系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性的判定

1、系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性的判定倪育德(中國(guó)民航大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津300300 )1系統(tǒng)的功能系統(tǒng)的功能就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，也就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行某種或某嘆運(yùn)算，設(shè)某一系統(tǒng)的激勵(lì)為Kt),響應(yīng)為r(t),則系統(tǒng)的功能就是対激勵(lì)e進(jìn)行運(yùn)算，從而給出響應(yīng)r©»我們將這種運(yùn)算用Te衷示，即r(t)=Te(t),用示意圖衷示如2_r(t)=Te(t)e(t)_同學(xué)們T力不要小看了我們引入的這個(gè)符號(hào)：R)=Te(f),卜面將會(huì)看到，它會(huì)対我們判斷系 統(tǒng)的線性尤It是時(shí)不變性帶來(lái)非常人的方便，避免錯(cuò)誤的發(fā)生。2.實(shí)例例1：對(duì)于某一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，衛(wèi))=3皿，苴中e(t)為激勵(lì)，r(t)為響

2、應(yīng)，a為冇界常數(shù)(a*O).試判 定系統(tǒng)是否為線性的、時(shí)不變的。解 設(shè)由此知道，系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)e(t)的運(yùn)算為：將激勵(lì)e(t)作為仃界常數(shù)a的指數(shù)， 便得到輸出r(t)。做這種題時(shí)，同學(xué)們一定要首先確定系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)鞏。進(jìn)行了什么運(yùn)算.1)判斷系統(tǒng)是否為線性的設(shè)激勵(lì)為ei©、e?(t)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)分別為n(t)和M)，則：nCtTteiCta, r2(t)=Te2©= a'"。現(xiàn)將kiei©+k3e2(t)作為激勵(lì)加入系統(tǒng) 偽、k?為任意不為0的常數(shù))，系統(tǒng)的響應(yīng)為Tkiei(t)4- bd),貝I而kin(t)+ 心刃)=kiaei(t)+ k2 a

3、e3(t)可見(jiàn)Tkiei(t)+ k3e2(t)* ki 門(t)+ k2r2(t)系統(tǒng)為非線性的。2)判斷系統(tǒng)是否為時(shí)不變的將e(t-to)作為激勵(lì)加入系統(tǒng)(to*O),系統(tǒng)的響應(yīng)為Te(t-to),則Te(tf)=a'E而r(J to) = ae s可見(jiàn)Tea-to)=r(t-to)系統(tǒng)為時(shí)不變的。例2：某一系統(tǒng)的激勵(lì)為e(t),響應(yīng)為r©, r(t>e(l-t),判斷該系統(tǒng)是否為線性的、時(shí)不變的。解 設(shè)r(t)=Te(t)=e(l-t),由此知道，系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)e(f)的運(yùn)算為：先將激勵(lì)反褶，再將反褶的信號(hào) 往左移動(dòng)1個(gè)單位。1) 判斷系統(tǒng)是否為線性的設(shè)激勵(lì)為ei(t

4、)，匕時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)分別為門(t)和門©,貝山n(t)=Tei(t)= ei(l-t), r3(t>Te2(l)= e2(l-t)o現(xiàn)將kiei(t)+k2e2(t)作為激勵(lì)加入系統(tǒng)(ki、k2為任意不為0的常數(shù))，系統(tǒng)的響應(yīng)為Tkiei(tX 5©，則Tkiei(t)+ k2e2(t)= ki ei(l-t)+k2 e2(l-t)而匕門©+ k2r2(t> kj e1(l-t)4-k2 yt)可見(jiàn)TlqeiC>4 k2e2(t)= b 門(t)+ 冷建)系統(tǒng)為線性的。2) 判斷系統(tǒng)是否為時(shí)不變的將e(t-to)作為激勵(lì)加入系統(tǒng)(gO),系統(tǒng)的響

5、應(yīng)為Te(tto),則Te(ff )=e(-f+lf)而r(t to) = e 1 © 1()= e(1+ l+W可見(jiàn)系統(tǒng)為時(shí)變的。注：仃不少同學(xué)不能理解Te(r-r0)=e(-/+l -Zo)這一步，往往認(rèn)為激勵(lì)e(t -to)時(shí)的響應(yīng)為 e(l-t+to),從而得出“系統(tǒng)為時(shí)不變”的錯(cuò)誤結(jié)論。如果我們認(rèn)為“系統(tǒng)就是對(duì)激勵(lì)進(jìn)行運(yùn)算”，則 就很好理解Te(t f(j) =e(f+1 To):對(duì)J 激勵(lì)e(t to), e(t to)的反褶倍'j為e(t to),再往左移 動(dòng)1個(gè)單位，則得信號(hào)e(t+lf),這就是系統(tǒng)的響應(yīng)。從上述兩例也可以看出，系統(tǒng)的線性與時(shí)不變性沒(méi)有任何必然的聯(lián)