遞推數(shù)列求通項公式的典型方法

1、an解：原遞推式可化為：ii貝Ua2=ai+-,i2iia4=a3+，),34逐項相加得：an=ai,i2、anian=g(n)型累積法：ananana2ai.ai例2:已知數(shù)列an滿足an-=nnN*,ana1二i.anan+an>0,an1_nann1an(a2-ai)p-qan二：p-1ian+2,所2遞推數(shù)列求通項公式的典型方法1、an+i=an+f（n）型累加法：an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+,+(a2-ai)+ai=f(n-i)+f(n-2)+,f(i)+ai例i已知數(shù)列an滿足ai=i,an+i=an+2n(nCM),求an角單：an=(an-an-i)

2、+(an-i-an-2)+,+(a2-ai)+ai=2n-i+2n-2+,+2i+i=21-i(nCN*)i例在數(shù)列an中，a=3,an噌=an+，求通項公式n(n+i)iiani=an-；nniiia3-a2一23ii,an=an二-n-ini,i一.故an=4一nn所以.an=gn-ign-2gn-3.gia1解：an=包生<包4ananIai=n-in-2n-3.i=n-i!-an=n-1!nN22-例2設數(shù)列an是首項為1的正項數(shù)列，且（n+1）an+-nan+an由an=0（n=i,2,3,）,則它的通項公式是an=（2000年高考15題）.解：原遞推式可化為：（n1詢i-同心

3、ian）=0則曳,色二,包，三二上Jai2a23a34,anina1i逐項相乘得：=,即an=.ainn3. an41=pan+q型（p,q為常數(shù)）方法：（1）an書十一q-=pan十一q-，再根據(jù)等比數(shù)列的相關知識求p-1<P-1J（2） an+-an=pan-an）再用累加法求an.（3） 將=3十%，先用累加法求粵再求anpppp例3.已知Qn1的首項a1=a（a為常數(shù)），an=2an（nwN+,nA2）,求斗解設an九=2（an一九），貝U九=ian1=2an1:Qn+i為公比為2的等比數(shù)列。an1=a12nan=a1*2n-l-1ii題目：在數(shù)列an（不是常數(shù)數(shù)列）中，an=a

4、n+2且a1=，求數(shù)列an的通項公式.23i_i一i斛法：因為an由=an+2,所以，an=an/+2,所以，an書an=（anan），所以，數(shù)列222一iiiiiiian書an是公比為一的等比數(shù)列.又a2ai=一，所以十a(chǎn)n=一（一），將2口由=一烝+2代26622ii1入上式可得an=4-（1）n.32評注這種方法叫做差分法.即由條件an41=pan+q（pq（p-i）#0）進行遞推可得an=pan/+q,進一步可得an5an=p（an-an_i）,數(shù)列an+an是公比為p的等比數(shù)列，所以，an+-an=(a2-ai)pn'，再將an+=pan+q代入即可求得i解法一：所給數(shù)列對應

5、的特征萬程為：x=x+2，所以，特征根為x=4.因為an4i=2,、，i一一iii以，an+4=（an-4），即數(shù)列an-4是公比為一的等比數(shù)列，又a1一4=一一，所223ii/i、n,ii,i、nT以，4-4=一一父（一）.故an=4父（一）.3232評注：這種方法叫做特征根法，因為p#i，所以滿足x=px+q（叫做此數(shù)列對應的特征方程）的x存在，由an+=pan+q可得an由一x=（pan+q）-x=p（an-x），所以，數(shù)列an-x是以a1一x為首項，以p為公比的等比數(shù)列或各項均為0,于是再根據(jù)條件an-x=（a1-x）pn，所以,an=（a1-x）pn1x.1.11.1一1一一斛法二：

6、設an+人=5（an+九），即an書=3an九與已知an+=-an+2對比可得一萬人=2,所1 1以，兒=乂.所以，可得為44=（an4）,即數(shù)列an4是公比為1的等比數(shù)列或者各項均為2 20.（下同解法二）.評注:這種方法通常叫做構造法.即由已知遞推式的特點構造一個等比數(shù)列，再求通項公式.設an噂+九=p（an+K），與原遞推數(shù)列進行對比可以建立方程，求數(shù)所設實數(shù)九的值即可得an書+八是以a1十九為首項，以p為公比的等比數(shù)列.以上三種方法雖然各不相同，但是它們有一點是共同的，即構造一個等比數(shù)列，這就是本題的實質(zhì)所在.4. an+=pan+f（n押（p為常數(shù)）方法：變形得筆=，+邛?，則之；&

