邏輯代數(shù)與邏輯控制系統(tǒng)

1、 第第 六六 章章 邏輯代數(shù)與邏輯控制系統(tǒng)邏輯代數(shù)與邏輯控制系統(tǒng)開關(guān)代數(shù)或布爾代數(shù)開關(guān)代數(shù)或布爾代數(shù) 變量變量1“有輸入有輸入”“”“有輸出有輸出”“”“有有氣氣”“”“接通接通” 0“無輸入無輸入”“”“無輸出無輸出”“”“無無氣氣”“”“切斷切斷”一、基本邏輯運算：一、基本邏輯運算： 基本邏輯基本邏輯邏輯與邏輯與邏輯或邏輯或邏輯非邏輯非布爾函數(shù)布爾函數(shù)S=abcnS=a+b+c+nS=符號（我國）符號（我國） 運算式運算式11=11+1=1=010=01+0=0=101=00+1=100=00+0=0absabsas6-1邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)真值表真值表abS110010101000說明：兩個

2、以上信號同時輸入說明：兩個以上信號同時輸入 才有輸出才有輸出 兩個以上信號有任何一個兩個以上信號有任何一個 輸入時既有輸出輸入時既有輸出 有信號輸入時無輸出有信號輸入時無輸出 反相器反相器 無信號輸入時有輸出無信號輸入時有輸出 表 6-1a b c f0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1二、基本定律二、基本定律： 1、交換律、交換律: a+b=b+a ab=ba 2、結(jié)合律、結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c a(bc)=(ab) c 3、分配律、分配律:a(b+c)=ab+ac (a+b)(c+d)=ac+ad+

3、bc+bd三、形式定律三、形式定律： 1、吸收律、吸收律；a+(ab)=a; a(a+b)=a 2、展開律；、展開律；(a+b)(a+b)=a; ab+ab=a 3、反映律；、反映律；a+ab=a+b; a(a+b)=ab 4、德、德摩根定律（反相律）摩根定律（反相律）:ab=a+b, a+b=ab 5、重復律、重復律 a+a+a=a、ab+ab+ab=ab、aaa=a、 ababab=ab； 6、過渡律、過渡律: ab+ac+bc=ab+ac, (a+b)(a+c)(b+c)=(a+b)(a+c) 7、交叉換位律、交叉換位律: (a+b)(a+c)=ac+ab,ab+ac=(a+c)(a+b

4、) 8、逆相結(jié)合律、逆相結(jié)合律 （a+a=1、aa=0）；）； 9、否定之否定定律、否定之否定定律 a=a四、運算規(guī)律和對偶定理：四、運算規(guī)律和對偶定理： 1、運算定律：按非與或，先括號內(nèi)、運算定律：按非與或，先括號內(nèi),后括號外的順后括號外的順序序 2、對偶定律：邏輯代數(shù)存在或與、對偶定律：邏輯代數(shù)存在或與、0、1對偶互換性對偶互換性6-2 邏輯函數(shù)、真值表和基本邏輯門邏輯函數(shù)、真值表和基本邏輯門1、邏輯函數(shù)：、邏輯函數(shù)： 由邏輯變量及邏輯關(guān)系組成的邏輯代數(shù)式由邏輯變量及邏輯關(guān)系組成的邏輯代數(shù)式S=f(a,b,c)2、真值表：、真值表： 邏輯函數(shù)及邏輯自變量之間的全部數(shù)值羅列在一個表邏輯函數(shù)及

5、邏輯自變量之間的全部數(shù)值羅列在一個表中。中。3、基本邏輯門：、基本邏輯門： 具有基本邏輯功能的元器件（基本邏輯單元）具有基本邏輯功能的元器件（基本邏輯單元）.abff=a b=ab.T TVf=a b.aba b f0 0 00 1 01 0 01 1 10 0=0.0 1=0.1 0=0.1 1=1.+abff=a+bT Tf=a+baba b f0 0 00 1 11 0 11 1 10+0=00+1=11+0=11+1=0邏輯與邏輯或名稱 邏輯符號和邏輯關(guān)系 氣動元件回路圖真值表運算式abff=aI IVf=aaa f0 11 00=11=0abaa b S1 S20 1 0 10 0

