拋物線及其標準方程

1、拋物線及其標準方程一、教學內容分析?拋物線及其標準方程?是全日制普通高級中學教科書必修數學第二冊上第八章?圓錐曲線?第三節(jié)第一課時內容.本節(jié)在教材中的地位和作用：在初中階段,拋物線為學生學習二次函數yax2bxc提供直觀的圖象感覺；在高中階段,它在一元二次不等式的解法、求最大小值等方面有著重要的作用.但學生并不清楚這種曲線的本質,隨著學生數學知識的逐漸完備,尤其是學習了橢圓、雙曲線的第二定義之后,已具備了探討這個問題的水平.從本章來講,這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后,一方面是三種圓錐曲線統一定義的需要,拋物線是離心率e1的特例；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線這一根本思想的再次強化.本節(jié)對拋物

2、線定義的研究,與初中階段二次函數的圖象遙相照應,表達了數學的和諧之美.教材的這種安排,是為了分散難點,符合認知的漸進性原那么.二、學生學習情況分析我校是省一級達標學校,有優(yōu)越的多媒體設備,學生的數學根底較好,有強烈的求知欲,具備一定的分析、觀察等水平.在此之前,學生已經熟練掌握二次函數圖象、橢圓、雙曲線的第二定義與求軌跡方程等內容,迫切想了解拋物線的本質特征.但是在動手操作與合作學習等方面,開展不均衡,有待增強.三、設計思想為了培養(yǎng)不僅能“學會知識,而且能“會學知識的人才以及根據我校提出的“創(chuàng)設情景、激發(fā)情感、主動發(fā)現、主動開展的教學模式,在課堂設計上,教師應學會如何創(chuàng)設情景,激發(fā)學生學習的興

3、趣；圍繞教材的重難點,比方本節(jié)的“拋物線的標準方程及其推導和“拋物線概念的形成,教師應學會如何設計不同的活動環(huán)節(jié),設置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題,通過教師適時的引導,通過生生問、師生間的交流互動,通過學生自己的發(fā)現、分析、探究、反思,使學生真正成為學習的主人,不斷完善自己的知識體系,提升獲取知識的水平,嘗試合作學習的快樂,體驗成功的喜悅.四、教學目標1.理解拋物線的定義,掌握拋物線的標準方程及其推導.明確拋物線標準方程中p的幾何意義,能解決簡單的求拋物線標準方程問題.2、通過對拋,物線和橢圓、雙曲線離心率的比擬,體會三種圓錐曲線內在的區(qū)別和聯系.3、熟練掌握求曲線方程的根本方法,通過四種不同形式

4、標準方程的比照,培養(yǎng)學生分析、歸納的水平.4.營造親切、和諧的氣氛,以“趣激學.引導學生用運動變化的觀點發(fā)現問題、探索問題、解決問題,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,體會數學的簡捷美、和諧美.培養(yǎng)合作學習的意識,體會成功帶來的喜悅.開展數學應用意識,熟悉數學的應用價值.五、教學重點和難點教學重點：拋物線的定義及其標準方程的推導.通過學生自主建立直角坐標系和對方程的討論選擇突出重點.教學難點：拋物線概念的形成.通過條件e1的畫法設計,標準方程與二次函數的比擬突破難點.六、教學過程設計1 .設置情景,導入新課借助多媒體先給出一張姚明的圖片.此時學生的興趣來啦！師：姚明是我們中國人的驕傲,我們要向他學習！大家都

5、知道姚明的投籃非常精準！為什么呢？生：天賦、身高！生：勤奮練習！再給出兩張姚明的圖片生：與投籃時的弧線有關！生：這弧線是拋物線！師：對！姚明有許多優(yōu)越的先天條件,同時好的技術也是一個關鍵的因素,今天我們就著手研究這個內容.進而引出本節(jié)研究的課題：拋物線及其標準方程【學情預設】學生被教師設置的情景所吸引,學習的熱情高漲.【設計意圖】一個引人入勝的開頭會拓寬學生思路,尊重學生的生命活動,激發(fā)興趣,陶冶情操,大大提升教學效率.2 .引導探究,獲得新知師：在初中我們已經從函數角度學過拋物線,那么,這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學習拋物線.師:前面,我們學習了橢圓和雙曲線的相關知識,那

