考研線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)全面總結(jié)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章、行列式1. 行列式的定義：用n2個(gè)元素aj組成的記號(hào)稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的 n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；（2）展開式共有n!項(xiàng)，其中符號(hào)正負(fù)各半；2 .行列式的計(jì)算一階| a |= 行列式，二、三階行列式有對(duì)角線法則；N階（n_3）行列式的計(jì)算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。方法：選取比較簡(jiǎn)單的一行（列），保保留一個(gè)非零元素，其余元素化為0,利用定理展開降階特殊情況：上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；行列式值為0的幾種情況：I 行列式某行（列）元素全為0；II

2、行列式某行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同；皿 行列式某行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例；IV 奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式。3概念：全排列、排列的逆序數(shù)、奇排列、偶排列、余子式Mj、代數(shù)余子式Aj =（-1），Mj定理：一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，改變排列的奇偶性。奇排列變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為基數(shù)，偶排列為偶數(shù)。n階行列式也可定義：D - ( - 1) Sq, Iaq2 = aqnn , t 為 C|iq= Qn 的逆序數(shù)4行列式性質(zhì):1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號(hào)。若有兩行 （列）相等或成比例，則為行列式03、行列式某行（列）乘數(shù)k,等于k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提

3、到外面4、行列式某行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式之和。5、行列式某行（列）乘一個(gè)數(shù)加到另一行（列）上，行列式不變。6、 行列式等于他的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和。（按行、列展開法則）7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為0.5.克拉默法則：:若線性方程組的系數(shù)行列式D=0，則方程有且僅有唯一解D1D2Xl D，X2DDn:若線性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則系數(shù)行列式D=0.:若齊次線性方程組的系數(shù)行列式D = 0，則其沒有非零解:若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式 D=06.rn八rrin(n)rn1f7ab11

4、1 -1J JX1X2X3Xna b2222c d= (ad bc)n,X1X2X3XnJ-d+n 1n 1n 1n 1cdX1 -X2 -X3 -Xn_r -flnPage21 (例題型:13)| (Xj_Xj)，(兩式要會(huì)計(jì)算) 丄j范德蒙德行列第二章、矩陣1 .矩陣的基本概念(表示符號(hào)、一些特殊矩陣一一如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱矩陣等)；2 .矩陣的運(yùn)算(1) 加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；(2 )關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論： 矩陣乘法一般不滿足交換律(若 AB= BA,稱A、B是可交換矩陣)； 矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在； 若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；|kA|=

5、 kn*|A|。只有方陣才有幕運(yùn)算。(3)轉(zhuǎn)置：(kA) T=kAT, ABt=BtAt(4)方陣的行列式:A = A , |kA = kn A , |AB= AB(5)伴隨矩陣：AA*=A*A=|AE , A* =( A E)A, A*的行元素是A的列元素的代數(shù)余子式(6)共軛矩陣：A =(a0) , A+B=A+BkA = kA , AB=ABAnB11A1rB1rA：1 (7)矩陣分塊法：A B =As1Bs1AsrB srA3 .對(duì)稱陣：方陣at二a對(duì)稱陣特點(diǎn):元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。3 .矩陣的秩(1 )定義：非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩;(2)秩的求法：般不用定義求，而用下

6、面結(jié)論:矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)(每行的第一個(gè)非零元所在列，從此元 開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣)。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。(3) 0 R(Amn) min m, n;RAT=RA ;若 A B，則 R(A)二R(B);若 P、Q 可逆，則 R(PAQ)=R(A)maxR(A),R(B) R(A,B) R(A)+R(B);若 AB=C, R(C)I;逆的求解：O伴隨矩陣法A-1;初等變換法(A:I )-(施行初等變換)(I: A，)(5 )方陣A可逆的充要條件有：O1存在有限個(gè)初等矩陣P，P，使A=RP2PAE第三章、初等變換與線性方程組

7、1、初等變換：(A1 土J(E),(AJ二竺t(E)性質(zhì)：初等變換可逆。等價(jià)：若A經(jīng)初等變換成B,則A與E等價(jià)，記作AB，等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性。初等矩陣：由單位陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣。定理：對(duì)Am n施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)Am n施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘相應(yīng)的n階初等矩陣。等價(jià)的充要條件： R(A)=R(B)=R(A,B)m n的矩陣A、E等價(jià)二存在m階可逆矩陣P、n階可逆矩陣Q,使得PAQ二B。線性方程組解的判定定理：(1) r(A,b)工 r(A)無(wú)解；(2) r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=

8、r(A) n有無(wú)窮多組解；特別地：對(duì)齊次線性方程組 AX=0 , (1) r(A)=n只有零解；(2) r(A)n有非零解;再特別，若為方陣，(1)|A|工0只有零解；|A|=0有非零解2 .齊次線性方程組(1) 解的情況：r(A)=n二只有零解；r(A)n =有無(wú)窮多組非零解(2) 解的結(jié)構(gòu):X = Gd c2a25為#。(3)求解的方法和步驟: 將增廣矩陣通過(guò)行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；寫出對(duì)應(yīng)同解方程組;移項(xiàng)，利用自由未知數(shù)表示所有未知數(shù)；表示出基礎(chǔ)解系；寫出通解。(4) 性質(zhì)： 若x = i和x二2是向量方程A*x=O的解，則x= i2、x二ki也是該方程的解。 齊次線性方程組的解集的最

9、大無(wú)關(guān)組是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。 若R(Am n) = r，則n元齊次線性方程組A*x=0的解集S的秩R n 一 r。3 .非齊次線性方程組(1) 解的情況：有解二 R(A)二R(A,b)。唯一解二 R(A)=R(A,b)=n。無(wú)限解 R(A)=R(A,b) v n(2) 解的結(jié)構(gòu)：X=u+礙 qa2 Cnn。(3 )無(wú)窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。(4 )唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法(初等變換法)。(5)若X*、xr.都是方程Ax=b的解，則x：i- 2是對(duì)應(yīng)齊次方程Ax = O的解x仝是方程Ax =b的解，x = 是Ax = 0的解，則x =也是Ax

10、 = b的解。第四章、向量組的線性相關(guān)性1 . N維向量的定義(注：向量實(shí)際上就是特殊的矩陣行矩陣和列矩陣；默認(rèn)向量a為列向量)。2 .向量的運(yùn)算:(3)向量(1) 加減、數(shù)乘運(yùn)算(與矩陣運(yùn)算相同)；長(zhǎng)判=寸厲=Ja：+a； +a；(2) 向量?jī)?nèi)積 a B二a1b1+a2b2+(4)向量單位化 (1/| a |) a ;+anbn;3. 線性組合(1) 定義：若b仝佝任mam，則稱b是向量組d,a2 ,，an的一個(gè)線性組合，或稱b可以用向量組a ,a?,，an的線性表示。(2) 判別方法：將向量組合成矩陣，記A= (ai , a?,，a.) B=( ai , a2 ,，a. , B)貝S： r (A)=r (B)二b可以用向量組a , a?,，a.線性表示。 B=( bi, b2，bm)，貝心 B 能由 A線性表示二 R(A)二R(A,B) = AX二B 有解二 R(B) R(A).(3) 求線性表示表達(dá)式的方法：矩陣 B施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣，則最后一列元素就是表示的系數(shù)。注：求線性表示的系數(shù)既是求解 Ax=b4. 向量組的線性相關(guān)性(1)