第二章一元二次方程回顧與思考教學設計

1、第二章 一元二次方程回顧與思考一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在七年級和八年級已經(jīng)學習了一元一次方程、二元一次方程以及一次函數(shù)的相關(guān)知識及應用，在本章中，又學習了一元二次方程的相關(guān)解法，初步體會了一元二次方程在解決實際問題中的具體應用，具備了利用數(shù)學知識解決實際問題的能力；學生活動經(jīng)驗基礎：在相關(guān)知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了由具體問題抽象出數(shù)學模型的過程，初步積累了一定的數(shù)學建模方法；同時在以往的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的機會，具有一定的合作學習經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力.二、教學任務分析本節(jié)課是一元二次方程的復習課，對于本章的基礎知識，學生已大致掌握.本節(jié)

2、課以梳理、鞏固基礎知識為起點，重點解決在學生中存在的易錯點與混淆點；實際應用是方程建模思想的具體體現(xiàn)，學生往往感到有一定的難度，本節(jié)課以此為重點，從簡單的實際問題入手，逐步加深對建模思想的理解.為此，設置本節(jié)課的教學目標如下：1、知識與技能：經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學模型；能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題，幫助學生認識到運用方程解決實際問題的關(guān)鍵是確定題目中蘊含的等量關(guān)系；并且能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的意識和能力；了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會用配方法、公式法、分解因式法解

3、簡單的一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想；2、過程與方法：通過讓學生經(jīng)歷將多種實際問題抽象成數(shù)學問題的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學模型；通過小組合作學習，經(jīng)歷一題多解等過程，發(fā)展學生多角度思考問題的方法.情感與態(tài)度：通過對方程的認識、一題多解的思維展示，發(fā)展學生勇于展示自己的品質(zhì)；在解決富有挑戰(zhàn)性的問題的過程中，培養(yǎng)學生敢于直面困難、勇于挑戰(zhàn)的良好品質(zhì)，鼓勵學生大膽嘗試，體會成功的喜悅，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.三、教學過程分析本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：課前準備-構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)；第二環(huán)節(jié)：基礎知識重現(xiàn)；第三環(huán)節(jié)：情境中合作學習；第四環(huán)

4、節(jié)：鞏固提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié)：課前準備-構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)活動內(nèi)容：在授完本章新課知識后，讓學生重新回顧本章內(nèi)容，整理出本章的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，理清各板塊內(nèi)容間的聯(lián)系.此活動內(nèi)容在上課前一天布置，讓每一位學生都提前做好準備.上課時，選取有代表性的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡進行全班展示，其他同學對照自己的總結(jié)查缺補漏.同時，教師展示一下本章的框架，指出本節(jié)課的重點是：利用一元二次方程解決實際問題.活動目的：學生在整理本章知識結(jié)構(gòu)的同時，可以回顧本章的重點內(nèi)容，細細體會解一元二次方程的“轉(zhuǎn)化”思想，找尋利用方程解決實際問題的關(guān)鍵.活動的實際效果：基于對學生兩年來的不間斷訓練，絕大分學生可

5、以對本章的主要內(nèi)容以及注意點詳細地總結(jié)出來，只是呈現(xiàn)形式略微不同.但也有少數(shù)同學只是泛泛地停留在書本上的定義、黑體字上，對于更深入的內(nèi)容總結(jié)不到位，這部分同學在教學中往往也是需要特別關(guān)注的同學，需要我們教師從各方面來激發(fā)他們對數(shù)學學習的興趣.附部分學生的作業(yè)：學生A的本章知識結(jié)構(gòu) 問題情景- 元二次方程1、定義：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程. 直接開平方法 配方法 公式法 ax2+bx+c=0 (a0，b2-4ac0)的解為： 分解因式法2、解法：3、應用 ：其關(guān)鍵是能根據(jù)題意找出等量關(guān)系.本章的重

6、點：一元二次方程的解法和應用.本章的難點：應用一元二次方程解決實際問題的方法.學生B的本章知識結(jié)構(gòu)：本章的知識體系包括三大部分：（一）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c為常數(shù)，a0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.在這里應注意的問題是：只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的最高指數(shù)必須是2；(3)二次項系數(shù)不為0）（二）一元二次方程的解法：一元二次方程的常用解法有： 直接開平方法； 配方法； 公式法； 分解因式法.（注意：在運用配方法解一元二次方程時，一般先將二次項系數(shù)化為1；在運用公式法解一元二次方程時，必須先將方程化為ax2+bx+c=

