線性代數(shù)(同濟六版)知識點總結(jié)

1、1.二階行列式對角線法則:all a12a21 a22=alla22 a12a21aaXI uaa2. 三階行列式 對角線法則 按行（列展開法則3. 全排列：n個不同的元素排成一列所有排列的種數(shù)用P”表示，Pn =n!逆序數(shù)：對于排列P】P2P“，如果排在元素乩前面，且比乩大的元素個數(shù)有©個，則Pi這個元素的逆序數(shù)為 整個排列的逆序數(shù)就是所有元素的逆序數(shù)之和。奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的推列。n個元素的所有推列中，奇偶各占一半.即號4.對換:一個排列中的任意兩個元素對換.排列改變奇偶性a31aa13!aa3>3>a3»a33=s(-iy（H）

2、aiJka2a>4其中：JijzJs是123的一個排列，t（/J力3）是排列jJliz的逆序數(shù)5.下三角行列式:副三角跟副對角相識&22=aiia22* £an2nn對角行列式:副對角行列式:n(n-l)(-1) 2入兒6.行列式的性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.AnD= Dt推論：兩行（列）相同的行列式值為零?；Q兩行：口" Vj 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式。第i行乘k：門xk 推論:行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于0 若行列式的某一列（行）的

3、元素都是兩個元素和，則此行列式等于兩個行列式之和.如：（轉(zhuǎn)置:互換行列式的兩行（列），行列式變號.行變列.列變行。ai2(b“ + c“)amaHai2blJainalla!2C1Jauft21S22(b2J + c2j)a2na21a22b2Ja2n+a21a22C2Ja2nanlan2(Ss + cJ acnanlan2bnjannanlan2Cnjann把行列式的某行（列）的各元素同一倍數(shù)后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變?nèi)鏰llaii+ kaijauBlnall aHaijSlnft21a2i+ kaft2ja2n=a a21a2ift2ja2nanlani+ k%anj

4、 annanlanianj Ann第j列的k倍加到第i列上：Ci + kCj7. 重要性質(zhì)：利用行列式的性質(zhì)r, + krf或5 + kCj ,可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計算n階行列式的值。（P11頁例7）8. 行列式按行（列）展開法則（*"重要左”） 重要概念：余子式：在n階行列式中，把元素駒所在的第/行和第j列劃去，剩下的（n-1 2個元素按原來的排法構(gòu) 成的n-1階行列式叫做如的余子式，記為代數(shù)余子式：記如=（7）叼M”為元素夠的代數(shù)余子式 重要性質(zhì)，定理1）第i行各元素的余子式，代數(shù)余子式與第i行元素的取值無關(guān)。2）行列式按行（列）展開法則：行列式等于它的任意一

5、行（列的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即 * D = ailAil + a2A2 +ainAin 或 D = aijAlj + Q2jA2j +推論：行列式某一行（列的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即BiAjl + 52 +aiAn = 0° 工 j或aiAj + a2iA2J +aniAnj = 0i 工 j使用該法則計算行列式的值：先選取存在最多0的行（列），從該行選取一個非0元素夠，并將該行其他元素 通過性質(zhì)化為0,則D = a0 AtJ9. 利用Cramer法則求解n個n元線性方程組：非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零.則方程組有唯一解。等于

6、0,則無解是把系數(shù)行列式中的第j列的元素用方程組右邊的常數(shù)項代替后所得到的的n階行列式11221° 2-15m嘰T即：5 =°lnj =丄丿乙丿n.對于齊次線性方程組，如果系數(shù)行列式D H 0,則該方程組只有寒解，若D = 0,則存在非零解。第二章1.矩陣相關(guān)的概念：矩陣：由mXn個數(shù)atJ （i=l,2,m;j=l,2,n）排成的zn行“列的數(shù)表（是一組數(shù)）。行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量。同型矩陣：行數(shù)，列數(shù)均相等的兩個矩陣A=B :矩陣A和矩陣B為同型矩陣，且對應的元素相等.寒矩陣：所有元素為0的矩陣，記為0,不同型的零矩陣是不相等的。對角矩陣

