微分中值定理的證明與應(yīng)用

1、微分中值定理的證明與應(yīng)用B09030124孫吉斌一中值定理及證明：1 .極值的概念和可微極值點(diǎn)的必要條件：定理(Fermat)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x。的某鄰域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)小可導(dǎo)，若點(diǎn)選為f的極值點(diǎn)，則必有f(x。)=。羅爾中值定理：若函數(shù)f滿足如下條件:(1) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii)f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(iii)f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)己，使得f*(O=。證明：因?yàn)閒在a,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)若M=m，則f在a,b上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立。(ii)若m<M,則因f(a)=f(b),使得最大值M

2、與最小值m至少有一個(gè)在(a,b)內(nèi)某點(diǎn)己處取得，從而己是f的極值點(diǎn)，由條件(ii)f在點(diǎn)己處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推知f(')=。.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線。注2：習(xí)慣上把結(jié)論中的士稱為中值，羅爾定理的三個(gè)條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個(gè)條件，定理的結(jié)論將不一定成立。xx,|x|<1例如：F(x)=0,-2<x<-1I1,1MxM2易見，F(xiàn)在x=-1不連續(xù)，在x=±1不可導(dǎo)，F(xiàn)(-2)WF(2),即羅爾定理的三個(gè)條件均不成立，但是在(-2,2)內(nèi)存在點(diǎn)己，滿足F'K

3、)=。注3:羅爾定理結(jié)論中的士值不一定唯一，可能有一個(gè)，幾個(gè)甚至無(wú)限多個(gè)，例如：4.21xsin；x=0f(x)=*在-1,1上滿足羅爾定理的條件，顯然0,x-04x3sin2X_2x2sin?cos?1f(x)=在(-1,1)內(nèi)存在無(wú)限多個(gè)cn=(nwz)0,x=02n二使得f(cn)=0。2、拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函數(shù)？滿足如下條件：i)?在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；ii)?在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)己，使得f()_-(a)b-a證明此定理要構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),使得F(x)滿足羅爾定理的條件(i)-(iii)且F(x)=f(x)一fb一L(a)從而

4、推得F(x)=f(x)-f(a)一他)一(xa),xwa,bb-ab-a證明：作輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)(x-a)b-a顯然，F(xiàn)(a)=F(b)(=0),且F在a,b上滿足羅爾定理的另兩個(gè)條件，故存在點(diǎn)己w(a,b),使得FK)=fY)_f(b)_f(a)=0即f«)=f(b)-fb-ab-a注1°羅爾定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)時(shí)的特例注2。幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的曲線y=f(x)上至少存在一點(diǎn)P伐，f伐)，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB,我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)F(x),正是曲線y=f(x)與直

5、線AB,y=f(a)+f(b)-f(a)(xa)之差,事實(shí)上，這個(gè)輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)b-a系統(tǒng)原點(diǎn)在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標(biāo)系下，線段AB平行于新x軸(F(a)=F(b)。注30此定理的證明提供了一個(gè)用構(gòu)造函數(shù)法證明數(shù)學(xué)命題的精彩典范；同時(shí)通過(guò)巧妙地?cái)?shù)學(xué)變換，將一般化為特殊，將復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的論證思想，也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。注4。拉格朗日中值定理的結(jié)論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價(jià)形式，可根據(jù)不同問(wèn)題的特點(diǎn)，在不同場(chǎng)合靈活采用：f(b)f(a)=f()(ba),(a,b)f(b)-f(a)=fai(b-a)(b-a),E三(0,1)f(ah)-f(a)=

6、f(a1h)h,E三(0,1)注50拉格朗日中值定理的兩個(gè)條件彼此有關(guān)，并不彼此獨(dú)立，因?yàn)椋篺在(a,b)可導(dǎo)可以推出？在(a,b)連續(xù)，但反之不成立。把這兩個(gè)條件的“重疊”部分去掉，改成“函數(shù)f(x)在(a,b)可導(dǎo)且f(x)在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個(gè)條件互相獨(dú)立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。3、拉格朗日中值定理的幾個(gè)重要推論推論1函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)且fx)三0,二f(x)為I上的常值函數(shù).證明：任取兩點(diǎn)x1,x2W|(設(shè)x1cx2),在區(qū)間x1,x2上應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在七三(為？2)UI,使得f(x2)f(x1)=f')(x2-x1)=0推論2函