6、0 11 0 1 00 0 1 0邏輯非雙穩(wěn)名稱 邏輯符號和邏輯關(guān)系 氣動元件回路圖真值表運算式10S1S2條件:a b=0,即兩者不能同時有輸入.bVS1S2記憶功能S1=Ka bb aS2=Ka bb a.4. 邏輯圖邏輯圖 邏輯圖：邏輯圖：將邏輯函數(shù)分解成若干基本邏輯門，再按邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)分解成若干基本邏輯門，再按邏輯函數(shù) 要求構(gòu)成邏輯圖。要求構(gòu)成邏輯圖。由此可作出其邏輯原理圖，如圖由此可作出其邏輯原理圖，如圖6-4所示。所示。 +ab圖6-4 f=(a+c)(b+c)邏輯原理圖+.(a+c)(b+c)c 6.3 邏輯代數(shù)法設計邏輯線路 控制系統(tǒng)的輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系稱為邏輯函數(shù)

7、。邏輯函數(shù)的表寫有兩種方法：與.或法，或.與法。 (1)與.或法 與.或法是將真值表中s=1的變量組中的各變量先求積，再求所有s=1的積式的和。在s=1的積和式中，變量為“1”，則取該變量的本身；變量為“0”，則取該變量的非。 (2)或.與法 或.與法是將真值表中s=0變量組中的各變量先求和，再求所有s=0和式的積。在s=0和積式中，變量為“1”，則取該變量的本身；變量為“0”，則取該變量的非。6-4 卡諾圖法設計邏輯線路卡諾圖法設計邏輯線路一、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)一、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)是一個既簡單又直觀的方法?？ㄖZ圖是用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)是一個既簡單又直觀的方法。卡諾圖

8、是真值表的變換，它比真值表更明確地表示出邏輯函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。真值表的變換，它比真值表更明確地表示出邏輯函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。使用卡諾圖可以直接寫出最簡邏輯函數(shù)避免了繁雜的邏輯代數(shù)運使用卡諾圖可以直接寫出最簡邏輯函數(shù)避免了繁雜的邏輯代數(shù)運算。算。卡諾圖是一個如同救生圈狀的立體圖形，為了便于觀察和研究，卡諾圖是一個如同救生圈狀的立體圖形，為了便于觀察和研究，將它沿內(nèi)圈剖開，然后橫向切斷并展開得到一個矩形圖形。將它沿內(nèi)圈剖開，然后橫向切斷并展開得到一個矩形圖形。 若自變量為一個，則卡諾圖上有兩個方格，自變量為若自變量為一個，則卡諾圖上有兩個方格，自變量為2個，則卡個，則卡諾圖上有四個方格，自變量為諾圖上有

9、四個方格，自變量為3個，有八個方格，個，有八個方格，方格數(shù)，方格數(shù)是自變量的可能排列組合數(shù)，即方格數(shù)為是自變量的可能排列組合數(shù)，即方格數(shù)為2（n為自變量的個數(shù)）為自變量的個數(shù)）個。圖個。圖6-5作出了自變量為作出了自變量為1 14 4個的卡諾圖。個的卡諾圖。a aaa aab abab abbbbaa aabc abccccabab abab ababc abcabc abcabc abcabcd abcdcdcdcdabab abab abcdcdabcd abcdabcd abcd abcd abcdabcd abcd abcd abcdabcd abcd abcd abcd由邏輯函數(shù)填卡

10、諾圖的方法是先將函數(shù)化成與或式，在卡諾圖由邏輯函數(shù)填卡諾圖的方法是先將函數(shù)化成與或式，在卡諾圖方格中，屬于函數(shù)式之與項的格子填上方格中，屬于函數(shù)式之與項的格子填上“1”，不屬于函數(shù)式之與，不屬于函數(shù)式之與項的格子填入項的格子填入“0”。因為有該項的格子表示該組函數(shù)傎為。因為有該項的格子表示該組函數(shù)傎為“1”。例：作出邏輯函數(shù)例：作出邏輯函數(shù)fabcabcabc的卡諾圖。的卡諾圖。由邏輯函數(shù)由邏輯函數(shù)fabcabcabc可知，該邏輯函數(shù)有三個變量，所以卡諾圖應有可知，該邏輯函數(shù)有三個變量，所以卡諾圖應有8個格子。按上個格子。按上述填寫卡諾圖的方法可作出卡諾圖如圖述填寫卡諾圖的方法可作出卡諾圖如圖

