函數(shù)與方程思想總結(jié)很好很全面

1、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì),解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中,通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),到達化難為易,化繁為簡的目的.函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的根本思想,也是歷年高考的重點.1 .函數(shù)的思想,是用運動和變化的觀點,分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決.2 .方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運用方

2、程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決.方程思想是動中求靜,研究運動中的等量關(guān)系；3 .函數(shù)方程思想的幾種重要形式(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的,對于函數(shù)y=f(x),當y=0時,就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=0o(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化,對于函數(shù)y=f(x),當y0時,就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0,借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì),也離不開解不等式；(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；(4)函數(shù)f(x)=(1+x)An(nGN*)與二項式定理是密切相關(guān)的,利用這個函數(shù)用賦值法

3、和比擬系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；(5)解析幾何中的許多問題,例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題,需要通過解二元方程組才能解決,涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算,經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決.【例1】.關(guān)于x的方程(x21)2|x21|+k=0,給出以下四個命題：存在實數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實根；存在實數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實根；存在實數(shù)k,使得方程恰有5個不同的實根；存在實數(shù)k,使得方程恰有8個不同的實根.其中真命題是解答：根據(jù)題意可令I(lǐng)x21I=t(tA0)那么方程化為t2t+k=0,(*)作出函數(shù)t

4、=|x21|的圖象,結(jié)合函數(shù)的圖象可知當t=0或t1時,原方程有兩上不等的根,當0vtv1時,原方程有4個根,當t=1時,原方程有3個根.(1)當k=2時,方程(*)有一個正根t=2,相應(yīng)的原方程的解有2個；(2)當k=時,方程(*)有兩個相等正根t=,相應(yīng)的原方程的解有4個；(3)當k=0時,此時方程(*)有兩個不等根t=0或t=1,故此時原方程有5個根；(4)當0vkv時,方程(*)有兩個不等正根,且此時方程(*)有兩正根且均小于1,故相應(yīng)的滿足方程|x2-1|=t的解有8個答案：1234【例2】假設(shè)不等式x2+ax+1)0對于一切xG(O,成立,那么a的最小值為解答：1.別離變量,有a-

5、(x+),xG(0,恒成立.右端的最大值為一,a-.2 .看成關(guān)于a的不等式,由f(0)蕓0且f()0可求得a的范圍.3 .設(shè)f(x)=x2+ax+1,結(jié)合二次函數(shù)圖象,分對稱軸在區(qū)間的內(nèi)外三種情況進行討論.4 .f(x)=x2+1,g(x)=ax,那么結(jié)合圖形(象)知原問題等價于f()O(,即a.【例31設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當xv0時,f(x)gx0x)-gXx),且g(-3)=0,那么不等式f(x)g(x)v0的解集為解析：以函數(shù)為中央,考查通性通法,設(shè)F(x)=f(x)g(x),由f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以F(-x)=f(-

6、x)g(-x)=-f(x)g(x)=F(x),即F(x)為奇函數(shù).又當xv0時,F(x)f(x)g(x)f(x)g冶0,所以x0時,F(x)也為增函數(shù).由于F(3)=f(3)g(3)=0=F(3).如上圖,是一個符合題意的圖象,觀察知不等式F(x)v0的解集是(8,3)U(0,3)【例4實數(shù)a,b分別滿足a4a10,bka,20,即(x1)21+4m24+1+4m2x24m20,整理得x2-2x-30,由于x20,所以1+4m2),設(shè)g(x)=,xG.于是題目化為1+4m2)g(x),對任意xG恒成立的問題.為此需求g(x)=,xG的最大值.設(shè)u=,那么0u,因此實數(shù)m的取值范圍是mU.(解法

7、2)(前面同解法1)原題化為1+4m2)g(x),對任意xG恒成立的問題.為此需求g(x)=,xG的最大值.設(shè)t=2x+3,那么tG6,+8).g(x)=h(t)=.由于函數(shù)t+在(3,+8)上是增函數(shù),所以當t=6時,t+取得最小值6+.從而h(t)有最大值=.所以1+4m2)gmax(x)=,整理得12m45m23)0,即(4m23)(3m2+1)0,所以4m23)0,解得mW或m,因此實數(shù)m的取值范圍是mU.(解法3)不等式化為f(x1)+4f(m)f+4m2f(x)0,即(x1)21+4m24+1+4m2x24m20,整理得x22x-30,令F(x)=x2-2x-3.由于F(0)=3V

8、0,那么其判別式A0,因此F(x)的最小值不可能在函數(shù)圖象的頂點得到,所以為使F(x)0對任意xG恒成立,必須使F為最小值,即實數(shù)m應(yīng)滿足解得m2),因此實數(shù)m的取值范圍是mU.【例10】.某工廠2005年生產(chǎn)利潤逐月增加,且每月增加的利潤相同,但由于廠方正在改造建設(shè),一月份投入的建設(shè)資金恰與一月份的利潤相等,隨著投入資金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建設(shè)資金又恰與十二月份生產(chǎn)利潤相同,問全年總利潤W與全年總投入資金N的大小關(guān)系是解答：設(shè)第一個月的投入資金與一月份的利潤均為a,每月的增加投入百分率為r.那么每月的利潤組成數(shù)列,二的.?再412,用W獷),每月投入資金組