6、么它們的聯系和差異是什么？生：定義不一樣！2222生：方程！橢圓是341,雙曲線是與41.abab師：還有嗎？生：橢圓是封閉的,雙曲線是開放的.師：這只是圖象不同,為什么會這樣呢？生：第二定義！就是它們到定點的距離與到定直線的距離的比等于一個常數！生：這個常數是離心率e!師：對啊！這是定性上的,定量上有不同嗎？生：離心率e不同,橢圓離心率e的范圍是0e1,雙曲線離心率e的范圍是e1o師：對了,e可看成是它們的相同點,又是不同點！翻開幾何畫板e=(|PF|/d)=2.07師：現在我慢慢拖動,大家認真觀察圖象.生：0e1是橢圓,e1是雙曲線.師：但你們有沒觀察到e1時的圖象？生：拋物線！【學情預設

7、】學生認真觀察圖象的變化,認知e1的圖象就是拋物線.【設計意圖】不僅回憶了橢圓與雙曲線的相關內容,而且為如何畫拋物線奠定堅實根底.師：這拋物線是怎么畫出來的啊！課堂頓時一片寂靜師：那這條拋物線與什么有關？眾生：e1!師：e1是什么意思？生：到定點的距離等于到定直線的距離！師：答復得很好！那你們能據此設計一種方案,畫出這樣的點嗎？一段時間后,讓學生匯報自己的設計方案,并用實物投影儀展示學生所畫的圖形,師生共同就方案的可行性進行論證.在直線PF上找特殊點在第一象限找特殊點在第一象限找所有【活動設計】前后學生組成四人小組,探討畫圖方案【教師活動】教師以平等的身份介入學生的討論中,并且關注：1 .學生

8、在知識認知與情感開展方面的迷惑,及時引導鼓勵；2 .關注每個人的活動情況,做到全員參與,從同學們的探究中,了解學生對知識理解的不同程度,思考的不同方向,對有代表性的方案注意收集；3 .了解學生探究的進展,把握課堂節(jié)奏.【學情預設】學生可能找到個別點,教師應指導學生設計好如上圖中的方案.【設計意圖】著重培養(yǎng)學生合情推理與邏輯思維水平,增強學生的學習興趣,增強學生的自信心師：同學們的設計讓我們看到了這條曲線上的一個點,那么怎么畫滿足e1的圖象呢？課堂又一片寂靜出示預先準備的圓錐曲線教具師：現在我介紹這個教具的用法,將直尺與定直線重合,豎直固定在黑板上,再將磁鐵固定在定點上,拉緊白線,就可以畫出來了

9、.誰上來試試？兩位學生積極上臺板演師：這兩位同學表現非常好！這就是我們見過的拋物線！【活動設計】兩位學生上臺演示教具畫拋物線的過程【學情預設】教師應先介紹教具的使用方法,然后學生嘗試.在嘗試的過程中,學生可能會遇到困難,教師應給予指導【設計意圖】表達數學實踐在數學學習中的地位和作用,同時教師應多鼓勵學生,多引導學生間進行合作交流,培養(yǎng)合作學習的意識,體驗成功帶來的喜悅師：接下來我也來演示下拋物線的形成過程.翻開幾何畫板軟件_JCP|PF|3.68厘米3.68厘米師：認真觀察P點的運動過程,你們有什么發(fā)現？利用幾何畫板軟件同步動態(tài)演示生：|AP|PC和|AP|PF等于|AC,所以點P在運動時,C

