一元函數(shù)微積分學(xué)

1、 2.2 一元函數(shù)微積分學(xué)一元函數(shù)微積分學(xué) 2.2.1 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分1、極限函數(shù)、極限函數(shù)p=limit(F,x,a)、繪圖函數(shù)、繪圖函數(shù)plot；2、向量或矩陣求導(dǎo)指令：、向量或矩陣求導(dǎo)指令：diff1) Y = diff(X)：計(jì)算向量或矩陣的差分，若：計(jì)算向量或矩陣的差分，若X是向量，則是向量，則diff(X) 返回返回X(2)-X(1) X(3)-X(2) . X(n)-X(n-1)；若；若X是矩是矩陣，則陣，則diff(X) 返回返回X的各列差分矩陣的各列差分矩陣X(2:m,:)-X(1:m-1,:).如：如：x = 1 2 3 4 5; y = diff(x)其輸出結(jié)果為其

2、輸出結(jié)果為y = 1 1 1 12) Y = diff(X,n)：計(jì)算：計(jì)算n階向量或矩陣的微分階向量或矩陣的微分(或差分或差分)；如：如：x = 1 2 3 4 5; z = diff(x,2) 其輸出結(jié)果為其輸出結(jié)果為z = 0 0 0 3、符號(hào)求導(dǎo)指令、符號(hào)求導(dǎo)指令diff1) diff(S,v) 或或 diff(S,sym(v)：返回符號(hào)表達(dá)：返回符號(hào)表達(dá)式式S對(duì)自變量對(duì)自變量v的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；2) diff(S,n)：對(duì)于正整數(shù)：對(duì)于正整數(shù)n，求，求S的的n階導(dǎo)數(shù)；階導(dǎo)數(shù)；3) diff(S,v,n) 與與 diff(S,n,v)：返回符號(hào)表達(dá)式：返回符號(hào)表達(dá)式S對(duì)自變量對(duì)自變量v的

3、的n階導(dǎo)數(shù)，缺省階導(dǎo)數(shù)，缺省n時(shí)為求時(shí)為求1階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)、缺省數(shù)、缺省v時(shí)默認(rèn)變量時(shí)默認(rèn)變量x.4、diff(y)./diff(x)是求近似導(dǎo)數(shù)是求近似導(dǎo)數(shù) .dxdy例例1 求正弦函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。求正弦函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解：解：M文件程序處理如下：文件程序處理如下：syms x; f=sin(5*x);g=exp(x)*cos(x);df=diff(f)dg=diff(g,2)例例2 設(shè)函數(shù)，討論在處的左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)，討論在處的左、右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)。解：由若函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)存在的充要條件，考解：由若函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)存在的充要條件，考察在在點(diǎn)的

4、左右導(dǎo)數(shù)。察在在點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)。M文件程序設(shè)計(jì)如下：文件程序設(shè)計(jì)如下：syms x;diffleft=limit(abs(x)/x,x,0,left)diffright=limit(abs(x)/x,x,0,right)例例3 已知拋射線的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為已知拋射線的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為 求拋射體在時(shí)刻求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向。的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向。解：該問題的解決分為兩步，先求在時(shí)刻解：該問題的解決分為兩步，先求在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的的運(yùn)動(dòng)速度的大小大小 ，再求軌道的切線方向，即，再求軌道的切線方向，即(為切線的為切線的傾角傾角)，由此，由此M文件程序設(shè)計(jì)如下：文件程序設(shè)計(jì)如

5、下：syms t v1 v2 g;x=v1*t;y=v2*t-1/2*g*t2;dx=diff(x,t);dy=diff(y,t);v=sqrt(dx2+dy2) %運(yùn)動(dòng)速度的大小運(yùn)動(dòng)速度的大小tan=dy/dx %軌道的切線方向軌道的切線方向22121gttvytvx 22dtdydtdxv2.2.2 微分學(xué)基本定理微分學(xué)基本定理1、求導(dǎo)指令、求導(dǎo)指令diff；2、繪圖指令、繪圖指令plot；3、用符號(hào)運(yùn)算求解一般方程指令：、用符號(hào)運(yùn)算求解一般方程指令： solve(f)：解方程：解方程f；solve(f，x )：對(duì)變量：對(duì)變量x解方程解方程f.4、泰勒、泰勒(Taylor) 展式指令：展式