7、gt;可用累加法求出，由此求得為.pppp例4.已知&n）滿足a1=2,an*=2an+2n*,求an解：nl=:+122手；>為等差數(shù)列。1=*n-1=n2n2an=n2n5. and2=pan+qan型（p,q為常數(shù)）方法：待定系數(shù)法設an七-苴=3-九an）構造等比數(shù)列例5.數(shù)列4中，a1=2,a2=3,且2an=an4+an41（neN+,n>2）,求為.2例右數(shù)列an中，4=3且2葉=2門（n是正整數(shù)），則匕的通項公式是an=（2002年上海高考題）.解由題意知a>0,將an41=a；兩邊取對數(shù)得lgan41=2lga，即旦更史=2,所以數(shù)列nn1nn1nl

8、gann12n2nlgan是以lg&=lg3為首項，公比為2的等比數(shù)列，lgan=lga1-2n=lg32,即an=32.8、平方（開方）法例8若數(shù)列an中，a=2且an=d3+211（n之2）,求它的通項公式是an.解將an=J'3+a；兩邊平方整理得a；a；,=3。數(shù)列a；是以a12=4為首項，3為公差的等差數(shù)列。a2=a12+（n-1）父3=3n+1。因為an>0,所以an=J3n+1。9、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關鍵是從策略上規(guī)范一個遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、an書=Aan+B（A、B為常數(shù)）型，可化為an+1十九=A（

9、an+九）的形式.S例9若數(shù)列an中，a1=1,Sn是數(shù)列an的前n項之和，且S（論1）,求數(shù)列an的通項公式是an.Sc解遞推式Sn書=n可變形為一348nS設（1）式可化為一S1、=3()Sn6、取倒數(shù)法an1已知數(shù)列an中，其中a1=1,且當n>2時，an=一n,求通項公式an。2am1a111.一解將an=兩邊取倒數(shù)得：-=2,這說明一是2anI1anandan11r1一=1,公差為2,所以一=1+(n1)父2=2n1,即an=.a1an2n-1個等差數(shù)列，首項是7、取對數(shù)法1=34Sn（2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得2=2,1一+2=3為首項，3為公比的等比數(shù)歹U。S1當

10、n之2,an=SnSn1_n3-231Sn-1則有,Sn.112=3(-Sn，一1一+2）。故數(shù)列+2是以Sn+2=33n/=3n。所以Sn1_n一2-23n32n-83n12°a1數(shù)列an的通項公式是an=-2332n-83n12(n=1)(n-2)2、an書=Aan+BCn（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為an木十九-Cn+l=A（4十九Cn）的形式.例10在數(shù)列an中，a1=-1,an書=2an+4g：求通項公式an。解：原遞推式可化為：an+人3n=2（an+九I）比較系數(shù)得九=-4,式即是：an+-43n=2（an4-3n）.則數(shù)列anan-43-43n二是一個等比數(shù)列，

11、其首項a1-4，31=-5,公比是2.即an=43n二52n二-52nJ.:迭代法。an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+3M1+1=,=3。+3n-2工1+3、1+,3、an-B=Aan書十Ban型，可化為an書+通書=(A+?J，中十7間例11在數(shù)列an中，a1=一1,a2=2,當nwn,anq2=5an書-6an)的形式。求通項公式an.解:式可化為:3n.1+31+1=-2點評：(1)分析一中先猜測出前后兩項差的關系，再用累加法求出通項；這種用不完全歸納法求出前幾項再找規(guī)律的的方法，對所有求數(shù)列通項的題均適用，應培養(yǎng)歸納能力；(2)分析二中構造出新數(shù)列，由新數(shù)列

