線性回歸方程分析

1、觀環(huán)球雅思中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌徑匡跨 GLOBAL IELTS EDUCATION環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號(hào)： 組長(zhǎng)簽字： 簽字日期:學(xué)員編號(hào)：年級(jí)：高二課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué)學(xué)科教師：閆建斌課題線性回歸方程授課日期及時(shí)段2014-2-1118:00-20:00教學(xué)目標(biāo)線性回歸方程基礎(chǔ)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容1本周錯(cuò)題講解2、知識(shí)點(diǎn)梳理1線性回歸方程 變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系 制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系 線性回歸方程：V=bx+a （最小二乘法）最小二乘法：求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方最小的方法n送 Xi yi nxyb詩-亍2v注意：線性回歸直線經(jīng)過

2、疋點(diǎn)（x, y）乙 xi -nximi a = y _bxn為（Xi -x）（yi - y）i2 相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性）：rinn匹（Xix）2（yi y）2 I i =1i =i注：r >0時(shí)，變量x, y正相關(guān)；r <0時(shí)，變量x, y負(fù)相關(guān)；環(huán)球雅思GLOBAL IELTS EDUCATION中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌|r |越接近于1兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng);| r |接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。3線形回歸模型:隨機(jī)誤差e :我們把線性回歸模型 y rbx a e，其中a,b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差 ei = yi -bxi _a殘差

3、?:我們用回歸方程y?二bX -刃中的？估計(jì)bx a，隨機(jī)誤差e = y _（bx a），所以e = y 一 ？是e的估計(jì)量,3 一切為了孩子# 一切為了孩子故? =yi -?i =yi -l&i, e稱為相應(yīng)于點(diǎn)（Xi,yj的殘差?；貧w效果判定相關(guān)指數(shù)（解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率 ）R2n(% - ？)2i 4nv (% - y)2i 4# 一切為了孩子# 一切為了孩子n_ 2(R2的表達(dá)式中v (yi - y)確定)i 12注：R得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；R2越

4、接近于1,則回歸效果越好。4.獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類變量關(guān)系）：（1）分類變量：這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別的變量。（2）列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表。對(duì)于2 2列聯(lián)表：K2的觀測(cè)值k=（a+b）（；爲(wèi)（工）葉）。（4）臨界值ko表:P (k 2>k 00.500.4000.050.0250.0100.0050.001k°0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果k -ko，就推斷“ X,Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論

5、“ X,Y有關(guān)系”。（5）反證法與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較：# 一切為了孩子中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌反證法原理在假設(shè)H。下，如果推出矛盾，就證明了H。不成立。獨(dú)立性檢在假設(shè)H。下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H。相矛盾的小概率事件，就推斷H。不成立，且該推斷驗(yàn)原理犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率。融環(huán)球雅思GLOBAL IELTS EDUCATION典型例題1. （2011山東）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:廣告費(fèi)用x萬兀4235銷售額y/萬元49263954根據(jù)上表可得回歸方程y = bx + a中的b為9.4 ,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為（ ）.A. 63.6萬元C.

6、 67.7 萬元B . 65.5萬元D . 72.0萬元解析4+ 2+ 3 + 574= 2,-49+ 26 + 39+ 54y =4=42，A A A_7AA又 y= bx+ a 必過（x , y）,.42 = $ 9.4+ a ,.a= 9.1.線性回歸方程為y= 9.4x+ 9.1.當(dāng) x= 6 時(shí)，y= 9.4X 6+ 9.1 = 65.5（萬元）.答案 B2. （2011江西）為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下:父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對(duì)x的線性回歸方程為（）.AAA.y= x_ 1

7、B.y=x+ 1A1AC.y = 88+D.y=176解析因?yàn)開 =174 + 176+ 176+ 176 + 1785176,5 一切為了孩子176,中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌樣本點(diǎn)，直線I是由論中正確的是（）.0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.6 + 0.4=0.5,齡環(huán)球雅思豐近寥GLOBAL IELT5 EDUCATION175+ 175+ 176 + 177+ 177 5又y對(duì)x的線性回歸方程表示的直線恒過點(diǎn)（亍,y ）,所以將（176,176）代入A、B、C、D中檢驗(yàn)知選 C.答案 C3. （2011 陜西）設(shè)（X1, y”, （X2, y2），（Xn, yn）

8、是變量 x 和 y 的 n 個(gè) 這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結(jié)A . x和y的相關(guān)系數(shù)為直線I的斜率B. x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在I兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同D. 直線I過點(diǎn)（x , y）解析 因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值，它的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以A、B錯(cuò)誤.C中n為偶數(shù)時(shí)，分布在I兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以不相同，所以C錯(cuò)誤根據(jù)回歸直線方程一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)可知D正確，所以選D.答案 D4. （2011廣東）為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)

