專題14多元函數(shù)極值與最值2020考研快樂人獲取

1、專題 14：多元函數(shù)的極值與最值（一）無條件極值定義 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意的點(diǎn) P(x, y) 均有f (x, y) £ f (x0 , y0 ) （或 f (x, y) ³ f (x0 , y0 ) ），則稱(x0 , y0 ) 為 f (x, y) 的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）；稱 f (x0 , y0 ) 為 f (x, y) 的極大值（或極小值）。極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)；極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。定理 1（極值的必要條件） 設(shè) z = f (x, y) 在點(diǎn)(x0 , y0 ) 存在偏

2、導(dǎo)數(shù)，且(x0 , y0 )為 f (x, y) 的極值點(diǎn)，則fx¢(x0 , y0 ) = 0,f y¢(x0 , y0 ) = 0.定理 2(極值的充分條件） 設(shè) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0 , y0 ) 的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 fx¢(x0 , y0 ) ， f y¢(x0 , y0 ) = 0 。記A = fx¢¢x (x0 , y0 ),B = fx¢¢y (x0 , y0 ),C = f y¢¢y (x0 , y0 ),則有下述結(jié)論：（1）若 AC - B2

3、 > 0 ，則(x , y ) 為 f (x, y) 的極值點(diǎn).00 A < 0 ，則(x0 , y0 ) 為 f (x, y) 的極大值點(diǎn); A > 0 ，則(x0 , y0 ) 為 f (x, y) 的極小值點(diǎn).（2）若 AC - B2 < 0 ，則(x , y ) 不為 f (x, y) 的的極值點(diǎn).00（3）若 AC - B2 = 0 ，則(x , y ) 可能為00極值點(diǎn)(此時(shí)，一般用定義判定).f (x, y) 的極值點(diǎn)，也可能不為 f (x, y) 的求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y) 極值的一般步驟為：（1）求出 f (x, y) 的

4、駐點(diǎn) P1,L, Pk 。（2）利用極值的充分條件判定駐點(diǎn) Pi 是否為極值點(diǎn)。【注】 二元函 數(shù) z = f (x, y) 在 偏導(dǎo)數(shù) 不 存在的 點(diǎn) 也可能 取 到極值 （ 如f (x, y) =x2 + y2 ），而這種點(diǎn)是否取得極值一般用極值定義判定.(二) 條件極值及拉格朗日乘數(shù)法求 z = f (x, y) 在條件j(x, y) = 0 下的條件極值的一般方法為：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù) F (x, y,l) = f (x, y) + lj (x, y)（2）將 F (x, y, l) 分別對 x ， y ， l 求偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造方程組ì fx¢(x, y) + l

5、j¢x (x, y) = 0,ï f ¢(x, y) + lj¢ (x, y) = 0,íyyïj( x, y) = 0,î解出 x, y 及l(fā) ，則其中(x, y) 就是函數(shù) f (x, y) 在條件j(x, y) = 0 下的可能的極值點(diǎn).以上方法可推廣到對于 n 元函數(shù)在 m 個(gè)約束條件下的極值問題，如求u = f (x, y, z) 在條件j(x, y, z) = 0 ，y (x, y, z) = 0 下的極值，可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F (x, y, z, l, m) = f + lj + my ,將 F 對 x, y,

6、 z, l, m 分別求偏導(dǎo)數(shù)，并構(gòu)造方程組(x, y, z) = 0,ì fï f ¢(x, y, z) + lj¢ (x, y, z) + my ¢ (x, y, z) = 0,ïyyyí fz¢(x, y, z) + lj¢z (x, y, z) + my ¢z (x, y, z) = 0,ïj(x, y, z) = 0,ïïîy (x, y, z) = 0,解出 x, y, z, l 及 ，則其中(x, y, z) 就是可能的極值點(diǎn)。對于實(shí)際問題，

7、如果駐點(diǎn)唯一，且由實(shí)際意義知問題存在最大（?。┲担瑒t該駐點(diǎn)即為最大（?。┲迭c(diǎn)。如果存在多個(gè)駐點(diǎn) 且由實(shí)際意義知道問題既存在最大值也存在最小值，只需比較各駐點(diǎn)處的函數(shù)值，最大的則為最大值，最小的則為最小值。（三）最大最小值f (x, y) 在有界閉域 D 上的最大最小值1）求連續(xù)函數(shù).f (x, y) 在 D 內(nèi)部可能的極值點(diǎn).（1)求求 f (x, y) 在 D 的邊界上的最大最小值.（2)（3)比較2）應(yīng)用題1. 極值問題【例 1】二元函數(shù) z = xy(3 - x - y) 的極值點(diǎn)是（ ）（A） (0,0),（B） (0,3),（C） (3,0),（D） (1,1).ìzx=