9、成數(shù)列瓦二次(1+r)*12小巨獷),如圖,由兩函數(shù)圖象特點可知,有戛1=%31士=%可見町也.%4,MJ也1,故WN2x21 .(2021北京)函數(shù)f(x)x,X假設(shè)關(guān)于x的萬程(X1)3,x2f(x)k有兩個不同的實根,那么實數(shù)k的取值范圍是.2 .(2021廣東)等差數(shù)列an前9項的和等于前4項的和.假設(shè)a1=1,ak+a4=0,那么k=.3 .(2021福建)假設(shè)曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,那么實數(shù)a的取值范圍是.4 .(2021天津)設(shè)函數(shù)f(x)=x,對任意xG1,+),f(mx)+mf(x)0)aG(一,0).4 .(8,1)解析：由于對任意xG1,+oo)

10、,f(mx)+mf(x)=2mx0對任意xG1,+8)恒成立,即2m2x1-1m20,解得m21,即m0時,有2m2x21m20對任意xG1,+8)恒成立,m無解,綜上所述實數(shù)m的取值范圍是m0(1)假設(shè)m1,求證：函數(shù)f(x)是增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)的值域是0,2,試求m的取值范圍；如果函數(shù)f(x)的值域是0,入m2,試求實數(shù)入的最小值.解答：(1)證實：當m0,所以f(x)是增函數(shù),(2)解：令g(x)=x|x2-3|,x0,那么g(x)=當0WxW時,g(x)=33x2,由g(x)=0得x=1,所以g(x)在0,1上是增函數(shù),在1,上是減函數(shù).當x時,g(x)=3x230,所以g(x)

11、在,+)上是增函數(shù),所以xG0,時,g(x)max=g(1)=2,g(x)min=g(0)=g()=0,所以0m時,在xG0,時,f(x)0,2,在xG,m時,f(x)0,f(m),這時f(x)的值域是0,2的充要條件是f(m)2,即m33m02,(m2)(m+1)2w0,解得m02.綜上,m的取值范圍是1,2.(3)由(2)可知,0Vm2時,函數(shù)f(x)的最大值為f(m)=m33m,由題意知m3-3m=Xm2,即卜二m一,這是增函數(shù),二入G.綜上,當m=2時,實數(shù)入取最小值為.變式練習(xí)函數(shù)g(x)=xlnx,設(shè)0vavb,求證：0Vg(a)+g(b)2ga時,F(x)0,因此F(x)在(a,

12、+)上為增函數(shù).從而,當x=a時,F(x)有極小值F(a).由于F(a)=0,ba,所以F(b)0,即0Vg(a)+g(b)2g.再構(gòu)造函數(shù)G(x)=F(x)-(x-a)ln2,那么G(x)=lnxlnln2=lnxln(a+x).當x0時,G(x)v0.因此G(x)在(0,+oo)上為減函數(shù).由于G(a)=0,ba,所以G(b)v0,即g(a)+g(b)-2g2+2m,(4分)當且僅當2x02=時,|PQ|2取最小值,即|PQ取最小值.當m0時,2m+2m=2,.m=1(6分)當m0,假設(shè)m0,k1-,函數(shù)y=f(x)kx有兩個零點x=；(10分)假設(shè)m0,k0.紅N2解得4法二：只需滿足方

13、程x2(2k+1)x+k2-2=0有兩大于或等于k的不等實根,即:點評：在解數(shù)學(xué)題的過程中,尋找一個命題A的等價命題B往往是解題的關(guān)鍵,此題就是運用函數(shù)與方程的思想把一個看似函數(shù)性質(zhì)討論的問題轉(zhuǎn)化為方程解的討論問題.題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用【例4】.設(shè)abc,且a+b+c=0,拋物線V工+加工十二被x軸截得的弦長為|,求證：1證實：二0取匚,且*+占+.=.二口./.從而旌43-4叱02故拋物線+2+二與x軸有兩個不同的交點,即方程春/+2歷T+e=0必有2ha工I+X.；-r工西=兩個不相等的實數(shù)根L由韋達定理得口以可見,是0的二次函數(shù).由值2白,二及七一匚=0,得s一白一心,解

14、得沔F在.卷上是減函數(shù),氣一:-3+35；ABC的兩個(2)對任意實數(shù)%恒有f(2+cosa)q0證實m3;(3)在(2)的條件下,假設(shè)函數(shù)f(sin的最大值是8,求m.(1)證實：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依題意:A=強+1丫-4(加十4)utarL0tan-tan二加+40又A、B銳角為三角形內(nèi)兩內(nèi)角,：不2vA+BvTT._tan刁+tan3僧+1C1皿4+的=0稗十42U絲30褥+3(2)證實：f(x)=(x1)(xm),又一14cosa盧112+cosocq3恒有f(2+cosa)W0即1x附,恒有f(x)HP(x1)(xm)X但xmax=3,：nXmax=3.

15、(MO解：f(sina)=sin1-爐1I7Fa(m+1)sin七m=熠十1門)H-wz-做十DT修+1且2當sin,1時,fsin君最大值8.即1+(m+1)+m=8,：m=3題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用【例6】.直線憎了=M+和雙曲線工一了=1的左支交于A、B兩點,直線l過點P2,0和線段AB的中點M,求l在y軸上的截距b的取值范圍.衛(wèi)二止x十L3工MT22解：由犬7=1,消去y,得上-1+川x+2=0,*由于直線m與雙曲線的左支有兩個交點,所以方程邛有兩個不相等的負實數(shù)根.所以2k-21-90解得一：,.：設(shè)：11-PI.切b二三點共線,得出f(k)=2爐+片+2=2佰一J14設(shè)178,那么,在.戶上為減函數(shù),/詆寸出,且,叫T歷5無“口,或口HJ題型五函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用例71.如圖,FNJ面jBe,jW_L于D,BC=CD=AD=1令尸0=汗,/EFC二日,試把tan日表示為x的函數(shù),并求其最大值；2在直線PA上是