9、到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x（單位：小時(shí)）與當(dāng)天投籃命中率 y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.60.4小李這5天的平均投籃命中率為 ;用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為.解析小李這5天的平均投籃命中率可求得小李這5天的平均打籃球時(shí)間x = 3.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得b= 0.01, a =0.47,故回歸直線方程為y= 0.47 + 0.01x，將x= 6代入得6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率約為0.53.答案 0.5 0.537 一切為了孩子彘環(huán)球雅思GLOBAL IELT5 (JCATION中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌5. （2011遼

10、寧）調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入 x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：y= 0.254x+ 0.321 由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加 萬元.解析由題意知0.254（ x+ 1） + 0.321 - （0.254X+ 0.321） = 0.254.答案 0.254年份20022004200620082010需求量（萬噸）2362462572762866. （2011安徽）某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):（1）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直

11、線方程y= bx + a；年份2006-4-2024需求量257211101929（2）利用（1）中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2012年的糧食需求量.解（1）由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求回歸直線方程.為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理 如下：對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得-=0, - = 3.2.b= - 4 X -21 +2X 19 + 4X 29 5X 0X 3.222 + 42- 5 X 02=260 = 6.5, a= - -b- = 3. 40， y由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為y- 257= b(x- 2 006) + a= 6.5(x- 2 006) + 3.2,即

12、y= 6.5(x-2 006) + 260.2.(2)利用直線方程，可預(yù)測(cè) 2012年的糧食需求量為6. 5X (2012 2006) + 260.2 = 6.5 X 6+ 260.2 = 299.2(萬噸).課堂練習(xí)1.實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x, y)的值為(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為()yyyyA.y=x+ 1B.y= x+ 2C.y= 2x+ 1 D.y=x-12.在比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85,貝削合效果好的模型是（）A .甲 B .乙 C.甲、乙相同D .不確定9 www.gedu.

13、org一切為了孩子中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌勳環(huán)球雅思GLOBAL IELTS EDUCATlOM3某化工廠為預(yù)測(cè)產(chǎn)品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取 8 8 8 8觀測(cè)值，計(jì)算，得刀i“xu 52,刀i “y二228,刀戸匯=478,刀廠網(wǎng)=1849,則其線性回歸方程為( AAA. y = 11.47+ 2.62x B.y = 11.47+ 2.62xAAC.y= 2.62+ 11.47x D.y = 11.47 2.62x4下表是某廠14月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y4.5432.50.7x由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相

14、關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是y= + a,則a等于.5. 某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù) 如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;求出y關(guān)于x的線性回歸方程y= bx+ a,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？課后練習(xí)一、選擇題1. 實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x, y)的值為(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為(AAA. y=x+ 1B.y= x+ 2C.y= 2x+ 1 D.y=x 1答案 AA解析畫出散點(diǎn)

15、圖，四點(diǎn)都在直線y= x+ 1.2. 下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)的說法不正確的是()A .相關(guān)系數(shù)用來衡量變量x與y之間的線性相關(guān)程度|r|w 1,且|r越接近于1,相關(guān)程度越大11 一切為了孩子環(huán)球雅思GLOBAL IELTS EDUCATIlON中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌B. |r|w 1且|r越接近0,相關(guān)程度越小C. |r|> 1且|r越接近1,相關(guān)程度越小 答案 D3 .由一組樣本(xi,回歸直線方程的論述：A(1)直線 y= a+ bxyi), (x2, y2),，(xn, yn)得到的回歸直線方程y=a+ bx,下面有四種關(guān)于至少經(jīng)過點(diǎn)(xi, yi), (x2,

16、y2)，,(xn, yn)中的一個(gè)點(diǎn)；nA直線y= a+ bx的斜率是刀i =ixiyi n x yn;2 _ 2 ，L j=ixi n xA直線y= a+ bx必過(x , y)點(diǎn)；an直線y= a+ bx和各點(diǎn)(xi, yi), (x2, y2)，(xn, yn)的偏差L i=i (yi a bxi)2是該坐標(biāo)平面 上所有的直線與這些點(diǎn)的偏差中最小的直線.其中正確的論述有()A . 0個(gè) B . i個(gè)C. 2個(gè) D . 3個(gè)答案 Dn_L i= ixiyi n x y 解析 線性回歸直線不一定過點(diǎn)(Xi,yi),(X2,y2),-,(Xn,yn)中的任何一點(diǎn)；b =n22L. dxi n