7、0 (a0)的形式，同時判斷b2-4ac是否0，如果b2-4ac0，才可用公式求解）（三）一元二次方程的應用：花邊、道路寬度（P42 引例）；梯子滑動（P43 引例）；養(yǎng)雞場問題（P56 2）；古算題（P65 1）；簡單動點問題（P66 2）；利潤問題（P66 例2）（其關(guān)鍵是能找出題目中的等量關(guān)系，列出方程）本章的重點和難點是：一元二次方程的解法和應用.第二環(huán)節(jié)：基礎知識重現(xiàn)內(nèi)容：以投影形式展示一組基礎題目，內(nèi)容涉及一元二次方程的定義和解法.其中，1、2小題采取口答形式，第3、4小題對比來做，體會其中的方法，第5小題采取3個同學分別板演、其他同學糾錯、教師集中規(guī)范的方式來解決.1、當m 時，

8、關(guān)于x的方程(m1)+5+mx=0是一元二次方程.2、方程(m21)x2+(m1)x+1=0，當m 時，是一元二次方程；當m 時，是一元一次方程.3、將一元二次方程x2-2x-2=0化成(x+a)2=b的形式是 ；此方程的根是 .4、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應將方程變形為 ( )A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=9 C.(x+4)2=25 D.(x+4)2=75、解下列一元二次方程(1) 4x216x+15=0 (用配方法解) (2) 9x2=2x26x(用分解因式法解)(3) (x1)(2x)=1 (選擇適當?shù)姆椒ń?目的：上述這一組題目主要目的是鞏固對一元二次方程定義的理

9、解、熟練地解一元二次方程.其中，第1、2小題對比，加深學生對一元二次方程和一元一次方程定義的理解；第3、4小題均是對一元二次方程配方法掌握程度的檢驗，同時，這部分內(nèi)容所涉及的方法也是后續(xù)“二次函數(shù)”學習的基礎，此處，也為二次函數(shù)的學習奠定一定的基礎；第5小題設置三道小題，分別限定方法讓學生來解一元二次方程，讓學生熟練方程的解法.實際效果：對于第1題，學生普遍掌握比較好，但對于與之對比的第2題，有部分同學存在一定的問題，尤其是對于何時是一元一次方程，更是沒有思路，通過這兩道題的對比，使學生對方程的定義更加深了理解，也明確了判斷一個方程是何類方程時，不僅要關(guān)注未知數(shù)的次數(shù)，還要注意系數(shù)；對于第5小

10、題中的第（3）小題，部分學生直接用分解因式法來做，這也是本題設置的一個重要意圖：當方程中等式右側(cè)不為0時，不可以直接用分解因式法來做，而要先化成一般形式，再具體選用方法.通過這幾道題，讓學生關(guān)注了方程中的易錯點，對于今后的學習也作了部分鋪墊.第三環(huán)節(jié)：情境中合作學習內(nèi)容：在本環(huán)節(jié)中，選擇具有代表性的三類實際問題：利潤問題、簡單動點問題、周長一定的面積問題作為例題及小組合作學習的題目，其中的1、3小題作為例題，2、4小題作為小組合作學習的題目，仿照例題的分析方式小組合作完成，第5題作為師生互動的題目.選擇第1題作為例題規(guī)范板書，其余題目只需分析、列方程即可.對于第1題，可以從以下幾個方面提出問題

11、，幫助學生分析問題、解決問題：（1）成本為多少？（2）“如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支”在本題中的作用是什么？（3）“售價每上漲1元就少賣10支”的作用？（4）利潤的表達形式有哪幾種？（5）本題中的等量關(guān)系是什么？在用一種方法解決完本題之后，可以讓學生嘗試其它的思路，進行一題多解.對于第3題，可以從以下幾個方面入手分析：（1）題目中的等量關(guān)系是什么？（2）點P、Q移動的過程中，哪個量是相同的？（3）如何求出PCQ的面積？（4）如何求出RtACB面積？對于第5題，著重于第（4）（5）兩個小問題，需要借助于一定的經(jīng)驗加以解決.同時，此題是典型的二次函數(shù)最值問題，放在此處，給學生一

12、個直觀的感受.1、新竹文具店以16元/支的價格購進一批鋼筆，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/支的價格銷售，每月可以售出200支；而這種鋼筆的售價每上漲1元就少賣10支.現(xiàn)在商店店主希望銷售該種鋼筆月利潤為1350元，則該種鋼筆該如何漲價？此時店主該進貨多少？ABCPQ2、新新商場以16元/件的價格購進一批襯衫，根據(jù)市場調(diào)查，如果以20元/件的價格銷售，每月可以售出200件；而這種襯衫的售價每上漲1元就少賣10件.現(xiàn)在商場經(jīng)理希望銷售該種襯衫月利潤為1350元，而且，經(jīng)理希望用于購進這批襯衫的資金不多于1500元，則該種襯衫該如何定價？此時該進貨多少？3、如圖，在RtACB中，C=90°，

13、BC=6m，AC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，已知點P移動的速度是20cm/s，點Q移動的速度是10cm/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的？ CBPQA4、如圖，在RtACB中，C=90°， AC=6m，BC=8m，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC，BC方向向點C勻速運動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半？ABCD5、新苑小區(qū)的物業(yè)管理部門為了美化環(huán)境，在小區(qū)靠墻的一側(cè)設計了一處長方形花圃(墻長25m)，三邊外圍用籬笆圍起，栽上蝴蝶花，共用籬笆40m，(1) 花圃的面積能達到180m2嗎？(2)