8、y(3 - 2x - y) = 0= x(3 - 2 y - x) = 0【解】 ízîy(0,0), (0,3), (3,0), (1,1). 都滿足上式.= -2 y, zyy = -2x, zxy = 3 - 2x - 2 y.zxxAC - B2 = -9 < 0, 無極值;在(0,0) 點(diǎn)AC - B2 = -9 < 0, 無極值;在(0,3) 點(diǎn)AC - B2 = -9 < 0, 無極值;在(3,0) 點(diǎn)AC - B2 = 3 > 0, 有極值.在(1,1) 點(diǎn)故應(yīng)選(D).【例 2】設(shè)函數(shù) f (x) ， g(x) 均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿

9、足 f (0) > 0 ， g(0) < 0 ，且 f ¢(0)= g¢(0) = 0 ，則函數(shù) z = f (x)g( y) 在點(diǎn)(0,0) 處取得極小值的一個(gè)充分條件是（ ）.（A） f ¢(0) < 0, g ¢(0) > 0（B） f ¢ (0) < 0, g¢ (0) < 0（C） f ¢(0) > 0, g ¢(0) > 0（D） f ¢ (0) > 0, g¢(0) < 0¶z¶x¶z，

10、82;y= f (x)g¢( y) ， ¶ z =¢2f (x)g( y) ，¢= f (x)g( y)【解】¶x2¶2 z¶2 z¢¢¢= f (x)g ( y) ，= f (x)g ( y) .¶x¶y¶2y在(0,0) 處，AC - B2 = f ¢ (0)g(0) × f (0)g¢ (0) - f ¢(0)g¢(0)2= f ¢ (0)g¢ (0) f (0)g(0).由于 f (0)

11、> 0 ， g(0) < 0 ，若 f ¢ (0) < 0 ， g¢ (0) > 0 ，則 f ¢ (0)g¢ (0) f (0)g(0) > 0 ，且 A = f ¢ (0)g(0) > 0 .故 z = f (x)g( y) 在點(diǎn)(0,0) 處取得極小值.故選（A）.【例 3】 已知函數(shù) z = f (x, y) 的全微分 dz = (ay - x2 )dx + (ax - y2 )dy, (a > 0) ，則函數(shù)f (x, y)(B)點(diǎn)(a, a) 為極小值點(diǎn)；(A)無極值點(diǎn)；(C)點(diǎn)(a, a)

12、 為極大值點(diǎn)；(D)是否有極值點(diǎn)與a 的取值有關(guān)。¶z¶z【解】由 dz = (ay - x )dx + (ax - y )dy 知， ¶x = ay - x , ¶y = ax - y2222ìay - x2 = 0得 x = y = a, 或 x = y = 0.íî令ax - y = 02¶ 2 z = -¶2 z¶2 z2x, ¶y2 = -2 y, ¶x¶y = a.¶x2在點(diǎn)(a, a) 處AC - B2 = 3a2 > 0, A = -

13、2a < 0則點(diǎn)(a, a) 為極大值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0) 處AC - B2 = -a2 < 0,則點(diǎn)(0,0) 不是極值點(diǎn).f (x, y) - (x2 + y2 )= a ,則【例 4】已知函數(shù) f (x, y) 在(0,0) 點(diǎn)某鄰域內(nèi)連續(xù),且limx®0 y®0x2 + y2(A) 點(diǎn)(0,0) 不是 f (x, y) 的極值點(diǎn)(B) 點(diǎn)(0,0) 是 f (x, y) 的極大點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0,0) 是 f (x, y) 的極小值點(diǎn)(D) 根據(jù)所給條件無法點(diǎn)(0,0) 是否為 f (x, y) 的極值點(diǎn).f (x, y) - (x2 + y2 )= a

14、可知，【解】由limx®0 y®0x2 + y2f (x, y) - (x2 + y2 ) =+ aa(x, y) ， f (0,0) = 0,x2 + y2其中l(wèi)ima (x, y) = 0,x®0 y®0則f (x, y) = a x2 + y2 + a (x, y) x2 + y2 + (x2 + y2 )令 x2 + y2 = r, 則f (x, y) = ar + o (r ) + r 21）當(dāng)a > 0 時(shí)， f (x, y) 在(0,0) 點(diǎn)取極小值；2）當(dāng)a < 0 時(shí)， f (x, y) 在(0,0) 點(diǎn)取極大值；3）當(dāng)a