6、指令：taylor(f,n)：返回函數(shù)：返回函數(shù)f的的n-1階麥克勞林階麥克勞林（Maclaurin）展開式，其中）展開式，其中f為自變量為自變量v的的符號(hào)函數(shù)；符號(hào)函數(shù)； taylor(f,n,v,a) ：返回函數(shù)：返回函數(shù)f在在a點(diǎn)的點(diǎn)的n-1階泰勒階泰勒(Taylor)展開式，其中展開式，其中f為自變量為自變量v的符號(hào)函數(shù)，的符號(hào)函數(shù)，n, v,與與 a 可以省略即可以省略即taylor(f)指令，指令， 此時(shí)此時(shí)a=0、n默認(rèn)為默認(rèn)為6、v為為f中所確中所確定的符號(hào)變量定的符號(hào)變量. 5、符號(hào)替換指令：、符號(hào)替換指令：subs(S,old,new) 用新的符號(hào)變量或數(shù)值用新的符號(hào)變量或

7、數(shù)值變量替換表達(dá)式變量替換表達(dá)式S中舊的符號(hào)變量或表示中舊的符號(hào)變量或表示一個(gè)變量名的字符串一個(gè)變量名的字符串.詳細(xì)的應(yīng)用可見詳細(xì)的應(yīng)用可見Matlab help.例例1 驗(yàn)證拉格朗日驗(yàn)證拉格朗日(Lagrange)中值定理對(duì)函數(shù)中值定理對(duì)函數(shù)y=4x3-5x2=x-2在區(qū)在區(qū)間間a,b上的正確性。上的正確性。解：為解題方便，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：為解題方便，首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：syms x;y=4*x3-5*x2+x-2;dy=diff(y)輸出結(jié)果：輸出結(jié)果：dy=12*x2-10*x+1下面利用下面利用dy驗(yàn)證拉格朗日驗(yàn)證拉格朗日(Lagrange)中值定理，現(xiàn)取中值定理，現(xiàn)取a=0，

8、b=2進(jìn)行驗(yàn)證。進(jìn)行驗(yàn)證。a=0;ya=4*a3-5*a2+a-2; %求出求出a=0時(shí)函數(shù)值時(shí)函數(shù)值b=2;yb=4*b3-5*b2+b-2; %求出求出b=2時(shí)函數(shù)值時(shí)函數(shù)值eq=12*x2-10*x+1-(yb-ya)/(b-a)=0;eq=dy-(yb-ya)/(b-a)=0;mm=solve(eq,x);%求符號(hào)解求符號(hào)解mm=subs(mm,a,b,yb,ya,-1,1,yb,ya)%代值代值,求數(shù)值解求數(shù)值解例例 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1) (x-2)(x-3)(x-4) ，說明，說明f(x)=0有幾個(gè)實(shí)根，指有幾個(gè)實(shí)根，指出他們所在的區(qū)間，并求出所有根。函數(shù)曲線出他們

9、所在的區(qū)間，并求出所有根。函數(shù)曲線解：由羅爾解：由羅爾(Rolle)定理易知有三個(gè)根，且分別在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖定理易知有三個(gè)根，且分別在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖形如圖所示。形如圖所示。M文件程序設(shè)計(jì)如下文件程序設(shè)計(jì)如下x=0.5:0.1:4.5;y1=(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4); hold onplot(x,y1);%繪出原函數(shù)圖形繪出原函數(shù)圖形syms x;y=(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4);dy=diff(y);x=0.5:0.1:4.5;y2=subs(dy,x,x);plot(x,y2,-r); %繪出導(dǎo)函數(shù)圖形繪出導(dǎo)函數(shù)圖形再輸入以下命令：再輸入

