微分中值定理的證明與應用

1、微分中值定理的證明與應用B09030124孫吉斌一中值定理及證明：1 .極值的概念和可微極值點的必要條件：定理(Fermat)設函數f在點x。的某鄰域內有定義，且在點小可導，若點選為f的極值點，則必有f(x。)=。羅爾中值定理：若函數f滿足如下條件:(1) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(ii)f在開區(qū)間(a,b)內可導；(iii)f(a)=f(b),則在(a,b)內至少存在一點己，使得f*(O=。證明：因為f在a,b上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現分兩種情況討論：(i)若M=m，則f在a,b上必為常數，從而結論顯然成立。(ii)若m<M,則因f(a)=f(b),使得最大值M

2、與最小值m至少有一個在(a,b)內某點己處取得，從而己是f的極值點，由條件(ii)f在點己處可導，故由費馬定理推知f(')=。.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。注2：習慣上把結論中的士稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條件，定理的結論將不一定成立。xx,|x|<1例如：F(x)=0,-2<x<-1I1,1MxM2易見，F在x=-1不連續(xù)，在x=±1不可導，F(-2)WF(2),即羅爾定理的三個條件均不成立，但是在(-2,2)內存在點己，滿足F'K

3、)=。注3:羅爾定理結論中的士值不一定唯一，可能有一個，幾個甚至無限多個，例如：4.21xsin；x=0f(x)=*在-1,1上滿足羅爾定理的條件，顯然0,x-04x3sin2X_2x2sin?cos?1f(x)=在(-1,1)內存在無限多個cn=(nwz)0,x=02n二使得f(cn)=0。2、拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函數？滿足如下條件：i)?在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；ii)?在開區(qū)間(a,b)內可導；則在(a,b)內至少存在一點己，使得f()_-(a)b-a證明此定理要構造輔助函數F(x),使得F(x)滿足羅爾定理的條件(i)-(iii)且F(x)=f(x)一fb一L(a)從而

4、推得F(x)=f(x)-f(a)一他)一(xa),xwa,bb-ab-a證明：作輔助函數F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)(x-a)b-a顯然，F(a)=F(b)(=0),且F在a,b上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點己w(a,b),使得FK)=fY)_f(b)_f(a)=0即f«)=f(b)-fb-ab-a注1°羅爾定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)時的特例注2。幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線y=f(x)上至少存在一點P伐，f伐)，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB,我們在證明中引入的輔助函數F(x),正是曲線y=f(x)與直

5、線AB,y=f(a)+f(b)-f(a)(xa)之差,事實上，這個輔助函數的引入相當于坐標b-a系統(tǒng)原點在平面內的旋轉，使在新坐標系下，線段AB平行于新x軸(F(a)=F(b)。注30此定理的證明提供了一個用構造函數法證明數學命題的精彩典范；同時通過巧妙地數學變換，將一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數學分析的重要而常用的數學思維的體現。注4。拉格朗日中值定理的結論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價形式，可根據不同問題的特點，在不同場合靈活采用：f(b)f(a)=f()(ba),(a,b)f(b)-f(a)=fai(b-a)(b-a),E三(0,1)f(ah)-f(a)=

6、f(a1h)h,E三(0,1)注50拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關，并不彼此獨立，因為：f在(a,b)可導可以推出？在(a,b)連續(xù)，但反之不成立。把這兩個條件的“重疊”部分去掉，改成“函數f(x)在(a,b)可導且f(x)在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個條件互相獨立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論推論1函數f(x)在區(qū)間I上可導且fx)三0,二f(x)為I上的常值函數.證明：任取兩點x1,x2W|(設x1cx2),在區(qū)間x1,x2上應用拉格朗日中值定理，存在七三(為？2)UI,使得f(x2)f(x1)=f')(x2-x1)=0推論2函