11、6-6。 有了卡諾圖便可直接由卡諾圖寫出邏輯函數(shù)的最簡形式。在列寫有了卡諾圖便可直接由卡諾圖寫出邏輯函數(shù)的最簡形式。在列寫最簡邏輯函數(shù)式時，也有兩種方法，即最簡邏輯函數(shù)式時，也有兩種方法，即“與或與或”式和式和“或與或與”式。式。a）由卡諾圖寫）由卡諾圖寫“與或與或”式邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)1、將卡諾圖上值為、將卡諾圖上值為“1”的格子分成若干組，分組的辦法：的格子分成若干組，分組的辦法：（1）相鄰的方格可劃為一組，所說的相鄰方格是指方格邊線相鄰的方格可劃為一組，所說的相鄰方格是指方格邊線共用，應指出的是卡諾圖的上、下兩邊是一個邊分開的，兩端邊共用，應指出的是卡諾圖的上、下兩邊是一個邊分開的，兩端

12、邊線也是一條線切開的。線也是一條線切開的。（2）每組取的方格數(shù)應按每組取的方格數(shù)應按2規(guī)律選取，且必須組成矩形（也規(guī)律選取，且必須組成矩形（也包括方形）。包括方形）。（3）每組方格數(shù)應盡量按上述規(guī)定多取，卡諾圖中任一方格每組方格數(shù)應盡量按上述規(guī)定多取，卡諾圖中任一方格均可被幾個不同的組重復使用。每組方格數(shù)取得越多，則函數(shù)的均可被幾個不同的組重復使用。每組方格數(shù)取得越多，則函數(shù)的邏輯表達式越簡單。邏輯表達式越簡單。cccabab abab ab0 0 1 10 0 1 0cccabab abab0 0 1 10 0 1 02、確定每組的、確定每組的“與與”函數(shù)。函數(shù)。確定的辦法是：凡是在該組中取

13、不確定的辦法是：凡是在該組中取不同值的自變量均被消去，余下的自變量相乘便得出該組的同值的自變量均被消去，余下的自變量相乘便得出該組的“與與”式。式。3、把各組寫成的、把各組寫成的“與與”式相加，就得出邏輯函數(shù)的最簡式相加，就得出邏輯函數(shù)的最簡“與與或或”式。式。根據(jù)上述原則，將卡諾圖根據(jù)上述原則，將卡諾圖6-6分成兩組，見圖分成兩組，見圖6-7。第一組的。第一組的“與與”式為式為，第二組，第二組“與與”式為式為ab，ac所以邏輯函數(shù)為所以邏輯函數(shù)為 facabcccabab abab ab0 0 1 10 0 1 0 由上述方法，也可將卡諾圖由上述方法，也可將卡諾圖6-6分組成如圖分組成如圖6

14、-8所示。所示。b）由卡諾圖寫）由卡諾圖寫“或與或與”式邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)由卡諾圖寫由卡諾圖寫“或與或與”式邏輯函數(shù)的方法與寫式邏輯函數(shù)的方法與寫“與或與或”式邏輯式邏輯函數(shù)的方法基本類似。函數(shù)的方法基本類似。1）把卡諾圖中具有）把卡諾圖中具有“0”的格子按上述原則分組。的格子按上述原則分組。2）寫出每組的）寫出每組的“或或”函數(shù)式，在同一組中自變量相反的消去，自函數(shù)式，在同一組中自變量相反的消去，自變量與格內(nèi)值相同的取原碼，不同的取反碼。并把其相加，得出變量與格內(nèi)值相同的取原碼，不同的取反碼。并把其相加，得出該組的該組的“或或”式，再將各組式，再將各組“或或”式相乘就得到邏輯函數(shù)最簡式相乘就