10、P始終等于|PF師：這位同學觀察很敏銳,直接抓住關鍵地方！師：那這樣畫出來的圖象也是？眾生：拋物線！師：很好！【活動設計】利用幾何畫板軟件演示拋物線的形成過程【學情預設】學生驚訝！計算機軟件居然能演示拋物線形成的過程,學生學習的興趣再次調動起來！,表達數學實驗在學習數學中的應用價【設計意圖】強調“在操作中促進學習值,同時激發(fā)學生學習計算機知識的興趣.至此本節(jié)的難點得以突破.師：以前我們是用描點法畫出拋物線,那今天我們怎么畫？眾生：教具,電腦師：現在變換教具的位置,那么畫出的圖象還是拋物線嗎？眾生：是.師：這說明了什么？生：畫拋物線與位置無關.師：所以今天我們就巧妙地利用幾何知識和計算機等方式畫

11、出了整個圖象.師：現在你們就可以歸納一下拋物線的定義了！生：到點F的距離和到直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.師：這樣歸納完整嗎？生：應該說,平面內到一個定點F和到一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.生：還要注意定點不能在定直線上.師：為什么??？師：如果這樣,就只能找到一個點.師：說得很好！這里F叫做拋物線的焦點,定直線L叫做拋物線的準線.【學情預設】學生間合作交流,完成對拋物線定義的歸納.【設計意圖】著重培養(yǎng)學生分析、歸納等水平.三.深入探索,推導方程師：接下來你們試試推導拋物線的方程？簡單回憶求曲線方程的方法.一段時間后,實物投影儀展示學生探討的結果.分組討論,集中探索1 .以

12、K為原點,定直線所在的直線為y軸建立平面直角坐標系,此時得方程為：2 2y2pxpp02 .以F為原點,過F且垂直于定直線F的直線為x軸建立平面直角坐標系,此時得方程：22y2pxpp03 .以垂線段KF的中點為原點,KF所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,此時得方程：2y2pxp0師：哪個好呢?生：方案3所得的方程更簡潔！師：我們就把它叫做拋物線的標準方程,注意這里標準的標準是頂點在原點,圖象關于x軸對稱.【活動設計】以原來的四人小組為單位,討論建立直角坐標系的方案,一段時間后,各組交流,對可行的方案進行驗證.【學情預設】可能出現的情況如上.假設只出現第一種和第二種方案,教師要適時引導出現第

13、三種方案；假設直接出現第三種方案,教師就引導學生歸納拋物線的標準方程.【設計意圖】通過有啟發(fā)性的活動設計和層層深入的問題設置,使學生在分析、探究、反思和歸納中,不斷獲得解決問題的方法.師：現在請同學們增大點F到直尺L的距離,重復剛剛的實驗,比擬一下,拋物線有什么變化？再縮小這個距離試一試.生：點F到直尺L的距離發(fā)生變化,拋物線開口也發(fā)生變化.師：觀察很準確！這說明了什么？生：焦點到準線的距離是拋物線的一個重要的幾何特征.師：說得非常好！師：接下來看課本的一條拋物線,試將你們的課本逆時針旋轉90再觀察,會有什么發(fā)現？生：x軸和y軸對調了生：還有開口向上了！師：同學觀察得很仔細！那么你們能推出它的

14、方程嗎？生：將y22Px中的x和y對調就行了,就是x22py!師：大家在等式兩邊同除2P看看!生：y2x2,哦,是二次函數形式!2p師：對了！這就是我們熟悉的二次函數了!師：那再逆時針旋轉90：,怎么求？生：和y22Px圖象關于y軸對稱,將x替換x就行,就是y22px!師：再逆時針旋轉90呢?眾生：和x22py圖象關于x軸對稱,將y替換y就行,就是x22py!生：從y22pxp0的形式上,方程的一次項決定焦點的位置.生：還有一次項系數符號決定開口方向,而且可以迅速算出焦點坐標為衛(wèi),0和2準線方程為xp.師：還有嗎?生：拋物線標準方程和橢圓、雙曲線的標準方程不同的是：確定拋物線只要一個自由量p,

