初中數(shù)學競賽輔導-韋達定理及其應用

1、.n學科：奧數(shù)年級：初三不分版本期數(shù)：346本周教學內容：韋達定理及其應用【內容綜述】設一元二次方程g2+隊+,=OQ工0有二實數(shù)根工】和勺,那么4+這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a,b,c的關系,稱之為韋達定理.其逆命題也成立.韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學競賽中有著廣泛的應用.本講重點介紹它在五個方面的應用.【要點講解】1 .求代數(shù)式的值應用韋達定理及代數(shù)式變換,可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值.ba例1假設a,b為實數(shù),且層+%+1=口,戶+登+1=.,求1十后的值.思路注意a,b為方程/+3+1=口的二實根：隱含空口.解1當a=b時,

2、一十=2ab.2當/于方時,由及根的定義可知,a,b分別是方程M+3t+l=0的兩根,由韋達定理得aW,ab=l.,b_a+匕尸一2劭_-32-2x1.+=abdbab11 12 2s5-4-說明此題易漏解a=b的情況.根的對稱多項式"+可,4+M,門叼等都可以用方程的系數(shù)表達出來.一般地,設馬,/為方程/+改+匕=口的二根,+芍,那么有遞推關系.+c*=0其中n為自然數(shù).由此關系可解一批競賽題.附加：此題還有一種最根本方法即分別解出a,b值進而求出所求多項式值,但計算量較大.例2假設陸2=附+1,且加#力,試求代數(shù)式的值.思路此例可用上例中說明局部的遞推式來求解,也可以借助于代數(shù)變

3、形來完成.解：由于加由根的定義知m,n為方程爐-乂-1=0的二不等實根,再由韋達定理,得k+找=1mn=-1.m7+/=卜+/),椅+陰-/-療/='+Ji)2-2ra«2-2MM.歸+jiJ3_3z?3M(m+?i)-(wiji)3(ra+n)=(l2-2(-1)2-2(-1)2).1s-3(-1).1-(-1)3-1=7x4+1=292.構造一元二次方程如果我們知道問題中某兩個字母的和與積,那么可以利用韋達定理構造以這兩個字母為根的一元二次方程.例3設一元二次方程工一以十'二"的二實根為a和A(1)試求以1和/為根的一元二次方程：(2)假設以a?和/為根

4、的一元二次方程仍為/-川+°=0.求所有這樣的一元二次方程.解(1)由韋達定理知你44二尸豕?y,o：./,=(喇3=/,陵+伊二(«+砰-3啰(口+.)=/-3的O所以,所求方程為1-M-3加/嗎p=p(p2-3q)(2)由己知條件可得q3=q'解之可得由得夕二°,ti分別討論(p,q)=(00),(1,0),(1,0),(0,1),(2,1),(一2,1)或(0,-1).于是,得以下七個方程M=0,-"0,/+工=0,M+1=CI,M-2x+1=D,x2+2x+1=0,x21=O,其中x2+l=0無實數(shù)根,舍去,其余六個方程均為所求.xi+=

5、-20,Xjr2=6-方程二根均大于1的條件為=4,-46-a>0,«ij-1十馬-1=一2.一2>0,11-也-L=6-a-2a+1>0.解之得-7<a<-3方程二根中一個大于1,另一個小于1的條件為/=4a2-46-a>0,x-lx、-1=6a-2a+1<0.解之得.a<-7a說明此例屬于二次方程實根的分布問題,注意命題轉換的等價性；解題過程中涉及二次不等式的解法,請參照后繼相關內容.此例假設用二次函數(shù)知識求解,那么解題過程極為簡便.5.求參數(shù)的值與解方程韋達定理及其逆定理在確定參數(shù)取值及解方程組中也有著許多巧妙的應用.例6解方程做

6、+7戶位+4次+1=6.解：原方程可變形為6x+726x+86x+6=72令6工+72,儆+磯故+6=匕.那么0+-勸=1夕卜勸=-72由韋達定理逆定理知,以a,-b為根的一元二次方程是/-7-72=0O解得】=-8,%=9.即a=8或a=9.；«=-8961+7尸="或1?=一3通過6人然短+6=.求解*結果相同,且嚴謹.卜+7&,麻+7舍去.=_2=_5解之得"一1,%一此種方法應檢驗：6芯+觀6芯+6=匕是或否成立本周強化練習:A級 1.假設k為正整數(shù),且方程:T/一膾/+72=0有兩個不等的正整數(shù)根,那么k的值為o 2.假設黜+1氏+16=口,+1

7、1k16=°僅,那么g-辰. 3.乙和工2是方程Mt一1=.的二實根,那么2次+%=. 4.方程一+2工-巾+1=0m為整數(shù)有兩個不等的正整數(shù)根,求m的值.B級 5.：或和浦為方程淤+抨+°=°及方程*+內、寸+.的實根,其中n為正奇數(shù),且ap求證：戶,石是方程二十1-k+r=°的實根.6.關于x的方程/+上=3一的二實根龍和/滿足像,加:2,試求k的值.旖放胃傕業(yè)后再冒答麋！C參考答案1. 2126提示：原方程即代+1,-3優(yōu)-1卜-6=口,所以"加+1,"1由仔+邛2知k=l,2,3,5,11；由旭知k=2,3,4,7.所以k=2

8、,3,但k二3時原方程有二相等正整數(shù)根,不合題意.故k=2.士回2. -4提示：由x,y為方程*2+1加+16=£1的二根,知="=16.于是原式=7=；一=±：Jk+F'_4寸=土"府444.3. 21提示：由*=+1,后=勺+1,.+4=1知,鋁+元=24卜+12+5勺勺+1=2/xj+2勺+1+512+5x2=2工1工1十1+2工+1十5x2+1十512=6x?+4rl+10r2+5=61十.+4i+1Ox2+5=10x+x2+1=21a+g=Tn,4. 設二個不等的正整數(shù)根為以,/0戶,由韋達定理,有一隙+L消去m,得A磔".-/?=10即.-1伊-1=2.那么0f-1=1且加1=2.；.&=2,產(chǎn)=3故m=-儀+/=-55. .由韋達定理有口十戶二一戶,儂1F.+/V+F=0泮+s儼+/=0.X»,二式相減得卜-夕卜+夕+川=0.,3,歹:.£+歹卅=Q,O將種"代入有£+/-卜+郎=.x、兄/、Xa4a_十1一+1=0從而w),(6V-+1-2+1=0同理W/9/,口p豆和.是方程工"一k+爐=°的根.6.當01=|3時,可知01=0=1,所以14+1<=3乂12=1&l