15、得到邏輯函數(shù)最簡“或與或與”式。式。第一組第一組“或或”式為式為a，第二組，第二組“或或”式為式為bc相乘后得最簡相乘后得最簡“或與或與”式邏輯函數(shù)為式邏輯函數(shù)為()fa bc二、卡諾圖法在邏輯線路設計中的應用二、卡諾圖法在邏輯線路設計中的應用 邏輯代數(shù)是設計邏輯線路的重要數(shù)學工具，而卡諾圖為邏輯邏輯代數(shù)是設計邏輯線路的重要數(shù)學工具，而卡諾圖為邏輯函數(shù)化簡提供了簡便方法，從整個邏輯控制系統(tǒng)來說，還需要有函數(shù)化簡提供了簡便方法，從整個邏輯控制系統(tǒng)來說，還需要有啟動信號（手動或自動）主控閥（雙氣控換向閥）及執(zhí)行機構(gòu)等，啟動信號（手動或自動）主控閥（雙氣控換向閥）及執(zhí)行機構(gòu)等，才能組成較完善的邏輯控

16、制系統(tǒng)。才能組成較完善的邏輯控制系統(tǒng)。下面舉例說明應用卡諾圖法設計邏輯控制中的問題。下面舉例說明應用卡諾圖法設計邏輯控制中的問題。 例例1、設某邏輯控制系統(tǒng)，它由兩個氣動缸、設某邏輯控制系統(tǒng)，它由兩個氣動缸A，B及四個按鈕及四個按鈕a，b，c，d組成，其動作要求是：組成，其動作要求是： （1）按鈕）按鈕 a接通：接通：A缸進，缸進，B缸退；缸退；（2）按鈕）按鈕 b接通：接通：B缸進，缸進，A缸退；缸退；（3）按鈕）按鈕 c接通：接通：A缸進，缸進，B缸退；缸退； （4）按鈕）按鈕 d接通：接通：A缸退，缸退，B缸退；缸退； （5）按鈕）按鈕 a，b都通：都通：A，B缸都退；缸都退； （6）按

17、鈕）按鈕a，b，c，d都不通：都不通：A，B兩缸保持原狀態(tài)。兩缸保持原狀態(tài)。 按上述設計要求，可列出它們相互關(guān)系的真值表，如表按上述設計要求，可列出它們相互關(guān)系的真值表，如表6-5所示。所示。 表表6-5輸輸 入入輸輸 出出abcdA0A1B0B1100001100100100100100101000110101100101000000000表中表中A0表示表示A缸退；缸退； A1表示表示A缸進；缸進； B0表示表示B缸退；缸退；B1表示表示B缸進。缸進。 由真值表可知，四個邏輯函數(shù)由真值表可知，四個邏輯函數(shù)A1，A0，B1，B0都包含有四個都包含有四個自變量自變量a，b，c，d，即，即 11

18、( , , , )Af a b c d02( , , , )Afa b c d13( , , , )Bf a b c d04( , , , )Bfa b c d為了利用卡諾圖設計邏輯線路，先根據(jù)真值表作出卡諾圖如圖為了利用卡諾圖設計邏輯線路，先根據(jù)真值表作出卡諾圖如圖6-9所示。所示。 cdcdcdabab abab abcdcd0 0 0 101cdcdcdabab abab abcdcd0 1 1 001A1A0cdcdcdabab abab abcdcd0 1 0 001cdcdcdabab abab abcdcd0 0 1 101B1B0圖6-9用用“與或與或”法由卡諾圖寫出最簡邏輯函數(shù)為：法由卡諾圖寫出最簡邏輯函數(shù)為： 0Abd1Aabc0Bad1Bcab卡諾圖中沒有確定值的空格是生產(chǎn)中不出現(xiàn)的情況，可以任意假定?？ㄖZ圖中沒有確定值的空格是生產(chǎn)中不出現(xiàn)的情況，可以任意假定。 根據(jù)寫出來的四個邏輯函數(shù)，可畫出氣動邏輯線路圖如圖根據(jù)寫出來的四個邏輯函