第2章一元函數(shù)微分學(xué)

1、第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義1導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域有定義，若極限存在，即在可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)存在，左右導(dǎo)數(shù)存在相同；2.幾何意義 導(dǎo)數(shù)為切線斜率（二）單側(cè)可導(dǎo)與雙側(cè)可到的關(guān)系在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)均存在且相等（三）微分的定義、幾何意義以及可微、可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系1微分的定義 是是比高階的無窮小，可微函數(shù)y=在點(diǎn)處的微分是該函數(shù)在點(diǎn)處函數(shù)增量的線性主要部分2.微分的幾何意義是曲線y=在點(diǎn)處相應(yīng)于自變?cè)隽康目v坐標(biāo)的增量微分是曲線y=在點(diǎn)處切線相應(yīng)于自變?cè)隽康目v坐標(biāo)的增量3.可微、可導(dǎo)及連續(xù)之間的關(guān)系在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處可微 在點(diǎn)處連續(xù)但連續(xù)不一定可導(dǎo)、可微y

2、=在點(diǎn)處可微時(shí)dy=（四）函數(shù)的區(qū)間上的可導(dǎo)性，導(dǎo)函數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)在區(qū)間上的可導(dǎo)性若在開區(qū)間每一點(diǎn)都可到，則在開區(qū)間可導(dǎo)，又在端點(diǎn)可導(dǎo)，則在閉區(qū)間可導(dǎo)2.若在區(qū)間可導(dǎo)，對(duì)于任意x在區(qū)間內(nèi)，都有對(duì)應(yīng)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)，記作3.二階導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) n階導(dǎo)數(shù)N階導(dǎo)數(shù)定義若在處n階可導(dǎo)，則在的某領(lǐng)域比具有一切比低于n階的導(dǎo)數(shù)（五）奇偶函數(shù)與周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)為奇函數(shù)為偶函數(shù)；為偶函數(shù)為奇函數(shù)；不能反推以T為周期也以T為周期二、按定義求導(dǎo)數(shù)及其適用的情形（一）按定義求導(dǎo)數(shù)（二）按定義求導(dǎo)數(shù)適用的情形情形1，除了常數(shù)及某些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式外，均可按定義導(dǎo)出情形

3、2，求導(dǎo)法則不能用的情形，不知道是否可導(dǎo)情形3，求某類分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（三）利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 其中三、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則與復(fù)合函數(shù)微分法則（一）基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表與求導(dǎo)法則1基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表 2.求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則冪指數(shù)函數(shù)求導(dǎo) 反函數(shù)求導(dǎo) 隱函數(shù)求導(dǎo) 變限積分求導(dǎo) 分段函數(shù)的求導(dǎo)（二）導(dǎo)數(shù)與微分的四則運(yùn)算法則（三）復(fù)合函數(shù)的微分法則（四）初等函數(shù)求導(dǎo)法利用上述三種方法綜合運(yùn)用四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出的微分法則（一）冪指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法1.將表成后求導(dǎo)2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求乘積的導(dǎo)數(shù)或微分很方便 先取

4、絕對(duì)值，再取對(duì)數(shù)冪指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式也可用二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法推出（二）反函數(shù)求導(dǎo)法 （三）變限積分的求導(dǎo)法設(shè)在閉區(qū)間連續(xù)，在閉區(qū)間可導(dǎo)（四）隱函數(shù)微分法設(shè)有二元方程F（x，y）=0，若存在函數(shù)y=y（x）使得F（x，y（x）=0，對(duì)區(qū)間上任何x成立，則稱y=y（x）為方程F（x，y）=0在區(qū)間上確定的隱函數(shù)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則五、分段函數(shù)求導(dǎo)法1.按求導(dǎo)法則分別求分界點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)2.按定義求分界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或左右導(dǎo)數(shù)3.分界點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn)時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限值（一）按求導(dǎo)法則分別求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù) （二）按定義求分界點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或左右導(dǎo)數(shù)上述極限存在且相當(dāng)，則（三）分界點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn)時(shí)，求

5、導(dǎo)函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限值可導(dǎo)且連續(xù)，六、高階導(dǎo)數(shù)及n階導(dǎo)數(shù)的求法（一）歸納法 逐一求出前幾階導(dǎo)數(shù)，觀察規(guī)律性寫出的公式（二）利用簡(jiǎn)單得初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式（1） （2） （3） （4）（5） (6) (三)分解法1.有理函數(shù)與無理函數(shù)的分解2.三角函數(shù)的分解（利用三角函數(shù)恒等式及有關(guān)公式）（四）由f（x）在x=處的泰勒公式的系數(shù)或冪級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)求七、微分中值定理(一)極值的定義 極小值、極大值 與左右兩邊的比較，還沒涉及導(dǎo)數(shù)（二）微分中值定理及其幾何意義1.費(fèi)馬定理及其幾何意義 在x=處可導(dǎo)且取得極值，則導(dǎo)數(shù)為0，為駐點(diǎn)，駐點(diǎn)切線與x軸平行2.羅爾定理及其幾何意義在點(diǎn)切線平行于x軸3.拉