17、xi = i就是線性回歸直線的斜率，也就是回歸系數(shù)；線性回歸直線過點(diǎn)(x , y);線性回歸直線是平面上n所有直線中偏差Li=i (yi a bxi)2取得最小的那一條.故有三種論述是正確的，選D.4 .設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r, y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b,縱截距是a,那么必有()A. b與r的符號(hào)相同B. a與r的符號(hào)相同C. b與r的符號(hào)相反D. a與r的符號(hào)相反答案 A5. 在比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85, 則擬合效果好的模型是()A .甲 B .乙C.甲、乙相同D .不確定答案 A6. 某化工廠

18、為預(yù)測(cè)產(chǎn)品的回收率y,需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8 8 8 88對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算，得L i=ixi = 52,Li=iyi = 228,Li = ix2= 478,Li = ixiyi= 1849,貝U其線性回歸方程 為()AAA.y= ii.47+ 2.62x B.y= ii.47+ 2.62xAAC.y= 2.62+ ii.47x D.y= ii.47 2.62x答案 AA解析 利用回歸系數(shù)公式計(jì)算可得 a= ii.47, b = 2.62，故y= ii.47+ 2.62x.二、填空題環(huán)球雅思GLOBAL IELTS EDUCATSOM中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌7下表是某廠14

19、月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù):月份x1234用水量y4.5432.5由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是y= 0.7x + a,則a等于.解析 x = 2.5, y = 3.5,v 回歸直線方程過定點(diǎn)（x , y）,：3.5= 0.7X 2.5+ a.a = 5.25.8某服裝商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量y（件）與月平均氣溫x（C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（C）171382月銷售量y（件）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程y= bx+ a中的b 2,氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為 6

20、C, 據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣的銷售量約為 件.n' xiyi n x yi = 1（參考公式：b=, a= y b x ）黒 2 2xi n xi =1答案 46解析 由所提供數(shù)據(jù)可計(jì)算得出x = 10, y = 38,又b 2代入公式a= y b x可得a = 58, A即線性回歸方程y= 2x+ 58,將x= 6代入可得.9對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和 196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了 3年的跟蹤研 究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過 心臟病未發(fā)作過 心臟病合計(jì):心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根

21、據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算K2 =.比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別. 2答案 392X39X 167 29X157） 答案68X 324X 196X 196不能作出這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論解析 提出假設(shè)Ho：兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得2392X 39X 167 29X 1572K =1 7868 X 324X 196X 196H0.也就是不能作出這當(dāng)H0成立時(shí)K21.78,而K2V2.072的概率為0.85所以，不能否定假設(shè)15 一切為了孩子中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌勳環(huán)球雅思GLOBAL IELTS EDU

22、CATION兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論.三、解答題10. 某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他 們分別記錄了 2010年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每 100顆種子中的發(fā)芽 數(shù)，得到如下表：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差xCC)101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程， 再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，

23、請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出Ay關(guān)于x的線性回歸方程y= bx+ a；(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠？解析(1)設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)為事件 A,因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況:(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中數(shù)據(jù)為 12 月份的日期數(shù).每種情況都是可能出現(xiàn)的，事件 A包括的基本事件有6種：所以P(A)=洛=3.所以選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是5.由數(shù)

24、據(jù)，求得x = 12，y = 27.5由公式，求得b = 2， a= y b x =一3.A 5所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=?x 3.A 5(3)當(dāng) x= 10，y= 2X 10 3 = 22，|22- 23|v 2;A 5同樣，當(dāng) x= 8 時(shí)，y= 2X 8 3= 17，|17 16|v2;所以，該研究所得到的回歸方程是可靠的.11. 某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的 數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5:3：44.5 :(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;17 一切為了孩子# ww

25、一切為了孩子求出y關(guān)于x的線性回歸方程y= bx+ a，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)?# 一切為了孩子環(huán)球雅思GLOBAL IELT5 EDUCATION中國(guó)教育領(lǐng)軍品牌刀 i=1xiyi n '可_(注：b= n 22 ，a= y b x)刀 j=1xi n x解析散點(diǎn)圖如圖.18 一切為了孩子4(2)由表中數(shù)據(jù)得：刀尸1xiyi= 52.5, 4 2x = 3.5， y = 3.5，刀i=1Xi = 54，.b = 0.7，.&= 1.05,# 一切為了孩子:yy = 0.7x+ 1.05. 回歸直線如圖所示.A將x= 10代入回歸直線方程，得y= 0.7X 10+ 1.05= 8.05（小時(shí)）.預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí).12. （2010遼寧卷）為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射