15、而確定橢圓和雙曲線那么需要兩個自由量.師：觀察很敏銳,分析很透徹,很好！【學情預設】通過老師的層層引導,學生自主完成計算機中的表格的內容,認清拋物線和二次函數圖象的聯系,認清拋物線標準方程的各種形式.【設計意圖】引導學生透過現象看本質,不斷提升分析、總結與歸納等水平,也為分析例題和解決實際應用問題奠定理論根底.4 .指導應用,鼓勵創(chuàng)新師：接下來我們運用上述所學到的知識來解決一些問題,如：拋物線的標準方程是y212x,現在請你們說出它的焦點坐標和準線方程.生：方程是關于x的一次項,系數是負的,所以焦點在x軸上,開口向左,所以焦點坐標是3,0,準線方程是x3.再看一道：拋物線方程是y12x2,請說

16、出它的焦點坐標和準線方程.生：焦點坐標是0,3.師：是這樣嗎？生：二次項系數不為1,所以要先化成標準方程！應該先變成x2工y再求.12師：太好了！所以解題時不要張冠李戴！結果算出來了嗎？眾生：焦點坐標是0,準線是y工.4848【設計意圖】穩(wěn)固四種方程的形式及曲線特征,熟悉相關公式.強調解決拋物線方程問題時要先轉化為標準方程.師：現在我們回到姚明的這副圖,有一次姚明投籃時,測得投籃的軌跡是拋物線,請看右邊畫的圖形,拋物線最高點離底面距離為4m,籃框高為3m,籃框中央離最高點的水平距離為2m,怎么求投中時拋物線的方程？生思考師：這是一道實際生活問題！我們如何將這個問題轉化成數學問題呢？生：建立直角

17、坐標系！師：那怎么建立啊？生：這里應該以點O為坐標原點,OA所在直線為y軸建立坐標系,這樣拋物線就在x軸下方,直接設x22pyp0,又B2,1,那么p2,方程就是x24y!師：很好！接著我們還可以算出？生：只要知道姚明的身高,我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離.師：非常好！【學情預設】當遇到實際應用題,學生可能會感到困惑,但在教師的引導下,利用掌握的相關知識解決了實際生活問題.【設計意圖】設計一道求投籃軌跡的方程的例題,不僅與開頭遙相照應,而且可以穩(wěn)固新知識,加深學生的數學應用意識,讓學生感受數學的價值,體會數學來自生活,又應用于生活,效勞于生活.5 .小結概括,深化熟悉師：今天我們學習了

18、什么內容？生：可以巧妙地利用幾何知識畫出拋物線.生：知道了拋物線的標準方程,它的頂點在原點,焦點落在對稱軸上,有四種形式.師：這是知識方面的.我們還學到了哪些數學思想方法？生：轉化思想,求解拋物線方程問題時要特別注意先化成標準方程.師：還有嗎？生：從橢圓和雙曲線中e的變化研究到拋物線,實際是用了類比的方法.生：如果我們做生活的有心人,就會發(fā)現數學與生活實際是密切相連的.師：很好！今天我們學習的內容雖然不多,但是從知識、水平、思想與應用等方面都理解和體驗了數學的奧秘！【學情預設】學生總結出在知識、數學思想等方面的收獲.【設計意圖】擺脫傳統教學中教師小結的做法,讓學生自己總結,加深對本節(jié)課內容的熟悉.6 .布置作業(yè)課本P1191、2、3、4板書設計拋物線及其標準方程1 .拋物線的定義2 .拋物線的標準方程3 .應用與小結建系方策一建系方案三建系方案二例題練習七、教學反思本節(jié)是在學生學習了橢圓、雙曲線之后,因此在教學設計中,應注意充分調動學生已有的知識,引導學生把新舊知識有機融合,掌握知識的系統結構.時時與前兩種曲線進行比擬,不斷復習學生已經理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟.為了突破本節(jié)課的難點一一拋物線概念的形成.在教學設計中,注重設計三個活動：第一個活動讓學生