12、求出an的通項；(3)分析三使用迭代法，這也是由遞推式求通項的基本方法。an2an1=(5)(an1an)比較系數(shù)得九=-3或K=-2,不妨取九=-2.式可化為：an2-2an1-3(an1-2an)則an.2an是一個等比數(shù)列，首項a22al=2-2(-1)=4,公比為3.n1an書2an=43.利用上題結果有：n-1n1an=43-524、an+=Aan+Bn+C型，可化為an書+%n+欠2=Aan+兒(n1)+九2的形式。本文將由此例題展開，對它進行各種變形,二、例題精講力求歸納出由遞推公式求通項公式的方法。例1.已知數(shù)列an中,ai=1,對任意自然數(shù)分析：由已知，a2一a1=,累力口,

13、2324n都有an=an+,求n(n1)2anoan_an_1n(n1)an-an_2=3例12在數(shù)列an中，&=一，2anan,=6n32=22n1an-avILn(n1)(n-1)n1+(n-1)n(n-2)(n-1)求通項公式an.解式可化為：2(加E-)=an(n-1)2點評：(1)例3由例1(2)遞推式為an+1=an+f(n)中的常數(shù)項1變?yōu)?只要f(1)+f(2)+比較系數(shù)可得:(3)今年安徽題中也有這樣一題：已知數(shù)列f(n)而得來；,+f(n-1)是可求的，可用累加法求出。an中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中兀=-6,九2=9

14、,式為k=1,2,3,(1)求a3,a5(2)求數(shù)列an的通項公式。這是an+i=an+f(n)型的函數(shù)，只不過bn是一個等比數(shù)列，首項偶數(shù)項減奇數(shù)項與奇數(shù)項減偶數(shù)項的(4)運用類比推理的思想方法，把例類同。f(n)不同而已，依照上法，可以輕松求解。3與例1的形式進行比較后可看出類似之處，從而在方法上9/1n.bn=二(二)22對遞推式為an+i=pan+q(p、q為常數(shù))時，可構造新數(shù)列an+l+-q=p(an+q)。其證明的簡略過p-1p-'1一1n即an-6n9=9(一)2程如下：由an+1=pan+q,令an+1+x=p(an+x),化簡，得an+1=pan+px-x,因此px

15、-x=q,即x=。得P-1，,1.C故an=9(-)6n-9.2一、復習回顧引入問題：已知數(shù)列an滿足分析一：歸納法。由遞推公式，證。例2：已知數(shù)列an中,ai=1,an1-a,求anoan3a1=1,且an+1=3an+1,求an?？汕蟪鯽2=4,a3=13,a4=40。則a2-a1=3=3：a3-a2=9=32,a4-a3=27=33o由此猜測：an-an-1=3n-1(可用數(shù)學歸納法證明)，所以an-1-an-2=3n-2,an-2-an-3=3n-3,a4-a3=3、a3-a2=3：3n-1a2-a1=3,把上式子累加，得，an-a1=3+3+3+,+3=，得an=。211分析：把兩邊

16、取倒數(shù)，可得1=3，1+1。令bnan1an1,則bn+1=3bn+1,即引入問題，按上法an可求解。點評：(1)轉換問題，化成基本型后求解(運用反思維定勢定勢方法中的轉移思維方法)分析二：構造法。由an+1=3an+1,得an+1+=3(an+1),即數(shù)列an+1為一個公比為3的等比數(shù)列，則an+l=(1+1)-3n-1=3-。222(2)對分式型遞推數(shù)列可歸納如下：設ai=a,an*=%上d(a¥0)aanb例5.已知數(shù)列an滿足an42一5an中+6an=0,且a=1,a2=5,且滿足，求an.解：令an卡xan+=y(an+-xan),即an也(x+y)an41+xyan=0

17、,與已知若d=0,則上式變形為L=B，十號，令0=1，則bn=b，bn+a,即基本型。a11cancancc若d,cw0,且bcwad,令an=bn+t(t為待定系數(shù))轉化為情形。an425an+1+6an=0比較，則有'x+y=5故，xy=6x=2或1y=3(x=3、y=23例3.在數(shù)列a。中，ai=,2anan=6n3,求通項an.2解：原遞推式可化為2(anxny)=an-x(n-1)-y比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為2bn=bnx=2-下面我們?nèi)∑渲幸唤M來運算，即有an+2-2an41=3(an+1-2an),J=3則數(shù)列an+-2an是以a2-2a1=3為首項，3為