7、數f(x)和g(x)在區(qū)間I上可導且f(x)=g(x),=f(x)=g(x)c,xI.推論3(導數極限定理)設函數f在點x0的某鄰域U(x0)內連續(xù)，在U0(x0)內可導，且極限limf'(x)存在，則f在點x0可導，且f'(xo)=limf'(x)X>X0x>x0證明：分別按左右導數來證明上式成立(D任取xWu°Mx0),f(x)在Xo,X上滿足拉格朗日中值定理條件，則存在f(x)-f(x)一、(W(x。,x),使得=f(D由于Xo<E<X,因此當xTXo時隨之有x-Xo己一X，,對上式兩邊取極限，使得f(Q叫f2nxim0f(x00

8、)0同理可得f'(x)=f'(x-0)因為limf'(x)=k存在，所以uuXX0f'(X0+0)=f(x00)=k,從而f*(x0)=f：(x0)=k即f'(x0)=k注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導函數(x)在I上的每一點，要么是連續(xù)點，要么是第二類間斷點，不可能出現第一類間斷點。注2。導數極限定理適合于用來求分段函數的導數。推論4(導函數的介值性)若函數f在閉區(qū)間a,b上可導，且f(a)f_(b):二0,=3(a,b),3f仁)=0.(證)二應用舉例：1可微函數單調性判別法：1.1一階函數與單調性的關系：(1)設函數f(x)在區(qū)間(a,

9、b)內可導.則在(a,b)內f(x)/(或、u在(a,b)內f'(x)>0(或40).證一)二)(證f*x)之0.)(2)設函數f(x)在區(qū)間(a,b)內可導.則在(a,b)內f(x)/(g)xMi>對寸xja,b),有f'(x)之0(或M0);ii>在(a,b)內任子區(qū)間上f(x)：0.2可微極值點判別法：極值問題：極值點，極大值還是極小值，極值是多少.可微極值點的必要條件：Fermat定理函數的駐點和(連續(xù)但)不可導點統(tǒng)稱為可疑點，可疑點的求法.極值點的充分條件：對每個可疑點，用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點.(充分條件I)設函數f(x)在點x0連續(xù)，

10、在鄰域(x°-6,x°)和(5,x°+6)內可導.Mi>在(x0-&,x°)內f'(x)<0,在(x°,x0+6)內fx)a0時，=x0為f(x)的一個極小值點；ii>在(x0&,x0)內f'(x)>0,在(x0,x0+6)內f'(x)<0時戶x0為f(x)的一個極大值點；iii>若f(x)在上述兩個區(qū)間內同號，則%不是極值點.(充分條件H)設點xo為函數f(x)的駐點且f“(Xo)存在.則i>當f"(X。)<0時，%為f(x)的一個極大值點；ii

11、>當f"(x0)>0時，x。為f(x)的一個極小值點.f(x)-f(x。)f(x)證法一f(x。)=lim=lim.X%x-x0.1證取f(x)=,(x>0).f(x)=2>0,=在0,+30)內f(x)/1x(1x)2于是，由|a+b以a|+|b|,就有f(|a+b|)«f(|a|+|b|),即|ab|<|a|b|二|a|.|b|<|a|.|b|.1|ab|1-|a|b|1|a|b|1|a|b|1-|a|1|b|不等式原理：設函數f(x)在區(qū)間a,+電)上連續(xù)，在區(qū)間(a,+g)內可導，且f'(x)>0;又f(a)之0.則

12、xa時，f(x)>0.(不等式原理的其他形式.)2.4.1凸性的定義及判定:1。x-x0當f”(x0)<0時，在點x0的某空心鄰域內工<0,nf'(x)與x-x0異號，x-x0證法二用Taylor公式展開到二階，帶Peano型余項.(充分條件m)設f'(%)=f"0)=f(n4/)=0，而f(n)(%)¥0.則i>n為奇數時，不是極值點；.ii>n為偶數時，R是極值點.且f(x0)>0對應極小；f(x0)<0對應極大.利用單調性證明不等式：原理1：若f/則對Va<P,有不等式f(。)Ef(B).例4證明：對任意

