因式分解知識點總結及鞏固練習

1、.、知識梳理1 .因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式,這種變形叫四式分解.即：多項式f幾個整式的積例：-ax+-bx=-x(a+b)因式分解是對多項式進行的一種恒等變形,是整式乘法的逆過程.2 .因式分解的方法：(1)提公因式法：定義：如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外而,將多項式寫成因式乘積的形式,這個變形就是提公因式法分解因式.公因式：多項式的各項都含有的相同的因式.公因式可以是一個數字或字母,也可以是一個單項式或多項式.,系數一一取各項系數的最大公約數字母取各項都含有的字母指數一一取相同字母的最低次塞例：1一8“%2c3+的公四式是.解析：從多項式的系數和

2、字母兩局部來考慮,系數局部分別是12、-8、6,它們的最大公約數為2:字母局部/2c3,4%2c2都含有因式/C,故多項式的公因式是2a3b2c.提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個因式,提公因式時,可用原多項式除以公因式,所得商即是提公因式后剩下的另一個因式.注意：提取公因式后,對另一個因式要注意整理并化簡,務必使因式最簡.多項式中第一項有負號的,要先提取符號.例1：把12crb-Sab2-24少分解因式.解析：此題的各項系數的最大公約數是6.相同字母的最低次基是ab,故公因式為6ab.解:2b-18加一24a3好=6ub(2a3b-4a2b2)例2：把多項式3(x

3、4)+x(4x)分解因式解析：由于4x=(x4),多項式3(x-4)+x(4x)可以變形為3(x4)x(x4),我們可以發(fā)現多項式各項都含有公因式(工一4),所以我們可以提取公因式(x4)后,再將多項式寫成積的形式.解：3(x-4)+x(4-x)=3(x-4)-x(x-4)=(3-x)(D例3：把多項式一V+2x分解因式解：A'+2x=(x-2a')=x(x2)(2)運用公式法定義：把乘法公式反過來用,就可以用來把某些多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做運用公式法.逆用平方差公式：a2_b2=(a+b)(a-b)逆用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±

4、b)2c.逆用立方和公式：/+'=("+)(/-,山+)(拓展),逆用立方差公式：/一b3=(.一b)(a2+ab+b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一個數、一個單項式或一個多項式.選擇使用公式的方法：主要從項數上看,假設多項式是二項式可考慮平方差公式:假設多項式是三項式,可考慮完全平方公式.例1：因式分解.214.+49解：/一14.+49=伍一7了例2：因式分解/+2“S+c)+S+c)2解：a2+2a(b+c)+(b+c)2=(a+b+c)2(3)分組分解法(拓展)將多項式分組后能提公因式進行因式分解：例：把多項式C心4+1分解因式解：ab-a+b=(ab-a)+(

5、-1)=a(b-1)+(Z?-1)=(a+1)(.-1)將多項式分組后能運用公式進行因式分解.例：將多項式.2一2,必一1+.2因式分解解：cr-lab-X+b1=儲2"+/)_1=(4_切2_1=(4_+1)(4_1)(4)十字相乘法(形如*+(P+4)x+P9=(x+P)(x+/形式的多項式,可以考慮運用此種方法)方法：常數項拆成兩個因數和夕,這兩數的和+4為一次項系數x2+(p+q)x+pqX1+(P+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：分解因式/一工一30分解因式/+52工+100補充點詳解補充點詳解我們可以將-30分解成pXq的形式,我們可以將100分解成pXq的形式,使

6、p+q=-l,pXq=-30,我們就有p=-6zq=5或q=-6zp=5c所以將多項式解+(“+/X+/3可以分以分解為(x+P)(x+q)使p+q=52,pXq=100,我們就有p=2,q=50或q=2,p=50o所以將多項式x2+(p+q)x+pq可解為(x+P)(x+q)X-6X50x2-x-30=(x-6)(x+5)x2+52x+100=(x+50)(x+2)3 .因式分解的一般步驟：如果多項式有公因式就先提公因式,沒有公因式的多項式就考慮運用公式法：假設是四項或四項以上的多項式,通常采用分組分解法,最后運用十字相乘法分解因式.因此,可以概括為：“一提、“二套、“三分組、“四十字二注意

7、：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止,否那么就是不完全的因式分解,假設題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解,應該是指在有理數范圍內因式分解,因此分解因式的結果,必須是幾個整式的積的形式.二、例題解析提公因式法提取公因式：如果多項式的各項有公因式,一般要將公因式提到括號外而.確定公因式的方法：系數取多項式各項系數的最大公約數；字母(或多項式因式)一取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次塞.【例1】分解因式:(l)15a(a-by""-Oab(b-a)'(n為正整數)(2)4,產+%'"-6cr2bm-l(m、為大于1的自然數)【穩(wěn)固】

8、雙0分解因式：*一>,嚴|-.-2)3->,)2"+2(>-工)2"(),一2),為正整數.【例2】【例3】先化簡再求值,y(x+y)+(A-+y)(.v-y)-x2,其中x=-2,y=.【穩(wěn)固】求代數式的值：(3x2)2(2x+l)(3x2)(2x+l)2+x(2x+l)(23x),其中x=一-.322221【例4】：b+ca=-2,求一(“一-c)+(一c"+)+-c(2A+2c2a)的值.33333【穩(wěn)固】分解因式：x3(.x+y-z)(y+z-a)+x2z(z-a-_v)+x2y(z-.x-y)(x-z-a).公式法平方差公式：,J公式左邊形式上是一個二項式,且兩項的符號相反：每一項都可以化成某個數或式的平方形式：右邊是這兩個數或式的和與它們差的積,相當于兩個一次二項式的積.完全平方公式：(J+2ab+b1=("+?尸a22ab+hz=(ab)左邊相當于一個二次三項式；左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數或式的完全平方式：左邊中間一項為哪一項這兩個數或式的積的2倍,符號可正可負；右邊是