18、公比的等比數(shù)列，故an412an=3，3n=3n,即an41=2an+3n,利用類型的方法，可得即：之卜21(馬pqpq然后類型1,累加求通項.ii.兩邊同除以qn書.即：“一a令bn=七，則可化為bn由=q九，轉化為等比數(shù)列求通項所以bn是一個等比數(shù)列，首項bi=ai-6n+9=-,公比為-.22bn=9(1)nA即：an6n+9=9(3n222一1故an=9(-)6n-9.2(2)若f(n)=qn(其中q是常數(shù)，且n=0,1)若p=i時，即：an4i=an+qn,累加即可若p#1時，即：an+=p，an+qn,求通項方法有以下三種方向：i.兩邊同除以pn*.令bn=0-,則-bn='

19、;()nppqan1二Ea.1n1n,qqqq,bn+-.然后轉化為類型5來解，qiii.待定系數(shù)法:設an書+%d*=p(an十九'pn).通過比較系數(shù)，求出形如an+=pan+qan4其中p,q為常數(shù))型(1)當p+q=1時用轉化法例4.數(shù)列an中，若a1=8,a2=2,且滿足an七4an+3an=0,求an.解：把an電-4an+3an=0變形為an七一an+=3(an+-an).則數(shù)列On書-an是以a2-a1=-6為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an=3n-2n.評注：形如an也=aan書+ban的遞推數(shù)列，我們通常采用兩次類型(5)的方法來求解，但這種方法比較復雜，我們采用特

20、征根的方法：設方程(x-a)x=b的二根為a,P，設an=p0n+q'Pn,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.形如an41=pa：(其中p,r為常數(shù))型(1) p>0,an>0用對數(shù)法.例6.設正項數(shù)列GJ滿足a1=1,an=2a3(n>2).求數(shù)列QJ的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：logan=1+2log；n，lo&n+1=2(loga+1),設bn=lon+1,則1n1n_1bn=2bn/，是以2為公比的等比數(shù)列，b=log2+1=1，=1父2=2,an1an_12n-1log2n+1=2，10g2n=2-1,an=2練習數(shù)列Gn中，a1=1,an=

21、2yan_i(n>2),求數(shù)列an的通項公式.qq2_n答案：an=2(2) p<0時用迭代法.課堂小結：學生的體會是多方面、多角度的，因此小結內(nèi)容也很靈活。知識方面：數(shù)列的概念、數(shù)列的通項公式能力方面：掌握研究問題的一般方法，主要有：觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、總結、類比思考問題：是否每一個數(shù)列都能寫出它的通項公式？每一個數(shù)列的通項公式是否唯一？根據(jù)前n項寫出的不同形式的通項公式所確定的數(shù)列是否是相同的？求遞推數(shù)列通項公式是數(shù)列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通過考查遞推數(shù)列來考查學生對知識的探索能力，求遞推數(shù)列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項

22、的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問題化為中學中所研究的等差或等比數(shù)列。利用遞推數(shù)列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值，下面介紹一下利用構造法求遞推數(shù)列的通項公式的方法和策略.、構造等差數(shù)列法an+an=-63n"利用類型6的方法可得an=113n.(2)當p2+4q之0時用待定系數(shù)法.例1.在數(shù)列an中，a1=3,nane=(n+2)an+2n(n+1)(n+2),求通項公式為。解：對原遞推式兩邊同除以n(n+1)(n+2)可得：an1(n2)(n1)-+2(n1)na式可化為上=2,則數(shù)列bn是以b1=lgana121,22一、-尸=lg匚=2lgJ2+1)為

23、首項,a1-22-、2令bn(n1)n公比為2的等比數(shù)歹U,是bn=21g(J2+1)X2n/=2n1g(J2+1)，代入式得:a43n則即為bn書=bn+2,則數(shù)列bn為首項是b1=1=,公差是6中、=2的等(J2+1)2,解得an(1+1)X12',n何1尸+1為所求。321)2n-131-1差數(shù)列，因而bn=+2(n-1)=2n-，代入式中得an=n(n+1)(4n-1)。222故所求的通項公式是2.an1=Aan+B(A、B為常數(shù))型遞推式可構造為形如1ann(n1)(4n-1)2an41+九=A(an+兒)的等比數(shù)列J。、構造等比數(shù)列法1.定義構造法利用等比數(shù)列的定義q=更吐