14、花圃的面積能達到200m2嗎？(3) 花圃的面積能達到250m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由(4) 你能根據(jù)所學過的知識求出花圃的最大面積嗎？此時，籬笆該怎樣圍？ABCD(5) 如果想在花圃中栽種兩種不同的蝴蝶花，需要在花圃中再加一道籬笆，若不想改變籬笆的總長度，那么，此時花圃的最大面積會是多少，籬笆該怎樣圍？ 目的：讓學生熟悉一元二次方程應用中的幾種主要模型，明確解決各類問題的關(guān)鍵是找尋題目中蘊含的等量關(guān)系；另外，這幾種問題情景也是在二次函數(shù)中頻繁出現(xiàn)的實際問題，若在此處有一個良好的基礎，勢必會對學習二次函數(shù)的學習起到事半功倍的效果.實際效果：將1、3兩道小題作為例題，

15、學生徹底理解透徹后，本章的基本應用學生已大致掌握，數(shù)學建模思想初步形成.在第2題的合作學習過程中，呈現(xiàn)出了不同的思維形式，各組針對“用于購進這批襯衫的資金不多于1500元”展開了討論，有的同學認為這是一個無用的條件；有的同學認為在解題之初，要結(jié)合進價來用；有的同學認為按常規(guī)思路解決完問題之后，用來確定最終的解的合理性.各種想法的提出，真正展現(xiàn)了學生開闊的思維，真正體現(xiàn)了合作學習的優(yōu)勢.第四環(huán)節(jié)：鞏固提高內(nèi)容：重點放在一元二次方程的實際應用上，內(nèi)容呈現(xiàn)形式多樣化，設置實際背景比較全面.其中3、4小題表面上看類似，實際有一定的差異，可以對比來看；第5小題為后續(xù)學習的二次函數(shù)作鋪墊；第7題為一道經(jīng)典

16、的中考真題，讓學生感受一下中考的氛圍.1、新園小區(qū)計劃在一塊長為40米，寬為26米的矩形場地上修建三條同樣寬的甬路(兩條縱向、一條橫向，且橫向、縱向互相垂直)，其余部分種花草.若要使甬路的面積占矩形場地面積的.則甬路寬為多少米？設甬路寬為x米，則根據(jù)題意，可列方程為 .2、由于家電市場的迅速成長，某品牌的電視機為了贏得消費者，在半年之內(nèi)連續(xù)兩次降價，從4980元降到3698元，如果每次降低的百分率相同，設這個百分率為x，則根據(jù)題意，可列方程： .3、王老師假期中去參加高中同學聚會，聚會時，所有到會的同學都互相握了一次手，王老師發(fā)現(xiàn)共握手435次，則參加聚會的同學共有多少人？設參加聚會的同學共有

17、x人，則根據(jù)題意，可列方程： .4、初三、三班同學在臨近畢業(yè)時，每一個同學都將自己的照片向全班其他同學各送一張以表示紀念，全班共送了1640張照片，如果設全班有x名學生，則根據(jù)題意，可列方程( )A.x(x+1)=1640 B. x(x1)=1640 C.2x(x+1)=1640 D.x(x1)=2×16405、某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，若每件商品售價為x元，則每天可賣出(35010x)件，但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%，商店要想每天賺400元，需要賣出多少件商品？每件商品的售價應定為多少元？6、用一塊面積為888cm2的矩形材料做一個無蓋的長方體盒子

18、，要求盒子的長為25cm，寬為高的2倍，盒子的寬和高應為多少？東北BA7、一艘輪船以20海里/時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以40海里/時的速度由南向北移動，距臺風中心20海里的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺風區(qū).當輪船到A處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向B處，且AB=100海里.若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風?若會，試求輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由.目的：對本節(jié)知識進行鞏固練習.實際效果：通過對這些題目的具體分析，學生再次經(jīng)歷在實際問題中抽象出一元二次方程的過程，發(fā)展他們分析問題、解決問題的意識和能力，也為下學期二次函數(shù)的學習奠定一定的基礎，體現(xiàn)了教材螺旋式上升的設計意圖.第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)內(nèi)容：師生共同總結(jié)本節(jié)課的收獲，內(nèi)容主要設計以下幾個方面：（1）整節(jié)課的感悟：如在解決概念性題目時，要注意領(lǐng)會概念的實質(zhì)含義；在計算時要做到細心；對于學過的內(nèi)容，自己要及時進行梳理等等；（2）解決問題時所用到的方法；（3）對于某個知識點的困惑；（4）通過本節(jié)課的學習，自己的最大收獲.目的：關(guān)注學生對數(shù)學知識的理解