10、以下命令：dy利用已求導(dǎo)數(shù)，則求的根利用已求導(dǎo)數(shù)，則求的根M文件程序?yàn)槲募绦驗(yàn)閑q=(x-2)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-3)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-4)+(x-1)*(x-2)*(x-3)=0;solve(eq,x)%求符號(hào)解求符號(hào)解例例3 Taylor級(jí)數(shù)計(jì)算器的使用。級(jí)數(shù)計(jì)算器的使用。函數(shù)函數(shù) taylortool格式格式 taylortool %該命令生成圖形用戶界面，顯該命令生成圖形用戶界面，顯示缺省函數(shù)示缺省函數(shù)f=x*cos(x)在區(qū)間在區(qū)間-2*pi，2*pi內(nèi)的圖內(nèi)的圖形，同時(shí)顯示函數(shù)形，同時(shí)顯示函數(shù)f的前的前N=7項(xiàng)的項(xiàng)的Taylor多

11、項(xiàng)式級(jí)多項(xiàng)式級(jí)數(shù)和數(shù)和(在在a=0附近的附近的)圖形通過更改圖形通過更改f(x)項(xiàng)可得不同項(xiàng)可得不同的函數(shù)圖形。的函數(shù)圖形。taylortool(f) %對(duì)指定的函數(shù)對(duì)指定的函數(shù)f，用圖形用戶界面顯示出用圖形用戶界面顯示出Taylor展開式。展開式。例例 taylortool( cos(x)再通過改變相關(guān)的參量，可得圖再通過改變相關(guān)的參量，可得圖 2.2.3 函數(shù)性態(tài)研究函數(shù)性態(tài)研究1、前面用過的極限指令、前面用過的極限指令limit、求導(dǎo)指令、求導(dǎo)指令diff、繪圖指令繪圖指令plot等；等；2、添加網(wǎng)格指令：、添加網(wǎng)格指令：grid on3、求一元函數(shù)局部極小值點(diǎn)指令：、求一元函數(shù)局部極小

12、值點(diǎn)指令：fmin x = fmin(fun,x1,x2)：x = fmin(fun,x1,x2,options)：4、ezplot(f,a,b)繪出函數(shù)圖像指令；繪出函數(shù)圖像指令；axis(a,b,c,d)限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍指令限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍指令.例例 1 求解函數(shù)求解函數(shù)f(x)=x3-6x2+12x+4的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)。的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)。本題在計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的圖形處理功能條件下，利用幾何關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)情況。首先求解函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，然后畫出它們圖像，最后利用圖像研究該函數(shù)的性態(tài)。本題在計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的圖形處理功能條件下，利用幾何

13、關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)情況。首先求解函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，然后畫出它們圖像，最后利用圖像研究該函數(shù)的性態(tài)。 M文件程序設(shè)計(jì)如下：文件程序設(shè)計(jì)如下：syms x;f=x.3-6*x.2+12*x+4;f1=diff(f,x)f2=diff(f,2)f1jie=solve(f1,x)%求方程的根求方程的根x=-3:0.5:7;y=subs(f,x,x); y1=subs(f1,x,x); y2=subs(f2,x,x); hold onplot(x,y);%繪制函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像plot(x,y1,-.k); %繪制函數(shù)圖像繪制函數(shù)圖像plot(x,y2,-r); %繪制函數(shù)圖像

14、繪制函數(shù)圖像grid on %加上網(wǎng)格，為方便觀察函數(shù)性態(tài)加上網(wǎng)格，為方便觀察函數(shù)性態(tài) 例例 4 利用利用Matlab對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) 的性態(tài)作以分析，的性態(tài)作以分析，并繪出函數(shù)圖像。并繪出函數(shù)圖像。 解：對(duì)于本函數(shù)有奇點(diǎn)；且不是奇和偶函數(shù)；無周期、無解：對(duì)于本函數(shù)有奇點(diǎn)；且不是奇和偶函數(shù)；無周期、無界。為了進(jìn)一步討論其它性態(tài)，現(xiàn)求出其一階、二階導(dǎo)數(shù)，界。為了進(jìn)一步討論其它性態(tài)，現(xiàn)求出其一階、二階導(dǎo)數(shù)，并研究函數(shù)的極值、拐點(diǎn)和凹凸性。并研究函數(shù)的極值、拐點(diǎn)和凹凸性。2)3(361xxysyms x;f=1+36*x/(x+3)2;dydx=diff(f);d2ydx=diff(f,2);zhu_x