24、，通過變換，構造等比數(shù)列的方法。an例2.設在數(shù)列an中，a1=2,同二2,求an的通項公式。2an解：將原遞推式變形為an+及=(an'2)22an;回2an/得:an12an1an22=:an-2aj2a-2即lg咄一2二2lg亙一an1-2an-2an2“1g例3.已知數(shù)列an,其中a1=1,an書=3an+2,求通項公式an。解：原遞推式可化為：an41+1=3(an+1),則數(shù)列an的等比數(shù)列，于是an+1=(a1+1)x3n/=2x3n，故anann3an書AanB.C(A可構造為形如an+九Cn書例4.已知數(shù)列an,其中.1解：將原遞推變形為an-1得bn+=-3bn+2

25、na1設式可化為bn書十九2"數(shù)列bnn：!l112二一班一5-2n是一個以所以bn-25_5a2n-(-3)n+1是以a1+1=2為首項，公比為3_n1i=2X31。B、C為常數(shù)，下同)型遞推式=A(an+九Cn)的等比數(shù)列。=1,且an+1=an2n-an-3,求通項公式ano3c1+2，設bn=。=3(bn+九2n)，比較得九=11,1于是有52n)21=V為首項，公比是一3的等比數(shù)歹U。5=2(-3廣即bn5為所求。n1n2n(3)n，代入式中得:54.an+=Aan+Bn+C型遞推式可構造為形如an書+%n+九2=Aan+3(n1)+九2的等比數(shù)列。3,一一,例5.在數(shù)列a

26、n中，a1=-,2anan=6n3,求通項公式an。2解：原遞推式可化為2(an+九1n+九2)=an+九1(n-1)+入2，比較系數(shù)可得：兒=一6,K2=9,上式即為2bn=bn，bn是一個等比數(shù)列，首項b1=a1一6n914=9,公比為L2291所以bn-|(1)nJoaa1斛：(1)nan+)=(n+1)an+1=+n1nn(n1)an1令bn=，則燈=a1=1,bn+)=bn+nn(n1)本題用n(n+1)除遞推式兩邊，再進行變量代換，就可轉化為“1可信bn=2-一一an=nbn=2n1nan+1=an+f(n)型”，(2)遞推式兩邊同除以2n，得粵=幫(1)n,就可轉化為“an+1=

27、an+f(n)型”，當2n22然，也可以在遞推式兩邊同除以(_1)n,得力=生！-1即三=_2,三工-1,()(-1)n(-1)n(-1)n(1)1一，1、n-1n即an-6n+9=9(一)n,故an=9(一)n+6n-9為所求。22三、函數(shù)構造法對于某些比較復雜的遞推式，通過分析結構，聯(lián)想到與該遞推式結構相同或相近的公式、函數(shù),再構造“橋函數(shù)”來求出所給的遞推數(shù)列的通項公式的方法。例6.在數(shù)列an中，a1=1,an+=a；-3an,求通項公式an。分析：首先考慮所給遞推式與公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的聯(lián)系。則可轉化為“an+=pQ+q型”，所以得an=112n+(1)田

28、31.、(3)遞推式兩邊同取對數(shù)，得lgan一lgan=一(lgan_i一lgan)2令bn=lgan+lgan，則b二lga2lga二1bn=lgan1-lgann_11,二bn_2(n=3,4,5,)2I=102,已轉化為“1n1bn=(-)n-1(n=1,2,3)an書=an-f(n)型”，由累乘相消法可解：設a1=x+x，,則a2=a；3al=(x+x,)33(x+x,)=x3+x二同理992727a3=x+x,a4=x+x,。a二一.、得=1010210410a1(fn，=10：2=anQ0Q0Q1q1Q2q2Q3q3即a1=x+x,a2=x+x,a3=x+x,x4=x+x,猜想”1

29、Qn1_.an=x3+x。下面用數(shù)學歸納法加以證明(證明略)。由于,rr二，-3±5a1=1,即x+x=1,解得x=,2是an=(3士、.5轉化為常見類舉求解：例2設數(shù)列4滿足下列條件，試求各通項:(1)(2)(3)a1=1,同1=(n1)an1(n=1,2,3)a=1自=2an,(-1)n1(n=2,3,4)Ia=1包=10，2-=i佟jn=3,4,5)an4根據(jù)上述的介紹，下面問題你能解決嗎？練習：設數(shù)列QJ滿足下列條件，試求各通項：(1)a1=0®=羯=+2(n=2,3,4-)(2)a1=a,an1an=n(n=1,2,3)(3)4=1,(n2)(an1)=nanr(

