帶電粒子在磁場中運動問題的化歸

1、 帶電粒子在磁場中運動問題的化歸帶電粒子在有界磁場中所做的勻速圓周運動的問題，由于較好的綜合了數(shù)學(xué)、物理知識，而成為歷年高考考查的重點。解決這類問題的基本思路雖然較為明了，但由于具體條件、情況復(fù)雜，方法繁多，使得此類問題成為難點。然而，筆者發(fā)現(xiàn)有相當數(shù)量的題型可以通過靈活運用“=2”來達到化歸統(tǒng)一的目的，從而找到相對確定的方法，降低試題的難度。下面就明確“=2”和化歸統(tǒng)一“圓運動”作具體闡述。 一、明確“=2” 帶電粒子沿垂直于磁場的方向進入有界磁場，其運動軌跡為一圓弧（優(yōu)弧或劣?。?，連接圓弧的兩端點（入射點、出射點）即得弦，而粒子在入射點或出射點的速度方向即為該圓弧的切線

2、，可見 表一：粒子運動與軌跡參量的對應(yīng)關(guān)系對象粒子的運動軌跡圓對應(yīng)參量入射、出射速度切線入射點、出射點弦 為了更準確的反映它們的關(guān)系，定義： 偏向角，即粒子沿偏轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)過的角度，反映在入射點與出射點的速度方向上； 回旋角，即粒子經(jīng)過圓弧所對的圓心角； 弦切角，即粒子的速度與“弦”所成的角。  如圖1所示，易證：=2。 二、化歸統(tǒng)一“圓運動” （一）空間問題 由表一可知，解決“圓運動”問題，應(yīng)充分關(guān)注“速度”的方向和入射點與出射點，以明確“切線、弦”，從而確定“軌跡圓”。 1典型的“切線

3、、弦”類型 例1  如圖2所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感強度為B，一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正方向的夾角為，若粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。  分析與解答  帶正的電粒子射入磁場后，由于受洛倫茲力作用而做勻速圓周運動，由左手定則可知，粒子沿順時針方向運動從x軸負半軸射出磁場。令出射點為M，則OM = L。由“切線、弦”可得圓心O，如圖3所示。  由幾何關(guān)系易知  ， 

4、0;     又因為洛倫茲力提供向心力，即  ，所以，    由、解得   。 點評  利用圓的切線、弦的性質(zhì)找準圓心，確定“軌跡圓”是該題得以解決的關(guān)鍵所在。 2已知入射方向及偏向角“”，可用“=2”來補弦，從而將問題化歸為“切線、弦”類型 例2  如圖4所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于x軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出，可在適當?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁

5、感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑（重力忽略不計）。  分析與解答   由于已知初速度與末速度的方向，可得偏向角=/2。設(shè)粒子由M點進入磁場，則由=2可沿粒子偏轉(zhuǎn)方向=/4來補弦MN，如圖5所示。 由“切線、弦”可得圓心O1，從而畫軌跡弧MN。 顯然M、N為磁場邊界上兩點，而磁場又僅分布在一圓形區(qū)域內(nèi)。欲使磁場面積最小，則弦MN應(yīng)為磁場邊界所在圓的直徑（圖5中虛線圓），即得   ，        

6、    由幾何知識，在中可知   ， 又因為    ， 所以，這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。 點評  運用“=2”來補弦，將此題化歸于“切線、弦”類型，順利得到粒子的運動軌跡，為觀察發(fā)現(xiàn)磁場區(qū)域之半徑與粒子運動軌跡的半徑的關(guān)系，使問題得以解決創(chuàng)造了條件。 例3   如圖6所示，在邊界為CD、EF的狹長區(qū)域內(nèi)，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙而向里，磁場區(qū)域?qū)挾葹閐，電子以不同的速率v 從邊界CD的S處沿垂直磁場方向射入磁場，入射方向與C

7、D的夾角為已知電子的質(zhì)量為m，帶電量為e。為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應(yīng)滿足什么條件？（不計重力）    分析與解答   由，可知當m、e、B一定時，速率v大則軌跡半徑R亦大。 設(shè)當電子以速率v0射入磁場時，其運動軌跡恰好與邊界EF相切，則有            且vSD即為偏向角，依據(jù)“=2”做vSD的角平分線SM即得弦。 運用“切線、弦”可得圓心O，從而畫出電子的軌跡（如圖7所示）。 &#

8、160;由圖7，運用幾何知識不難發(fā)現(xiàn)          由、解得     所以，為使電子能從EF邊界射出，電子的速率應(yīng)。 點評   有“切線、弦”的意識，發(fā)現(xiàn)隱含條件，抓住臨界專態(tài)，迅速而準確的做出軌跡、圖形，是求解該題的關(guān)鍵。  時間問題 因為帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由，可得?？梢娨鈳щ娏Ｗ釉诖艌鲋羞\動的時間問題關(guān)鍵是抓住回旋角。 1抓住回旋角“”，求解時間 例4  在真空中

9、半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標原點O處相切，磁場B03T垂直于紙面向里，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為的帶正電的粒子，已知粒子荷質(zhì)比為，則粒子在磁場中運動的最長時間t有多大？ 分析與解答  由可知，在v、一定時，若最大則粒子在磁場中運動的時間就最長，且其所對的弦也最長。然而入射點與出射點間的距離即弦長，所以粒子要在磁場中的運動時間最長，必定從O點進，而從M點出（如圖8所示）。  又因為 由弦SM和半徑R可作出粒子在磁場中的運動軌跡。 由圖易知   ， 所以，粒子在磁場中運

10、動的最長時間為  2由“=”，應(yīng)用偏向角求解時間 例5  如圖9所示，一束電子（質(zhì)量為m，電量為e）以速度v0沿水平方向由S點射入垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度為B，而寬度為d的勻強磁場。射出磁場時的速度方向與豎直邊界成30°，則穿過磁場所用的時間是_。  分析與解答  直接應(yīng)用求解，則需要畫軌跡，工作量較大，且對于填空題而言，這屬于無用功。 因已知初速度和末速度的方向，易得偏向角，若應(yīng)用“=”作為橋梁再應(yīng)用求解，則解題過程十分簡單。 所以，。 3由“=2”，應(yīng)用弦切角求解時間 

11、例6  如圖10所示，在第象限內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場。一對正、負電子分別以相同速率，沿與x軸成30°角的方向從原點射入磁場，則正、負電子在磁場中運動的時間之比為（   ）  A     B    C     D 分析與解答   由左手定則可知，正電子由原點O射入磁場后沿逆時針方向偏轉(zhuǎn)，而負電子則沿順時針方向偏轉(zhuǎn)。所以，正、負電子運動軌跡的弦切角分別為電子在O點的速度v與y軸正方向和與x軸正方向所成的角，即 ，        由及=2可得    ，故選“B”。 點評  如若由題條件知道弦切角，利用“=2”求解