15、=solve(dydx,x) %求解駐點(diǎn)求解駐點(diǎn)(x,y)zhu_y=subs(f,x,zhu_x)guai_x=solve(d2ydx,x) %求解二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)求解二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)guai_y=subs(f,x,guai_x)x1=zhu_x-5:1:zhu_x; %將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)x左半部分離散化左半部分離散化x2=zhu_x:1:zhu_x+5; %將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)將駐點(diǎn)橫坐標(biāo)x右半部分離散化右半部分離散化zhu_yL=subs(dydx,x,x1) %觀察駐點(diǎn)左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)觀察駐點(diǎn)左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)zhu_yR=subs(dydx,x,x2) %觀察駐點(diǎn)右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)觀察駐點(diǎn)右側(cè)

16、一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)x3= guai_ x-5:1:guai_x; %二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)左半部分離散化二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)左半部分離散化x4= guai_ x:1:guai_x+5; %二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)右半部分離散化二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)右半部分離散化guai_yL=subs(d2ydx,x,x3) %二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)左半部分的二階二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)左半部分的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)導(dǎo)數(shù)符號(hào)guai_yR=subs(d2ydx,x,x4) %二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)右半部分的二階二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)右半部分的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)導(dǎo)數(shù)符號(hào)f_left=limit(f,x,-3,left) %判斷在無定義判斷在無定義x=-3點(diǎn)處有無垂直漸點(diǎn)處有無垂直漸近線近線f_right

17、=limit(f,x,-3,right)f_min_inf=limit(f,x,-inf,right) %判斷在無窮遠(yuǎn)處有無水平漸判斷在無窮遠(yuǎn)處有無水平漸近線近線 f_plus_inf=limit(f,x,inf,left) ezplot(f,-30,30); %繪出函數(shù)圖像，如圖繪出函數(shù)圖像，如圖 axis(-30,30,-15,5); %限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍限定當(dāng)前坐標(biāo)軸的坐標(biāo)范圍2.4 定積分及應(yīng)用定積分及應(yīng)用1、符號(hào)積分命令、符號(hào)積分命令intint(fun)：求函數(shù)：求函數(shù)fun的不定積分；的不定積分；int(fun,var)：求函數(shù)：求函數(shù)fun關(guān)于變量關(guān)于變量var的不定的不

18、定積分；積分；int(fun, var, a，b,)：求函數(shù)：求函數(shù)fun的在的在a,b間的間的定積分或廣義積分；定積分或廣義積分；2、數(shù)值計(jì)算定積分、數(shù)值計(jì)算定積分quad， quad1，trapzquad(fun,a,b,tol)：fun為被積的函數(shù)名，為被積的函數(shù)名，a, b微積分上下限，微積分上下限，tol為精度，若缺省，其缺省值為精度，若缺省，其缺省值為為1.0e-6； quad(fun,a,b,tol,trace)：參數(shù)：參數(shù)fun,a,b,tol用法與上面相同，用法與上面相同，而輸入第五個(gè)非零參數(shù)而輸入第五個(gè)非零參數(shù)trace，是對(duì)積分過程通過被積函數(shù)上，是對(duì)積分過程通過被積函數(shù)上的圖像進(jìn)行跟蹤的圖像進(jìn)行跟蹤.對(duì)于對(duì)于quad使用自適應(yīng)步長(zhǎng)使用自適應(yīng)步長(zhǎng)Simpson法，而法，而quadl的調(diào)用格式的調(diào)用格式與與quad一致，但它使用一致，但它使用Lobbato算