30、n=1,2,3)(4)a1三1,an-an=同_冏(-2,3,4)(5)司=1,a。=3n"-2an(n=2,3,4)(6)-=00=1,an2=3anr-271(n=1,2,3,)(7)4=7,an1=5%23n1-4(n=1,2,3,)4一a.(8)a1=1,an=(nu2,3,4;)3-an（6）型如：至=（用迭乘法）an例7、已知an由=*an,求ann1專題二由遞推公式求通項的技巧（1） 遞推式為：an+i=an+f（n）型,，（用迭加法）11,、例1、已知an中ai=,an4=an+2一，求an24n-1（2） 遞推式為：an+i=pan+q型（p,q為常數(shù)）”（用特征根

31、法轉化成等比數(shù)列）例2、an中，a=1，對于nWN,有an+=3an+2,求an（3） 遞推式為：an+i=pan+qn型（P,q為常數(shù)）,（同除qn或qn+1,再用特征根法轉化成等比數(shù)列）例3、an中，a=5，對于nwN有an+=1an+（1）n*,求an632（4） 遞推式為：an+2=pan+i+qan型（p,q為常數(shù)）,（變行為：an+2-aan+1=3（an+i-aan）2 1例4、aJ中，a1=1色=2,有an丑=-an+十二an,求an3 3型如：an，an書=tn（此類題把an分成奇數(shù)項與偶數(shù)項）1例8、已知an中，a1=1,an、an+）是方程x-bnx十一=0勺兩根,3n求

32、an的通項（2）bn的前n項和Tn的極限（8）雙遞推-同一個題中，出現(xiàn)兩個遞推式（用“減少變量”法）例9、已知數(shù)列為a0,bn>0,小、42、an書成等差；2、an.、bn成等比,且8=1,b1=,2，分別求出an,bn的通項(5)遞推式為sn與an的關系式：此類型可利用an=四(n=1/nnn1-LSnSn.(n2)例5、設an中，an+=Sn+門+1©=2,求Hn例10已知an、bn滿足W=1,bi=2,an、bn、an大成等比,bn、an+、bn+成等差,分別求出an、bn的通項12r、例6、已知an中，Sn為其刖n項的和，且Sn=（an+1），求an4遞推數(shù)列求通項公式

33、的基本類型及其對策高中數(shù)學遞推數(shù)列通項公式的求解，在高考中婁見不鮮，其豐富的內(nèi)涵及培養(yǎng)學生思維邏輯性具有較高的價值，同時對于培養(yǎng)學生的歸納推理能力也具有十分重要的意義，下面就遞推數(shù)列求通項的基本類型作一個歸納，以供讀者參考。an-anL=f(n)或=g(n)型類型一、an對策：利用迭加或迭乘方法，即：bn-1（II）由（I）得4121ani-an=1即42nnanananian=（anan）十（anan/）+（3ai）+ai或anan.2a2aiai例1、(2006年山東高考文科)已知數(shù)列an中,ai點(n,2an書一an)在直線.31an.-an-由：an-（an一an_1）（an一an_2

34、）（a2-ai）ain_21一nJJ；n-2類型二、Sn=f(an)型對策：巧用anW（n=i）&-&5一2）y=x上，其中n=i,2,3,.(I)令bn=a-an-1,求證數(shù)列£bn一等比數(shù)列;(H)求數(shù)列an粕通項；例2、(2007年福建高考文科)數(shù)列an的前N項和為Sn,ai=1,an+i=2Sn(nCN*).求數(shù)列an的通項3n。解析：（I）.an+i=2Sn,-Sn+1-Sn=2Sn,解析：(I);點(n,2an+-an)在直線y=X上.2ani-an=nSniSn=3.,2anan/=nT電一彳導:2an書3an+anU=1Z.又1->S1=a1=i

