概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案第五章

1、第五章大數(shù)定理和中心極限定理1.一據(jù)以往經(jīng)驗?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機(jī)的抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。解：設(shè)第i只壽命為Xi,(1MW16,故E(Xi)=100,D(Xi)=10012(l=1,2,16).依本章定理1知16P(<Xi<1920)二Pi-1116£Xi-1600i_0.J16M100.1920-1600,16100116zi_0Xi-1600400<0.8二P-：.：，(0.8)=0.78811616從而P(VXi.1920)=1-P(VXiM1920)=1-0.7

2、881=0.2119Ti1.3.三計算機(jī)在進(jìn)行加法時，對每個加數(shù)取整(取為最接近它的整數(shù))，設(shè)所有的取整誤差是相互獨立的，且它們都在(0.5,0.5)上服從均勻分布,(1)若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？(2)幾個數(shù)相加在一起使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90解：(1)設(shè)取整誤差為Xi。=1,2，1500),它們都在(0.5,0.5)上服從均勻分一0.5-0.5E(Xi)=p=2=°D(Xi)20.5-(-0.5)121121500門500P£Xi>15r15001_P1工Xi<15=1_P_15Xi<15i-1

3、511.181500“XiiJL<11.1815W>11.18J二1一：，(1.34)-：.：，(一1.34)=21-中(1.34)=21-0.9099=0.18028.某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8,醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。（1）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？（2）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7,問接受這一斷言的概率是多少?解：設(shè)X為100人中治愈的人數(shù)，則XB（n,p）其中n=100(1)P(X>75)=

4、1-P(X<75)=1-P<Xnp75npJnpq一75np=1-:：J(-),npq,5)=q，(-)=0.89444P(X>75)=1-P(X<75)=1-P<X-np,npq75-np=1-力(),2175np=75np<,1S=1(.-)npqnpq=1-中(1.09)=1-0.8621=0.1379.7.七一復(fù)雜的系統(tǒng),由100個互相獨立起作用的部件所組成。在整個運行期間每個部件損壞的概率為0.10。為了整個系統(tǒng)起作用至少必需有85個部件工作。求整個,-5=16（4p=0.7由中心極限定理知系統(tǒng)工作的概率。（2）一個復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個互相獨立起作用

5、的部件所組成，每個部件的可靠性（即部件工作的概率）為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。解：（1）設(shè)每個部件為Xi（i=1,2,100）1部件工作Xi=r,小h部件損壞不工作設(shè)X是100個相互獨立，服從（01）分布的隨機(jī)變量Xi之和X=X1+X2+X100由題設(shè)知n=100PXi=1)=p=0.9,PXi=0=0.1E(Xi)=p=0.9D(Xi)=p(1-p)=0.90<1=0.09n-E(X)=1000.9=90,nD(Xi)=1000<09=9X-nE(Xi)85-nE(Xi)=P-jD(X力，nD(Xi)&

6、quot;X-905”=1-P«3<-由中心極限te理知5t2：-1-1e虧dtE<2兀,5=1一(一一)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表3=4(1.67)=0.9525解：(2)設(shè)每個部件為Xi(i=1,2,n)1部件工作Xi=一一公o部件損壞不工作PXi=1=p=0.9,PXi=0=1-p=0.1E(X)=p=0.9,D(Xi)=0.93=0.09由問題知P工Xi>-80-nJ=0.95求n=?nPzXi_L80>100二P80n-np100nD(Xi)nD(Xi)IJ/n£Xi_0.9ni二0.3n80100>n0.9n03.n<nXXi-0.9n

7、_i-1=1_P1=-0.3.n80n-0.9n1000.3、n=1-：'?0.1n廣作0.950.3Jn)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得0.1二>1.6450.3.n解得n注4.35取n=25,即n至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為0.95.八隨機(jī)地取兩組學(xué)生，每組80人，分別在兩個實驗室里測量某種化合物的值，各人測量的結(jié)果是隨機(jī)變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學(xué)期望為PH5,方差為0.3,以X,Y分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均:(1)求P4.9<X<5.1(2)P-0.1<X-Y<0.1解：由中心極限定理知80、Xi-805i4N(0,1),800.3

8、80、Yj-805Vj,800.3N(0,1)(1)P4.9：X：:5.1=P4.980-805<800.380“Xi-805ia5.180-805:800.3.800.3"80£Xi-80M5：1.63=2(1.63)-1=20.9484-1=0.8968i_jP<_1.63<-80由Xi,Yj的相互獨立性知£iW80Xi與工Yj獨立。從而U,V獨立。j=1UVN(0,2)=U-V80“Xii衛(wèi)80Yjj=1P-0.1：:X-Y：:0.1=P-0.18080'、Xii180-、Yjjm,800.3.800.30.180.800.3=P-1.63:Z：1.63-：D163.一二2：.,(1.15)-12計科，隨機(jī)地取幾只這種器件,測得其壽命Xi,，Xn,以X=2X0.8749-1=0.7498九某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學(xué)期望心（未知），方差。Jn<t2,n，=400為了估在時刻t=0投入測試（設(shè)測試是相互獨立的）直到失敗,n1一£Xi作為心