15、= 0 時(shí)， f (x, y) 在(0,0) 點(diǎn)不一定有極值，例如f (x, y) = (2x + y) x2 + y2 + (x2 + y2 )f (0,0) = 0, f (x,0) = 22當(dāng) x > 0 時(shí)， f (x,0) > 0; 當(dāng) x < 0 時(shí)， f (x,0) < 0; 則點(diǎn)(0,0) 不是 f (x, y) 的極值點(diǎn).故應(yīng)選（D）.f (x, y) 與j(x, y) 均為可微函數(shù)，且j¢y (x, y) ¹ 0. 已知(x0 , y0 ) 是f (x, y) 在約束【例 5】設(shè)條件j(x, y) = 0 下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)

16、正確的是（ ）.（A）若 fx¢(x0 , y0 ) = 0 ，則 f y¢(x0 , y0 ) = 0（）若 fx¢(x0 , y0 ) ¹ 0 ，則 f y¢(x0 , y0 ) = 0（B）若 fx¢(x0 , y0 ) = 0 ，則 f y¢(x0 , y0 ) ¹ 0（）若 fx¢(x0 , y0 ) ¹ 0 ，則 f y¢(x0 , y0 ) ¹ 0【解】構(gòu)造拉格朗日函數(shù) F (x, y,l) = f (x, y) + lj (x, y) ，令 Fx¢(

17、x, y, l) = Fy¢(x, y, l) = 0 得fx¢(x0 , y0 ) + lj¢x (x0 , y0 ) = 0,f y¢(x0 , y0 ) + lj¢y (x0 , y0 ) = 0.（1）（2）fx¢(x0 , y0 ) ¹ 0 ，由（1）式知l ¹ 0, 又j¢y (x, y) ¹ 0, 此時(shí)由（2）式可知 f y¢(x0 , y0 ) ¹ 0 .若故應(yīng)選（D）.【例 6】求二元函數(shù) f (x, y) = x2 (2 + y2 ) + y ln y 的

18、極值.【解】f ¢(x, y) = 2x(2 + y2 ) ， f ¢(x, y) = 2x2 y + ln y + 1.xyì fx¢(x, y) = 0,æ1 ö解得唯一駐點(diǎn) 0,. 由于ç÷íî令¢f (x, y) = 0,èøeyæ1 ö= 2æ 2 +1 ö,¢A = f0,= 2(2 +2xx ç÷y )ç2 ÷æ 1 öèe 

19、8;èeøç 0, ÷eèøæ1 öB =f0,= 4xy¢= 0,xy çe ÷æ 1 öèøç 0, ÷è e øæ1 ö¢ æ1 öC =f0,= ç 2x +÷y= e,ç÷2yyèøeèøæ 1 öç e ÷0,è

20、48;所以 AC - B = 2 e 2 + 1 ö ¹ 0 ，且 A > 0. 從而 f 0,是 f (x, y) 的極小值，極小值為ææ1 ö2ç÷çe ÷2èeøèøf æ 0, 1 ö = - 1 .çe ÷èøe【例 7】已知函數(shù) f (x, y) 滿足f ¢ = 2( y +1)ex , f ¢(x,0) = (x +1)ex , f (0, y) = y2 + 2 y

21、,xyx求 f (x, y) 的極值.【解】由 f ¢ = 2( y + 1)ex , 得 f ¢ = ( y +1) e + j(x).2 xxyx因?yàn)?f ¢(x,0) = (x +1)e , 所以ex + j (x) = (x +1)ex.x得j(, 從而 f ¢ = ( y +1)2 ex + xex.x得f (x, y) = ( y +1)2 ex + (x -1)ex +y ( y).對 x因?yàn)?f (0, y) = y2 + 2 y, 所以y ( y) = 0, 從而f (x, y) = (x + y2 + 2 y)ex于是 f ¢