35、,數(shù)列&是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，S1=3n-1(nN*).當n之2時，an-2Sn-i=2-3n-2（n之2）,又bn=an書-an-ibn=1bn21,n=1,n>2.-a,23Tan=a2而2a2=ai1得類型三、an=panqq（pq=0）型bi，數(shù)歹Ubn是以首項為=a2-ai-i=-34,公比為12的等比數(shù)列q.q、.qan'-P(anA')an'對策：等價轉化為：P1P-1從而化為等比數(shù)列P1,并且該a1數(shù)列以p-1為首項，公比為p解析：:點（n,2a葉一?。┰谥本€y=x上.2an中一an=n"例3、（2006年福建高考理科）

36、已知數(shù)列Qn滿足a=1,an書=2an+1（nN）.求數(shù)列an的通項公式.解：an1.-2an1(nN),.斗.11=2(41)，'an是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列.an1=2.即an=2-1(nN).1an1x(n1)y=-(annxy)令2,可化為:2an+an+xn+2x+y=0與比較系數(shù)得x=1,y=2an1-(n1)2可化為：1=2(an-n2)變式1：an二panrqn(pqr=0)型an1n1-n2=(-)n-1(a1-12)對策：（1）若anan一二rrnn1p=q,則化為qqai，從而化為以q為首項，公差等于r的等差數(shù)列qan1n-2(2)若pwq,an

37、n則化為qpanrn1qq,進而轉化為類型三求通項pan例4、已知數(shù)列an滿足an=4an二+2n(n之2,nN*),且a1=2.求及a0an1-變式3、qan+r型解析:=4an12nan2nan二2”1？n對策：取侄數(shù)后得a1an2n,則bn1=2(bn工1)例6、已知數(shù)列an滿足an1二a1=1,bb1=曳1=2'n+1是以首項為2,公比為2的等比數(shù)列3an,一,1二.A解析：由3an6,得an-1bn1=2n即：an12non得數(shù)列an的通項公式為%=2-2變式2：an=pan4qnr(pq=O)型an+xn+y=p(an二十xn+y)再化為an+xn+y=pani+（p1）x

38、n十（pDy,對照系數(shù)，解出x,y,進而轉化為類型三例5、題見例1（2006山東高考文科）化為類型三3an3an6an11=2（1）an,以下請讀者解決。變式4：an=pa：_1(pA0)型若p=1,則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，化為:比為r的等比數(shù)列l(wèi)gan,所以lgan=rn"lga，得lgan=rlgan_1,得到首項為幻為，公rnan=a1若pW1,則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得：lgpan=1gpan-1+1,轉為類型三求通項。例7、（06年石家莊模擬）若數(shù)列中，&=3且an+=a；（n為正整數(shù)），則數(shù)列的通項公式為2解析：:an¥=及0=3知an之3,兩

39、邊取對常用對數(shù)得:_1an1-an-1=(an-an_11)一得：2an+13anan_1_124,公比為2的等比數(shù)列l(wèi)gan+=2lgan.lgan是以首項為lga1=lg3,公比為2的等比數(shù)列。a2-a1-1=-數(shù)列an-an_1-1是以首項為nJ2lgan=2lg3.an=3以下同例1（II）求通項an變式5、an1pan=qan.1an(pq=0*類型四、奇偶項型對策：兩端除以an書an得：an對策一：求出奇數(shù)項（或偶數(shù)項）的遞推關系，再對應以上方法求解。例10（2005年高考北京卷改編）設數(shù)列an的首項（1）若P=-1,則構成以首項為a1,公差為一q的等差數(shù)列an；例8、（07保定摸

40、底）已知數(shù)列an滿足a1=1,n至2時，an-an=2anan,求通項公式ano-an,n為偶數(shù)21an+-，n為奇數(shù)4，求an解：;an1-an=24向1二2anan.,數(shù)列an是以首項11a1,公差為2的等差數(shù)列解：若,an1n為偶數(shù)，則12an112/4)=anan=12(n-1)=2n-111曰a2n-1=_a2n_1二即28a?n+-T=(a2n/2nU3,4an2n-1（2）若P*-1,轉化為類型三求解。變式6：an+=pan+qan,(pq#0)型對策：等彳轉化為小書+Xan=丫包+X%4）,利用與小木=Pan+qan二恒等求出x,y得到a2n-1=11(a)-44等比數(shù)列an書