7、數(shù)f(x)和g(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)且f(x)=g(x),=f(x)=g(x)c,xI.推論3(導(dǎo)數(shù)極限定理)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)連續(xù)，在U0(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且極限limf'(x)存在，則f在點(diǎn)x0可導(dǎo)，且f'(xo)=limf'(x)X>X0x>x0證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來(lái)證明上式成立(D任取xWu°Mx0),f(x)在Xo,X上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，則存在f(x)-f(x)一、(W(x。,x),使得=f(D由于Xo<E<X,因此當(dāng)xTXo時(shí)隨之有x-Xo己一X，,對(duì)上式兩邊取極限，使得f(Q叫f2nxim0f(x00

8、)0同理可得f'(x)=f'(x-0)因?yàn)閘imf'(x)=k存在，所以u(píng)uXX0f'(X0+0)=f(x00)=k,從而f*(x0)=f：(x0)=k即f'(x0)=k注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)(x)在I上的每一點(diǎn)，要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類間斷點(diǎn)，不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。注2。導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來(lái)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。推論4(導(dǎo)函數(shù)的介值性)若函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)，且f(a)f_(b):二0,=3(a,b),3f仁)=0.(證)二應(yīng)用舉例：1可微函數(shù)單調(diào)性判別法：1.1一階函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系：(1)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

9、b)內(nèi)可導(dǎo).則在(a,b)內(nèi)f(x)/(或、u在(a,b)內(nèi)f'(x)>0(或40).證一)二)(證f*x)之0.)(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則在(a,b)內(nèi)f(x)/(g)xMi>對(duì)寸xja,b),有f'(x)之0(或M0);ii>在(a,b)內(nèi)任子區(qū)間上f(x)：0.2可微極值點(diǎn)判別法：極值問(wèn)題：極值點(diǎn)，極大值還是極小值，極值是多少.可微極值點(diǎn)的必要條件：Fermat定理函數(shù)的駐點(diǎn)和(連續(xù)但)不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為可疑點(diǎn)，可疑點(diǎn)的求法.極值點(diǎn)的充分條件：對(duì)每個(gè)可疑點(diǎn)，用以下充分條件進(jìn)一步鑒別是否為極值點(diǎn).(充分條件I)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，

10、在鄰域(x°-6,x°)和(5,x°+6)內(nèi)可導(dǎo).Mi>在(x0-&,x°)內(nèi)f'(x)<0,在(x°,x0+6)內(nèi)fx)a0時(shí)，=x0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)；ii>在(x0&,x0)內(nèi)f'(x)>0,在(x0,x0+6)內(nèi)f'(x)<0時(shí)戶x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；iii>若f(x)在上述兩個(gè)區(qū)間內(nèi)同號(hào)，則%不是極值點(diǎn).(充分條件H)設(shè)點(diǎn)xo為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)且f“(Xo)存在.則i>當(dāng)f"(X。)<0時(shí)，%為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；ii

11、>當(dāng)f"(x0)>0時(shí)，x。為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn).f(x)-f(x。)f(x)證法一f(x。)=lim=lim.X%x-x0.1證取f(x)=,(x>0).f(x)=2>0,=在0,+30)內(nèi)f(x)/1x(1x)2于是，由|a+b以a|+|b|,就有f(|a+b|)«f(|a|+|b|),即|ab|<|a|b|二|a|.|b|<|a|.|b|.1|ab|1-|a|b|1|a|b|1|a|b|1-|a|1|b|不等式原理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,+電)上連續(xù)，在區(qū)間(a,+g)內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x)>0;又f(a)之0.則

12、xa時(shí)，f(x)>0.(不等式原理的其他形式.)2.4.1凸性的定義及判定:1。x-x0當(dāng)f”(x0)<0時(shí)，在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)工<0,nf'(x)與x-x0異號(hào)，x-x0證法二用Taylor公式展開到二階，帶Peano型余項(xiàng).(充分條件m)設(shè)f'(%)=f"0)=f(n4/)=0，而f(n)(%)¥0.則i>n為奇數(shù)時(shí)，不是極值點(diǎn)；.ii>n為偶數(shù)時(shí)，R是極值點(diǎn).且f(x0)>0對(duì)應(yīng)極?。籪(x0)<0對(duì)應(yīng)極大.利用單調(diào)性證明不等式：原理1：若f/則對(duì)Va<P,有不等式f(。)Ef(B).例4證明：對(duì)任意