22、; = (2 y + 2)ex , f ¢ = (x + y2 + 2 y + 2)ex , f ¢ = 2ex.yxxyy令 fx¢ = 0, f y¢ = 0, 得駐點(diǎn)(0,-1), 所以A = fx¢¢x (0,-1) = 1, B = fx¢¢y (0,-1) = 0,C = f y¢¢y (0,-1) = 2.由于 AC - B2 > 0, A > 0, 所以極小值為 f (0,-1) = -1.2. 最大最小值【例 1】設(shè)函數(shù)u(x, y) 在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，在

23、D 的內(nèi)部具有 2 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足¶2u¶2u¶2u¹ 0 及 ¶x2+ ¶y2= 0, 則¶x¶y（A） u(x, y) 的最大值和最小值都在 D 的邊界上取得（B） u(x, y) 的最大值和最小值都在 D 的內(nèi)部取得（C） u(x, y) 的最大值在 D 的內(nèi)部取得,最小值都在 D 的邊界上取得（D） u(x, y) 的最小值在 D 的內(nèi)部取得,最大值都在 D 的邊界上取得¶2u¶x2¶2u¶2u= A, ¶y2 = C, ¶x¶y

24、= B【解】¶2u¶2u¶2u由題設(shè)¹ 0,¶x¶y¶x2 + ¶y2= 0, 可知, B ¹ 0, A + C = 0, 則AC - B2 < 0故函數(shù)u(x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)無極值點(diǎn),因此, u(x, y) 的最大值和最小值都在 D 的邊界上取得.故應(yīng)選（A）.【例 2】已知函數(shù) z =f (x, y) 的全微分d z = 2x d x - 2 y d y ，并且 f (1,1) = 2. 求 f (x, y) 在ìüy2橢圓域 D = í(x, y) x+

25、£ 1ý 上的最大值和最小值.24îþ【解 1】 由d z = 2x d x - 2 y d y 可知z = f (x, y) = x2 - y2 + C.再由 f (1,1) = 2 ，得C = 2 ，故z = f (x, y) = x2 - y2 + 2.¶f令¶x¶f= 2x = 0, ¶y = -2 y = 0, 解得駐點(diǎn)(0,0) .y2在橢圓 x += 1上， z = x - (4 - 4x ) + 2 ，即2224z = 5x2 - 2(-1 £ x £ 1),其最大值為 z= 3

26、 ，最小值為 z= -2. 再與 f (0,0) = 2 比較，可知 f (x, y) 在橢圓域 Dx =±1x =0上的最大值為 3，最小值為- 2 .y2【解 2】 同解法一，得駐點(diǎn)(0,0) .用拉格朗日乘數(shù)法求此函數(shù)在橢圓 x += 1上的極值.24æöy2設(shè) L = x - y + 2 + lç x +- 1÷ ，令2224èøìïLx¢ = 2x + 2lx = 0,ïlL¢ = -2 y +y = 0,íy2ïy2ïLl¢

27、 = x2 +- 1 = 0,ïî4解得 4 個(gè)可能的極值點(diǎn)(0,2),(0,-2),(1,0) 和(-1,0) .又 f (0,2) = -2, f (0,-2) = -2, f (1,0) = 3, f (-1,0) = 3 ，再與 f (0,0) = 2 比較，得 f (x, y) 在 D 上的最大值為 3，最小值為- 2 .y2【解 3】 同解法一，得駐點(diǎn)(0,0) .橢圓 x += 1 的參數(shù)方程為 x = cost, y = 2sin t.24z = f (x, y) = x2 - y2 + 2 = cos2 t - 4sin2 t + 2則= 3 - 5sin

28、2 t= 3, fmin = -2故 fmax【例 3】 設(shè)函數(shù) z = z(x, y) 的微分 dz = (2x +12 y)dx + (12x + 4 y)dy ，且 z(0,0) = 0 ，求函數(shù) z = z(x, y) 在4x2 + y2 £ 25 上的最大值?！窘狻?由dz = (2x + 12 y)dx + (12x + 4 y)dy 知， z = x2 + 12xy + 2 y2ìzx = 2x + 12 y = 0令íz= 12x + 4 y = 0îy駐點(diǎn)： (0,0), z(0,0) = 0F ( x, y, l ) = x 2 +

29、12xy + 2 y 2 + l(4x 2 + y 2 - 25)ìFx = 2x + 12 y + 8lx = 0(1)(2)ïíFy = 12x + 4 y + 2ly = 0ïF= 4x2 + y2 - 25 = 0î l由（1）和（2）式知：ì(1 + 4l )x + 6 y = 0í且有非零解.î6x + (2 + l ) y = 01 + 4l62 + l174= 0, 解得 l1 = 2, l2 = -則6l1 = 2 時(shí)，駐點(diǎn) P1 (2,-3), P2 (-2,3), z = -50.173342