41、*Xan,得an由*Xan=f（n）,進而化為變式2類型若n為奇數(shù)，則1二an-12例9、題見例1（2006山東高考文科）解析：二.點（n,2an+-為）在直線y=x上a2n即2n=2a2nqa2n.2anan7=n-12nTn-1(a2-)2(22)nan_a1-3,.*、1=0，an書=T=(n匚N),人a20-3an1'32-3、3,a3=3,a4=01+1,因此數(shù)列51a#=-一，兩邊同時減2an1221,n為奇數(shù)4對策二：an+'an=pqn(pq*0)型，這種類型一般可轉化為a2n與a2n是等差或等比數(shù)列。例11、在數(shù)列an中，al=1anan書=2,求annnT解

42、：由anan由=2,得為+為士二2an2Q=2兩式相除得：an,，電門力與電”均為公比為2的等比數(shù)列，易求得:-n12h,n為奇數(shù)anin、2萬，n為偶數(shù)類型五、周期型例12、(2005年高考湖南卷)已知數(shù)列an滿足()A.0B.一、'3C.、3D.a1-3a1a1=0,an1a2一略解：由v3an*1，得中;是以3為周期的數(shù)列，所以a20=a2=一石，選B探究遞推公式為分式型數(shù)列的通項問題AaB對于形如遞推公式為a=a(C0,ADBC=0)的數(shù)列an,這類問題有一CanD般性的公式解法，通常用特征方程求不動點，即先求解遞推公式所對應的特征方程，求出不動點，然后再解。雖然這類題本身有特

43、征方程求不動點等的知識背景，但高考題并不考，也不依賴于這知識，從所給的標準答案來看，其立意在于將遞推數(shù)列求通項問題轉化為已知數(shù)列的已知知識來解決，即轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決。那么，有沒有不用高等數(shù)學知識，而只用高中數(shù)學知識的方法？這類問題是否存在通項公式？若存在又怎么來求？下面通過具體例子介紹一種方法，僅供參考！例題例題1：(2010年全國高考數(shù)學理科第22題)已知數(shù)列an中，a1=1,an41=c-an(I)設c=性，bn=1,求數(shù)列bn的通項公式;2an-2(n)求使不等式anvan由<3成立的c的取值范圍.分析：(I)題目已經(jīng)明確告訴學生要構造：2的倒數(shù)，也就是說在51a&#

44、176;2142得：an由一2=一一2=一，再倒數(shù)即：=+2,亦即bn+=4bn+2,下2an2anan1-2an-22221一步再變形：bn由+=4.bn+,所以<bn+>是首項為一一，公比為4的等比數(shù)列，進而可3.3.33求出數(shù)列bn的通項公式。(n)略例題2:(2008年全國高考數(shù)學陜西卷理科第22題)已知數(shù)列an的首項a1=-,an七=3一，n=1,2,352an1(i)求an的通項公式；.11'2"(11)證明：對任息的x>0,an>-X,n=1,2,31n1+x(1+x)213nJ2(通)證明：aI+a2+1"+an>n1分

45、析:（i）由a"=0J兩邊同時加上兒，得an.+九=（3+2問+2瑪1n12an1可令:3x4x二2x3倒數(shù)得24132an1一工32(211則（1）32,an232,+2;,1式可化為一1一bn1x3-2x2x3bnx2x3(2)an-32,由方程3x4x二2x3得x=±J2；不妨取x=J2（目的使分母成“an+九”型）；得九=0,或九=1,不妨取九=0,于是有1an1貝U(2)式可變?yōu)?2.2bnJ-、23-22bn-"23-2.23an,變形1=1an1312為公比的等比數(shù)列。于是：有-12an3又工-1=2,所以，數(shù)列|.1,1l是以2為首項,現(xiàn)3烝312/曰3n=n"，倚an=n33n3n2即:bn1-2=(我十1)4它是形如“an1二pan十2(72+1)2q”的式子；易求bn-一2=2.2（ii）略例題3:（2007年全國高考數(shù)學理科試卷第22題）：4n_2-1已知：數(shù)列圓中，a=2,an書=(J21XK+J2),n=1,2,3(i)求Qn的通項公式；(n)若數(shù)列>中匕=2,bn卅=3+4,n=1,2,32bn3證明：J2bnwa4n工，n=1,2,3分析：(I)由題