、正八面體和正二十面體的各個(gè)面都是全等的正三角形，正六面體又叫做正方體，其各個(gè)面都是全等的正方形而正十二面體的各面是全等的正五邊形 3. 歐拉公式如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)為F，

2、棱數(shù)為E，那么V+F-E=2 二考點(diǎn)指要 理解多面體、凸多面體、簡(jiǎn)單多面體和正多面體的概念，能運(yùn)用歐拉公式進(jìn)行有關(guān)的判斷和計(jì)算 球： 一重點(diǎn)、難點(diǎn)提示 1球面的概念 半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，半圓的圓心叫做球心連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球半徑，連結(jié)球面上兩點(diǎn)且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑 球面也可以看作與定點(diǎn)(圓心)的距離等于定長(半徑)的所有點(diǎn)的集合，如果一個(gè)球的球心為O，我們可以把這個(gè)球記作球O 2球的概念 球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球 3球的截面及其性質(zhì) 用一個(gè)平面截一個(gè)球，截面是圓面，球的截面有如下性質(zhì)： (1)球心與截面圓心的連線垂直于截面； (2)

3、球心到截面的距離d與球的半徑及及截面的半徑r有下面的關(guān)系：。 4球面上的大圓和小圓 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓，地球上的赤道就是一個(gè)大圓，北極圈就是一個(gè)小圓。 球面上兩點(diǎn)距離的概念： 在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長度即經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，叫做兩點(diǎn)的球面距離。 球的表面積和體積： 若球的半徑為R，則它的表面積S=；它的體積。 二考點(diǎn)指要 理解球的有關(guān)概念和性質(zhì)，掌握球的表面積和體積公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算 例1C70 分子有70個(gè)頂點(diǎn)，以每個(gè)頂點(diǎn)為一端有三條棱，各面是五邊形或六邊形求C70 分子中五邊形和六邊形的個(gè)數(shù)

4、思路分析：若有x個(gè)五邊形和y個(gè)六邊形，則簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)Fx+y而這個(gè)簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù)量E。從而，根據(jù)歐拉公式可以求出x和y的值 解：設(shè)C70分子中五邊形有x個(gè)，六邊形有y個(gè) 則 Fx+y 依題意可知棱數(shù) E= 105。 V=70， 有70+(x+y)107, 即 x+y37. ，則有5x+6y=210, 由 ，解得x=12, 且 y=25. 答：在C70分子中有12個(gè)五邊形、25個(gè)六邊形。 例2若一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的每一個(gè)面都是凸n邊形，每一個(gè)頂點(diǎn)上都有m條棱。求證：。 思路分析： 設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)單多面體的面數(shù)為F，棱數(shù)為E，頂點(diǎn)數(shù)為V，則有，且。于是根據(jù)歐拉公式，便可以找到m與n的關(guān)系。 證明：設(shè)多

5、面體的面數(shù)為F， 每個(gè)面有n條邊， 即是這個(gè)多面體的棱數(shù)，即，則。 每個(gè)頂點(diǎn)上有m條棱，設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，則即是多面體的棱數(shù)，即，則， E+2=V+F， ， ， E>0, . 例3晶體硼的基本結(jié)構(gòu)單元是由20個(gè)等邊三角形組成的正二十面體，其中每一個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)B原子，問這個(gè)基本單元是由多少個(gè)B原子所組成的？其中含有B-B鍵有多少個(gè)？ 思路分析； 由于每一個(gè)面有三條邊，且共有20個(gè)面，所以可求得這個(gè)正二十面體的棱數(shù)（即B-B鍵的個(gè)數(shù)）。因?yàn)樵跀?shù)F=20，所以由歐拉公式V+F-E=2?？汕蟮庙旤c(diǎn)V=12，即B原子的個(gè)數(shù)為12。 解： F=20， 每一個(gè)面是正三邊形， 棱數(shù)， 設(shè)頂點(diǎn)數(shù)為V，

6、 V=E-F+2=12，即這個(gè)正二十面體共有12個(gè)頂點(diǎn)，30條棱。 答：晶體硼的基本結(jié)構(gòu)單元由12個(gè)B原子組成，共含30個(gè)B-B鍵。 例4在半徑等于25cm的球內(nèi)有一個(gè)截面，它的面積是49cm2，求球心到這個(gè)截面的距離 思路分析：由截面的面積求出截面半徑r，根據(jù)截面的性質(zhì)求出球心到截面的距離。 解：設(shè)截面半徑為r r2=49cm2, r=7cm, 設(shè)球心到截面的距離為d . 答：球心到截面的距離是24cm。 例5 三個(gè)球的半徑之比是1:2:3，求證：最大球的體積等于其他兩個(gè)球體積和的三倍 思路分析: 由三個(gè)球的半徑之比等于1:2:3，可設(shè)三個(gè)球半徑分別為r、2r和3r，則三個(gè)球的體積都可以表示

7、有關(guān)r的代數(shù)式，然后再研究它們體積的數(shù)量關(guān)系. 解： 三個(gè)球半徑之比為1:2:3，于是可設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r, 2r和3r 則最大球的體積，其他兩個(gè)球的體積之和為。 所以最大球的體積等于其他兩個(gè)球的體積之和的三倍。 例6軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，若圓錐的底面半徑為1cm，求球的體積。 思路分析： 根據(jù)球與圓錐內(nèi)切的關(guān)系，找出球半徑與圓錐的底面半徑以及母線之間的關(guān)系，以便于求出球的半徑。 解：如圖，作出軸截面， ABC是正三角形， ， CD=1cm, AC=2cm, , RtAOERtACD, , 設(shè)OE=R，則， ， ， 。 答：球體積等于。 例7在一個(gè)軸截面是正三角形的圓錐形容器中注入高為h的水然后將一個(gè)鐵球放入這個(gè)圓錐形的容器中，若水面恰好和球面相切，求這個(gè)鐵球的半徑。 思路分析：解決問題的關(guān)鍵是找到圓錐的體積等于球體積和水的體