13、實數a和b,成立不等式la+bl<|a|+W.1+|a+b|1十|a|1十|b.(1)凸性的定義：由直觀引入.強調曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義設函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù).若對Vx1,x2wa,b,恒有X1+x2)f(x1)+f(x2)I2<2J24j'x+x2f(x1)+f(x2)或fI<<2J2則稱曲線y=f(x)在區(qū)間a,b上是凹(或凸)的.若在上式中，當xi#x2時，有嚴格不等號成立，則稱曲線y=f(x)在區(qū)間a,b上是嚴格凹(或嚴格凸)的.凹和凸也分別稱為上凸和下凸.(2)凸性的幾何意義：倘有切線，與切線的位置關系；與弦的位置關系；曲線的彎曲

14、方向.2.4.2利用二階導數判斷曲線的凸向：設函數f(x)在區(qū)間(a,b)內存在二階導數，則在(a,b)內f”(x)<0,二f(x)在(a,b)內嚴格上凸；f"(x)>0,二f(x)在(a,b)內嚴格下凸.該判別法也俗稱為“雨水法則”.證法一(用Taylor公式)對Vx1，x2w(a,b),設x0="xx2,把f(x)在2點x0展開成具Lagrange型余項的Taylor公式，有,f(l)2f(xi)=f(x0)f(x°)(xi-X。)xi-x0),f(x2)uf(x0)f(x0)(x2-x0)f(2)(x2-x0)2.其中和亡2在x1與x2之間.注意

15、到x1-x0=-(x2-x0),就有f(xi)+f(x2)=2f(x0)十1fVi)(xi-x0)2十f"('2)(x2x0)21于是2若有f"(x)<0,二上式中8<0,=f(xi)+f(x2)<2f(%),即f(x)嚴格上凸.若有f"(x)>0,二上式中4>0,nf(xi)+f(x2)>2f(x0),即f(x)嚴格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)若f"(x)>0,則有fx)/不妨設XXcXiex2,并設X0=，分別在區(qū)間xi,Xo和xo,X2上應用Lagrange中值je22理，有(Xi

16、,X0),f(X0)-f(Xi)=f(1)(X0-Xi),(x0,X2),f(x2)-f(x0)=f(2)(x2-x0).有X1<匕<X0<巴2<X2,二f'(、)<f'(t2),又由x0X1=X2-x0A0,3f(0)(X0Xi)<f(2)(X2X0),口f(X0)-f(Xi)<f(X2)-f(X0),即f(Xi)+f(X2)A2f(x0)=2fJLi,f(x)嚴格下凸.<2J可類證f“(X)<0的情況.凸區(qū)間的分離：f”(x)的正、負值區(qū)間分別對應函數f(x)的下凸和上凸區(qū)間.2.4.3曲線的拐點：拐點的定義.，,、，、

17、N例8確定函數f(x)=xe"的上凸、下凸區(qū)間和拐點.解f的定義域為(-。0,+q0),22f'(x)=e/(12x2),f"(x)=2x(2x23)e7.令f"(x)=0,解得Xi=-gX2=O,X3=g在區(qū)間(一B1),(-.11,0),(0,J3),(R+s)內”符號依次2222為一,十,+,=.拐點為：1e2卜(°,0),：4，/3e2.倘若注意到本題中的f(x)是奇函數，可使解答更為簡捷.3函數的最值：設函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)且僅有有限個可疑點Xi,X2，.則maxf(x)=maxf(a),f(b),f(x1),f(x2),f(Xn);x.a,bminf(x)=min(f(a),f(b),f(Xi),f(x2),f(Xn).x.a,b函數最值的幾個特例：i單調函數的最值：ii如果函數f(x)在區(qū)間a,b上可導且僅有一個駐點，則當x0為極大值點時，X0亦為最大值點；當X0為極小值點時，X0亦為最小值點.iii若函數f(x)在R內可導且僅有一個極大(或小)值點，則該點