30、5l2 = -時(shí)，駐點(diǎn) P3 ( 2 ,4), P4 (- 2 ,-4), z =.444254=zmax比較得【例 4】求函數(shù)u = x2 + y2 + z2 在約束條件 z = x2 + y2 和 x + y + z = 4 下的最大值與最小值.【解】 作拉格朗日函數(shù)F (x, y, z, l, m) = x2 + y2 + z2 + l(x2 + y2 - z) + m(x + y + z - 4).ìFx¢ = 2x + 2lx + m = 0,ïF¢ = 2 y + 2ly + m = 0,ïyíFz¢ = 2z

31、- l + m = 0,ïFl¢ = x2 + y2 - z = 0,令ïF¢ = x + y + z4 = 0,ïîm解方程組，得 (x1, y1, z1 ) = (1,1,2), ， (x2 , y2 , z2 ) = (-2,-2,8).故所求的最大值為 72，最小值為 6.【例 5】求曲線 x3 - xy + y3 = 1 (x ³ 0, y ³ 0) 上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離與最短距離.【解】 d (x, y) =x2 + y2L(x, y, l ) = x2 + y2 + l(x3 - xy + y3

32、 -1)¶¶- y)l = 02令¶L = 2 y + (3y2 - x)l = 0¶y¶L¶l = x - xy + y -1 = 033x3x2 - y當(dāng) x > 0, y > 0 時(shí),由,得=, 即3xy( y - x) = (x + y)(x - y) ,y3y2 - x得 y = x 或3xy = -(x + y) (由于 x > 0, y > 0 ,舍去).將 y = x 代入得2x3 - x2 -1 = 0, 即(2-1) = 0 .所以, (1,1) 是唯一可能的極值點(diǎn)，此時(shí) x2 + y2 =

33、2 ；當(dāng) x = 0, y = 1 或 x = 1, y = 0 時(shí)， x2 + y2 = 1，故所求最長距離為 2 ，最短距離為1.【例 6】將長為2m 的鐵絲分成三段，以次圍成圓、正方形與正三角形.三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.【解】設(shè)圓的半徑為 x, 正方形與正三角形的邊長分別為 y 和 z, 則圍成圓、正方形與正三角形三個(gè)圖形的面積之和為3 z24S (x, y, z) = px2 + y2 +2px + 4 y + 3z = 2(x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0)且L(x, y, z, l) = px2 + y2 +3 z2

34、 + l(2px + 4 y + 3z - 2)令4¶L = 2px + 2pl = 0,ìïï¶x¶L¶yï= 2 y + 4l = 0,ïíï¶L3 =z + 3l = 0,ï¶z2ï¶L = 2px + 4 y + 3z - 2 = 0,ïî¶l122 3x0 = p + 4 + 3y0 = p + 4 + 3 3 , z0 = p + 4 + 3,3,3解得1且S (x0 , y0 , z0 ) =

35、 p + 4 + 3 3 .所以，三個(gè)圖形的面積之和存在最小值，最小值為1S (x , y , z ) =.000p + 4 + 3 3x pyq11【例 7】已知 p > 1, q > 1,+= 1, x, y > 0. 求證： xy £+.pqpqx pyq【證】只要證明函數(shù) xy 在條件+= k (k > 0) 下的最大值不超過 k .pqx pyq令 L(x, y) = xy + l (+- k )pqìïïíL = y + lxp-1 = 0xL = x + lyq-1 = 0則yïx pyq=+-

36、k = 0ïLlpqî11p由此解得 x = k , y = k q ，這是唯一的駐點(diǎn)，為最大值點(diǎn)，則 111 + 1x pyqxy £ k p × k q = k p= k =+qpq思考題：1.已知函數(shù) z = z(x, y) 由方程(x2 + y2 )z + ln z + 2(x + y +1) = 0 確定，求 z = z(x, y) 的極值.2.在橢圓3x2 + 2xy + 3y2 = 1的第一象限部分上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積最小，并求面積的最小值。與提示：1.【解】等式(x2 + y2 )z + ln z + 2(x + y +1) = 0 兩端分別對 x 和 y 求偏導(dǎo)數(shù)，得ì2xz + (x2 + y2 ) ¶z + 1 ¶z + 2 = 0,ï¶xz ¶x1 ¶zí