7、：對角線元素為人，人，人，其余元素為0的方陣單位矩陣：對角線元素為1 ,其余元素為0的方陣,A =a2= ding(4,兄，人)E =rl、1、 1丿2. 矩陣的運算1）加法：只有兩個矩陣為同型矩陣時，才能進行加法運算。A+B等于對應元素相加起來。滿足交換律和結(jié)合律2）數(shù)與矩陣相乘如、加AA = AA =21 Zn "1如加町(兄/z)4 =兄(/4) . (/i + /)A = AA + /IA久(A + B) = /U + /iB3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；£族$ X Bsxn乘積矩陣的行數(shù)為前一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)為后一個矩陣的列數(shù)；C

8、mxnC,嚴松+“+ +叭=號松即：乘積矩陣的第i行，第j列元素為前一個矩陣的第i行元素與后一個矩陣的第j行元素對應相乘再相加. 注意：一般情況下：AB H BA.但是滿足結(jié)合律和分配律.EA = AE = A4）矩陣的幕：若&是“階方陣，則：k t力2=必 力3=必2Ak = AAk-i 顯然：AA=A9（A）=A（AB）k =AkBk"（A + B）2 = A2 + 2AB + Bz a、b可交換時才成立（A + B）（A-B）=A2-B23矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，記作屮.ttJK： (1) (Ar)r = A;14)A1 = 25 ;<

9、2 8>(2) (A+B)r = Ar + Br;(4)(abY = btat.設(shè)A為n階方陣，如果滿足A= At,即gj =嚀，則A為對稱陣如果滿足A= -"，即“ =,則A為反對稱陣4.方陣的行列式：由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣人的行列式，記作|人|或detA性質(zhì)：®MT|=|A|,AA=AnAt AB=AB.伴隨矩陣：其中則是呵的代數(shù)余子式，/T稱為A的伴隨矩陣。（特別注意符號）九Anl注意：元素©j的代數(shù)余子式是位于 "的第j行第i列（類似于轉(zhuǎn)置）性質(zhì)：AX = 4*71 = AEA叫如果有n階方陣B.使得AB = BA = E

10、,則稱A可逆,6.逆矩陣：對于門階方陣A,B為A的逆矩陣，記為力"且A的逆矩陣是唯一的.判斷方陣A是否可逆：H 0 o A可逆，且逆矩陣侖川推論：若|4|豐0,則|/r丄|=命.此時稱A為非奇異矩陣若=0,則稱A為奇異矩陣. 二階矩陣的逆矩陣：主對角線兩數(shù)對調(diào)，副對角線兩數(shù)反號A=（：） > 力"=召（2一：）單位矩陣E是可逆的E= E-1零矩陣是不可逆的。"一 C對角矩陣的逆矩陣：對角線上每個元素取倒數(shù).推論：如果n階方陣久B可逆，那么4"、At . AA （入工0）. AB也可逆且，（A"）" = A, （"尸=（

11、獷丁， |4-1|=“（AA）-1 = -A-（AB）'1 = BAl 用逆矩陣求解線性方程組：已知AXB = C,若AB可逆，則X = ACB-1 （A在X左邊，貝必一】必須在C左邊，B也如此）7矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣. 分塊矩陣的運算：（其運算與矩陣運算基本一致）1）加法，要求矩陣A和B是同型矩陣，且采用相同的分塊法（即相對應的兩個子塊也是同型的）2）分塊矩陣A的轉(zhuǎn)置力G除了 A整體上需轉(zhuǎn)置外，每一個子塊也必須得轉(zhuǎn)置。8.分塊對角矩陣：設(shè)人是“階矩陣，

