因式分解(競(jìng)賽題)含答案

1、因式分解序號(hào)公式記憶特征1x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(十字相乘法)(1)常數(shù)項(xiàng)兩數(shù)積(2)一次項(xiàng)系數(shù)兩數(shù)和(3)二次項(xiàng)系數(shù)為12a2-b2=(a-b)(a+b)(平差公式)3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2(完全平公式)4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2(1)三數(shù)平和(完全平公式擴(kuò)展)(2)兩兩枳的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3(完全立公式)對(duì)照完全平公式相互加強(qiáng)記憶6a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(

2、1)近似完全平公式(2)缺項(xiàng)之完全立公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)對(duì)照公式4相互加強(qiáng)記憶8an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)n=H數(shù)(平差公式擴(kuò)展)(1)短差長和；(2) a指數(shù)逐項(xiàng)遞減1;(3) b指數(shù)逐項(xiàng)遞增1;(4)長式每項(xiàng)指數(shù)和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)門=偶數(shù)(立差公式擴(kuò)展)(1)短式變

3、加長式加減相同；(2) a指數(shù)逐項(xiàng)遞減1;(3) b指數(shù)逐項(xiàng)遞增1;(4)每項(xiàng)符號(hào)b指數(shù)決定偶加奇減。10an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)n=<數(shù)(立和公式擴(kuò)展)對(duì)比公式9的異同運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.例1分解因式：(1)-2x5n一1yn+4x3n_1yn+2-2xn-1yn+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-

4、2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).例2分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實(shí)際上就是用因式分解的法證明前面給出的公式(6).分析我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).這個(gè)®式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來推導(dǎo).解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b

5、)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).說明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc="7(4+卜十匚)卜2匚"-Zab-Wcm)；U+b+c：it(a-b)Cb-G、顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c>0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc>0,即a3+b3+c3>3abc,而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.如果令x=a3>0,y=b3>0,z=c3>0,貝有等號(hào)成立的充要條件是x=y

6、=z.這也是一個(gè)常用的結(jié)論.派派變式練習(xí)1分解因式:x15+x14+x13+-+x2+x+1.分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0,由此想到應(yīng)用公式an-bn來分解.解因?yàn)閤16-1=(x-1)(x15+x14+x13+.x2+x+1),所以原式力-(J+1)'k'+1)(x"+1),-1X-1"(d1+l)(Ka+O(s+1.說明在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.2 .拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并

7、為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解.例3分解因式：x3-9x+8.添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、項(xiàng)的目的與技巧.解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8=(

8、x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8).解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3.原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8).解法4添加兩項(xiàng)-x2+x2.原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8).說明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸法巧性最強(qiáng)的一種.派

9、派變式練習(xí)1分解因式：(1)x9+x6+x3-3;(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4;(4)a3b-ab3+a2+b2+1.解(1)將-3拆成-1-1-1.原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3).(2)將4mn拆成2mn+2mn.原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-

10、2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2.原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3).(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab.原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)

11、b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).說明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn).3 .換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰.例4分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12.分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難.我們

12、不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了.解設(shè)x2+x=y,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5).說明本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u,一樣可以得到同樣的結(jié)果,有興趣的同學(xué)不妨試一試.例5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.分析先將兩個(gè)括號(hào)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2

13、x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.令y=2x2+5x+2,則原式=y(y+1)-90=y2+y-90二(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).說明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ).派派變式練習(xí)1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.解設(shè)x2+4x+8=y,則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).說明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入

14、必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式.1 .雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列，并把y當(dāng)作常數(shù),于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即：-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以，原式=x+(2

15、y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式:(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是:(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交

16、叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.例1分解因式:(1)x-3xy-10y+x+9y-2;x2-y2+5x+3y+4;(3)xy+y2+x-y-2;(4)6x-7xy-3y-xz+7yz-2z原式=(x-5y+2)(x+2y-1).原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解.+1原式=(y+1)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).說明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似.2 .求根法我們把形如anxn+an-ixn-1+Taix+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多

17、項(xiàng)式，并用f(x),g(x),等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)41)=12-3X1+2=0;f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.若f(a)=0,則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)要求出它的根是沒有一般法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定

18、它是否有有理根.若物分?jǐn)?shù)也是整系數(shù)多事式定理23蛾+呼.好理+X*%的根，則必有p是a。的約數(shù)，q是an的約數(shù).特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4.分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1,±2,±4,只有f(2)=23-4X22+6X2-4=0,即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).原式=(x3-2x2

19、)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2).解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立,即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根.因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.變式練習(xí)1 .分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2.分析因?yàn)?的約數(shù)有±1,±3,±9;-2的約數(shù)有±1,±2 .所以原式，的吉奔根只可粉是土12,±L3 Jyy紀(jì)檢至，只有q和;是原式

20、的很，所以原式有國點(diǎn)和二-今天因?yàn)椋簝H-tXs-申=:-2)卷#-3e-2)f所以，原式有因式9x2-3x-2.解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式+1235可以化為9x-3x-2,這樣可以簡化分解過程.總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x),如果能找到一個(gè)一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣

21、，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了.3.待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的程(或程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的法叫作待定系數(shù)法.例3分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么

22、它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.解設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有,rm+n=4,$m+2n-5(ran=%解之得m=3,n=1,所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.變式練習(xí)1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7.分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1,±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)

23、，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集，原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.解設(shè)原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有由bd=7,先考慮b=1,d=7有3.+c=-2,*ac=-3517a+c=-44+fa=-7臉得r忡="所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7).說明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1,d=-7等可以不加以考慮.本題如果b=1,d=7代入程組后，無法確定a,c的值，就必須將bd=7的其他解代入程組，直到求出待定系數(shù)為止.本題沒有

24、一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.四、鞏固練習(xí)：1 .分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式.對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因解原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy.令x+y=u,xy=v,貝U原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+yj2.五、真題精解:

25、1)已知多項(xiàng)式ax3+bx2+cx+d除以x-1時(shí)的余數(shù)是1,除以x-2時(shí)的余數(shù)是3,那么，它除以(x-1)(x-2)時(shí)所得的余數(shù)是什么？(第12屆“希望杯”試題)解：設(shè)原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n),當(dāng)x=1時(shí)，原式=1,即m+n=1;當(dāng)x=2時(shí)，原式=3,即2m+n=3,解此關(guān)于m、n的程組得m=2,n=-1,故原式除以(x-1)(x-2)時(shí)的余數(shù)為x-12 )k為值時(shí)，多項(xiàng)式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成兩個(gè)一次因式的積？(天津市競(jìng)賽試題)解：原式中不含y的項(xiàng)為x2+3x+2可分解為(x+1)(x+2),故可設(shè)原式=(x+1)+ay(x+2)+by,將

26、其展開得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，與原式對(duì)比系數(shù)得：a+b=-2,ab=k,2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-33)如果x3+ax2+bx+8有兩個(gè)因式x+1和x+2,求a+b的值。(美國猶他州中學(xué)競(jìng)賽試題)解法1:設(shè)原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展開后得：x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，對(duì)比原式系數(shù)得a=3+k,b=3k+2,8=2k所以a+b=4k+5=16+5=21解法2：因當(dāng)x=-1或x=-2時(shí)，原式=0,分別代入后得a-b+8=0,4a-2b+8=0,解得a=7,b=14,故a+b=14真題實(shí)練：3 .下列四個(gè)從左到右的變形