6、格朗日中值定理及其幾何意義（微分中值定理）在點(diǎn)切線平行于割線4.柯西中值定理（三）幾個(gè)微分中值定理之間的關(guān)系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況八、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（一）函數(shù)為常數(shù)的條件與函數(shù)恒等式的證明1函數(shù)為常數(shù)的條件 導(dǎo)數(shù)恒為02.兩個(gè)函數(shù)差為常數(shù)的條件 導(dǎo)數(shù)相等3.兩個(gè)函數(shù)恒等的條件，導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，存在一點(diǎn)使得兩值相等（二）函數(shù)單調(diào)性充要判別法1.函數(shù)單調(diào)性的定義 單調(diào)增加、單調(diào)減少、單調(diào)不增、單調(diào)不減2.函數(shù)單調(diào)性判別定理及其幾何意義單調(diào)不減 導(dǎo)數(shù)大于等于0；單調(diào)增加，導(dǎo)數(shù)大于等于0，區(qū)間內(nèi)，不存在導(dǎo)數(shù)等于0的情況3.幾何意義單調(diào)增加與x軸

7、銳角；單調(diào)減少與x軸鈍角（三）極值點(diǎn)充分判別法1.極值第一充分判別定理及其幾何意義左導(dǎo)數(shù)小于0，右導(dǎo)數(shù)大于0，極小值主要考察函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)，因?yàn)椴豢蓪?dǎo)點(diǎn)有可能是函數(shù)的極值點(diǎn)2極值第二充分判別定理及其幾個(gè)意義幾何意義結(jié)合第一充分判別定理分析 二階導(dǎo)數(shù)小于0，一階導(dǎo)數(shù)由大于0到小于0，極大值（四）凹凸性的定義與充要判別法1.凹凸的定義2.凹凸性充要判別定理及其幾何意義 3. （五）觀點(diǎn)的定義與充分判別法1.拐點(diǎn)的定義，在的左右側(cè)凹凸性相反，在為拐點(diǎn)2.拐點(diǎn)的充分判別定理 連續(xù)，二階可導(dǎo)，且二階導(dǎo)數(shù)在反號(hào) 或二階導(dǎo)數(shù)等于0，三階導(dǎo)數(shù)不等于0（六）利用導(dǎo)數(shù)做函數(shù)的圖形1、定義域，奇偶性、周期性、剪短點(diǎn)

8、2、一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)等于3、漸近線 九、微分學(xué)的幾何應(yīng)用與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用（一）平面曲線的切線1.用顯式方程表示的平面曲線2.用隱式方程表示的平面曲線（二）邊際與彈性1.邊際及其先關(guān)概念 邊際成本 邊際收益 邊際利潤(rùn)2.彈性及其相關(guān)概念需求函數(shù) 收益對(duì)價(jià)格的彈性 因?yàn)?注意彈性的絕對(duì)值問題，區(qū)別正負(fù)性十、一元函數(shù)的最大值與最小值問題（一）閉區(qū)間1.求出駐點(diǎn)，即一階導(dǎo)數(shù)為02.算出駐點(diǎn)的函數(shù)值3.有不可導(dǎo)點(diǎn)，算出不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值4.求出端點(diǎn)的函數(shù)值5.比較(二) 在區(qū)間可導(dǎo)且僅有唯一駐點(diǎn)的最大值和最小值的求法1通過一階導(dǎo)數(shù)左右兩端符號(hào)判斷2.通過二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性判定十一、一元函數(shù)的泰勒公式（一）帶皮亞

9、諾余項(xiàng)的n階泰勒公式（二）帶拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式十二、帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法（一）泰勒公式的唯一性這個(gè)定理稱為泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法1.直接求法2.間接求法四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算 替代變量法逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分十三、一元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用（一）利用泰勒公式求未定式的極限（二）用泰勒公式確定無窮小的階（三）利用泰勒公式證明不等式方法1，通過估計(jì)泰勒公式余項(xiàng)的大小來證明不等式方法2，通過函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的界估計(jì)一階導(dǎo)數(shù)的界來證明不等式（四）由泰勒公式的系數(shù)求（五）用泰勒公式證明函數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)存在滿足某種要求的特征點(diǎn)當(dāng)要求證明存在某點(diǎn)使得函數(shù)或高階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)取值滿足某等式或不等式

10、或具有某種其他要求的特征時(shí)，常常需要用泰勒公式，所求的點(diǎn)還常常是公式余項(xiàng)中出現(xiàn)的中間值十四、?？碱}型及其解題方法與技巧題型一、有關(guān)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念的命題題型二、用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的極限題型三、求各類一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分題型四、求變限積分的導(dǎo)數(shù)1. 求僅積分限含參變量x的變限積分的導(dǎo)數(shù)2. 求被積函數(shù)也含有參變量x的變限積分的導(dǎo)數(shù)題型五、求一元函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)題型六、用微分學(xué)的方法證明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式方法2，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式方法3，利用函數(shù)的最大值或最小值證明不等式方法4，利用函數(shù)圖形的凹凸性證明不等式題型七、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)1. 函數(shù)等于常數(shù)的證明2. 單調(diào)性與凹凸性的證明3. 討論函數(shù)的極值與拐點(diǎn)4. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)及其圖形的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)5. 用微分學(xué)知識(shí)作函數(shù)的圖形6. 利用函數(shù)的性態(tài)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)題型八、導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用題型九、微分中值定理命題及相關(guān)問題1. 費(fèi)馬定理型的中值命題2. 羅爾定理型的中值問題3. 與區(qū)間