12、若：A A的分塊矩陣只有在對角線上有非寥子塊，A=“ . 其余子塊都為零矩陣 對角線上的子塊都是方陣IAJ則稱A為分塊對角矩陣。/A_!性質(zhì)：1若|兒|卻，則|人|卻，并且屮二 兒分塊副對角矩陣：（7 J）"從0的充分必要條件：ata第三章1初等行變換：（運算符號：注意與行列式的運算加以區(qū)分互換兩行，記做心一 Vj第i行乘以非0常數(shù)k,記做幾x k第j行的k倍加到第i行上，記做幾+ 口 2若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換成矩陣B,則稱A與B等價，記做力5mxn-mxn的充耍條件是存在加階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q ,使PAQ = B3矩陣之間等價關(guān)系的性質(zhì)：反身性：AA 對稱性：若則BA遞

13、性：若BC,則力C4. 行階梯形矩陣：1）可畫出一條階梯線，線的下方全為零；2）每個臺階只有一行；3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.行最簡形矩陣：4）非零行的首非零元為1；5）首非零元所在的列的其它元素都為寒.5. 初等矩陣：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。（是可逆的）1）單位矩陣對換i, j行，記作Em（ij）Fm（lJ）2）以常數(shù) 心0乘單位矩陣第i行（列），記作為（愀）Em（i（町尸=Em（i（j）3以k乘單位矩陣第j行加到第i行，記作為（iJ?。┐a衛(wèi)丿（財尸=Em（ij（-）性質(zhì)1：左行右列設(shè)人是一個mXn矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階

14、初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在&的右邊乘以相應的n階初等矩陣.性質(zhì)2：方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P" Pa ,Plt使Z P】P2,P, 推論：方陣A可逆的充要條件是AE如果,則存在可逆矩陣P,使PA = B. o (A,E)(B,P)：即當A變換成B是時，E變?yōu)镻 (求P)求方陣A的逆矩陣方法總結(jié):方法1：判斷A可不可逆：若|4|工0 o A可逆 一書中P41頁力"=:注意伴隨矩陣里每個代數(shù)余子式對應的符號方法2：本身蘊含了判斷A可不可逆的條件，即力J E u A可逆 一書中P64頁例2 (A,E)£(E"7)：即對矩

15、陣(A,E)進行初等行變換，當A變成E時，E就變成了所求的A'無解 <=> R v/?(4b)求獷：該方法用來求方程組AX = B 0 X = AB 一若XA = B,可先化為AtXt = BT 方法：(AB)龍:即對矩陣(AB)進行初等行變換，當A變成E時，B就變成了所求的AB二、矩陣的秩階子式：在mXn矩陣A中，任取k行k列(k<mf k<n)f位于這些行列交叉處的k有解 o R(4)=RSb”個元素，不改變它 們在人中所處的位置次序而得的k階行列式,稱為矩陣&的k階子式.mXn矩陣A的k階子式共有瞪疣個2. 矩陣的秩：設(shè)矩陣A中有一個不等于零的r階

16、子式D.且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，那么 D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作R(A).零矩陣的秩等于0常用：1)對于n階方陣A, R(A) = n (稱A滿秩)o A HO oA可逆求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣2) 若則 R(A) = R(B)3) 對于行階梯形矩陣，它的秩等于2存行的行數(shù)J4) R(At) = R5) 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R(A) (VA-B o PAQ = B)即：可逆矩陣與任何矩陣A相乘，都不會改變所乘矩陣A的秩6) max R(A), R(B) < R(A, B) < R(A) + R(B)當B =

17、 b為非零列向量時，R(A) < R(A, B) < R(A) + 17) R(A*B) S R(A) + R(B)線性方程組的解n元非齊次線性方程組Ax = b一 P75頁例13P79頁17題 有唯一解 o R(A) = R(A.b) = n有無限解o R(A) = R(A.b) < nn元齊次線性方程組Ax= b有非零解op)vm第四章一、向量組及線性組合1. n維向量：“個有次序的數(shù)心，心，,給所組成的數(shù)組。這n個數(shù)稱為該向量的個分量, 第i個數(shù)山稱為第i個分量.2. 向量組：若干個同維數(shù)的列向量(行向量)所組成的集合3給定向量組At如,如，如，對于任何一組實數(shù)kukz