13、實(shí)數(shù)a和b,成立不等式la+bl<|a|+W.1+|a+b|1十|a|1十|b.(1)凸性的定義：由直觀引入.強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù).若對(duì)Vx1,x2wa,b,恒有X1+x2)f(x1)+f(x2)I2<2J24j'x+x2f(x1)+f(x2)或fI<<2J2則稱曲線y=f(x)在區(qū)間a,b上是凹(或凸)的.若在上式中，當(dāng)xi#x2時(shí)，有嚴(yán)格不等號(hào)成立，則稱曲線y=f(x)在區(qū)間a,b上是嚴(yán)格凹(或嚴(yán)格凸)的.凹和凸也分別稱為上凸和下凸.(2)凸性的幾何意義：倘有切線，與切線的位置關(guān)系；與弦的位置關(guān)系；曲線的彎曲

14、方向.2.4.2利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，則在(a,b)內(nèi)f”(x)<0,二f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格上凸；f"(x)>0,二f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格下凸.該判別法也俗稱為“雨水法則”.證法一(用Taylor公式)對(duì)Vx1，x2w(a,b),設(shè)x0="xx2,把f(x)在2點(diǎn)x0展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式，有,f(l)2f(xi)=f(x0)f(x°)(xi-X。)xi-x0),f(x2)uf(x0)f(x0)(x2-x0)f(2)(x2-x0)2.其中和亡2在x1與x2之間.注意

15、到x1-x0=-(x2-x0),就有f(xi)+f(x2)=2f(x0)十1fVi)(xi-x0)2十f"('2)(x2x0)21于是2若有f"(x)<0,二上式中8<0,=f(xi)+f(x2)<2f(%),即f(x)嚴(yán)格上凸.若有f"(x)>0,二上式中4>0,nf(xi)+f(x2)>2f(x0),即f(x)嚴(yán)格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)若f"(x)>0,則有fx)/不妨設(shè)XXcXiex2,并設(shè)X0=，分別在區(qū)間xi,Xo和xo,X2上應(yīng)用Lagrange中值je22理，有(Xi

16、,X0),f(X0)-f(Xi)=f(1)(X0-Xi),(x0,X2),f(x2)-f(x0)=f(2)(x2-x0).有X1<匕<X0<巴2<X2,二f'(、)<f'(t2),又由x0X1=X2-x0A0,3f(0)(X0Xi)<f(2)(X2X0),口f(X0)-f(Xi)<f(X2)-f(X0),即f(Xi)+f(X2)A2f(x0)=2fJLi,f(x)嚴(yán)格下凸.<2J可類證f“(X)<0的情況.凸區(qū)間的分離：f”(x)的正、負(fù)值區(qū)間分別對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的下凸和上凸區(qū)間.2.4.3曲線的拐點(diǎn)：拐點(diǎn)的定義.，,、，、

17、N例8確定函數(shù)f(x)=xe"的上凸、下凸區(qū)間和拐點(diǎn).解f的定義域?yàn)?-。0,+q0),22f'(x)=e/(12x2),f"(x)=2x(2x23)e7.令f"(x)=0,解得Xi=-gX2=O,X3=g在區(qū)間(一B1),(-.11,0),(0,J3),(R+s)內(nèi)”符號(hào)依次2222為一,十,+,=.拐點(diǎn)為：1e2卜(°,0),：4，/3e2.倘若注意到本題中的f(x)是奇函數(shù)，可使解答更為簡(jiǎn)捷.3函數(shù)的最值：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)且僅有有限個(gè)可疑點(diǎn)Xi,X2，.則maxf(x)=maxf(a),f(b),f(x1),f(x2),f(Xn);x.a,bminf(x)=min(f(a),f(b),f(Xi),f(x2),f(Xn).x.a,b函數(shù)最值的幾個(gè)特例：i單調(diào)函數(shù)的最值：ii如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可導(dǎo)且僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則當(dāng)x0為極大值點(diǎn)時(shí)，X0亦為最大值點(diǎn)；當(dāng)X0為極小值點(diǎn)時(shí)，X0亦為最小值點(diǎn).iii若函數(shù)f(x)在R內(nèi)可導(dǎo)且僅有一個(gè)極大(或小)值點(diǎn)，則該點(diǎn)