18、,.tkm ,表達式畑i + S+ +虬如稱為向量組&的一個線性組合.kykm稱為這個線性組合的系數(shù).3. 給定向量組Ari,血,和向童b,如果存在一組實數(shù),使得 b = /i<ii + /jfl： + . + lm am則向量b是向量組4的線性組合，這時稱向童b能由向量組人的線性表示.向量b能由向量組A的線性表示o R(A) = R(A, b) Q方程組+ xaz + .+x,am = b有解4. 設(shè)有向量組A：如,心,，如及B： b、,若向量組B中的每個向量都能由向量組&線性表示， 則稱向量組B能由向量組&線性表示.若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩

19、個向量組等價. 兩個向童組等價o R(A) = R(B) = R(A, B)5. 向量組B能由向量組A線性表示 o存在矩陣K,使B = AK o矩陣方程AX=B有解oR(A) = R(A3) => R(B) < R(A)(這是必要條件)二、向量組的線性相關(guān)性1. 給定向量組At心，心，,陽,如果存在不全為零的實數(shù) 燈,億”，使得加i + ®?+(零向量)則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無關(guān)的.2. 只含一個向量Q的向量組A,當“ =0時，A線性相關(guān)$ a H 0時，A線性無關(guān)只含兩個向量5心的向量組A,線性相關(guān)o如,血的分量對應成比例.向盤組樂如，心，如(咗2)線

20、性相關(guān)=> 向量組A中至少存在一個向量能由其余ml個向量線性表示.3. 向量組&線性相關(guān)o m元齊次線性方程組Ax = 0有非零解0/?(4)<加 向量組&線性無關(guān) o m元齊次線性方程組= 0只有零解o R(A) = m4n維單位坐標向量組E： ebe:,.,en ,是線性無關(guān)的，且是最大的線性無關(guān)組之一.維單位坐標向量組E： eb e2,.,en能由向量組&： "1, “2, ,"皿K(A)= 5.定理1) 若向量組A : alf altam線性相關(guān)，則向量組B : ab aitam,也線性相關(guān).其逆否命題也成立，即若向盤組B線性無關(guān)

21、，則向盤組A也線性無關(guān).2) m個“維向量組成的向量組，當維數(shù)n小于向量個數(shù)m時，一定線性相關(guān).特別地，門+ 1個“維向量一定線性相關(guān).3) 設(shè)向量組A : ay aD am線性無關(guān)，而向量組B : aD altam, b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1. 設(shè)有向:組人,如果在A中能選出r個向量6, %,"滿足 向量組人0 : 6, 02, Or線性無關(guān)； 向量組A中任意"1個向量(如果A中有個向量的話)都線性相關(guān)；那么稱向量組40是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組，簡稱最大無關(guān)組.最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組A的秩，記作町島

22、S向量組A中向量的個數(shù)只含苓向量的向量組沒有最大無關(guān)組，秩=0.2. 向量組A和它自己的最大無關(guān)組月。是等價的.推論：向量組久線性無關(guān)；向量組A中任意一個向量都能由向量組&。線性表示；那么稱向誼組力。是向亙組人的一個最大無關(guān)組.3全體n維向最構(gòu)成的向量組記作于，向童組E是川的一個最大無關(guān)組，且屮的秩等于n4. 矩陣的秩等于它的列(行)向量組的秩.5. 矩陣初尊變換后保持列向量組之間的線性關(guān)系。如：向量組力:alf a3, aA, aS9假設(shè)Aq： alf a2, a。是一個最大無關(guān)組，把巧，。5用a” a2,血線性表示：-1-1,10-10、4可以看出：11-21 k01-103 =B/>3