外接球問(wèn)題典型例題

1、在三棱柱ABC ABQ中，已知AA 平面ABC, AA 2,BC 2賦BAC ,此三棱2柱各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則球的體積為（）A. 323B . I6C . 25D. 3i32【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直的性質(zhì)；球內(nèi)接多面體；球體積的公式【答案解析】A解析：解：直三棱 ABC ABQ的各頂點(diǎn)都在同一球面上，（如圖）， VABC中，？BAC P ,下底面 VABC的外心P為BC的中點(diǎn)，2同理，可得上底面VAiBiCi的外心Q為BiCi的中點(diǎn)，連接PQ，貝V PQ與側(cè)棱平行，所以PQ丄平面ABC再取PQ中點(diǎn)0,可得：點(diǎn)0到A,B,C,A,B,Ci的距離相等， 0點(diǎn)是三棱柱 ABC AEG外接球的球心 R

2、TVPOB 中,bp Jbc = 73，21PQ 二一AAi =1 ,2 OB = . BP2 + PO2 =2，即外接球半徑因此，三棱柱ABC ABQ外接球的球的體積為:V 二即 R3 = fp23 = 3；P故選：A.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì),可得三棱柱 ABC AEG外接球的球心是上下底面斜邊中點(diǎn)的連線段PQ的中點(diǎn).在直角 RTVPOB中，利用勾股定理算出OB的長(zhǎng)，即得外接球半徑R的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積.四面體 ABCD中，已知 AB=CD=29，AC=BD=34, AD=BC= 37，貝V四面體 ABCD勺外接球的表面積（）A. 25? B

3、 . 45? C . 50? D . 100?【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的外接球的表面積的求法；割補(bǔ)法的應(yīng)用ABCD 的四個(gè)【答案解析】C解析：解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以29, 34, 37為三邊的三角形作為底面，且以分別x， y， z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、咼分別為x，y，z 的長(zhǎng)方體，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，則有（2R） 2=x2+y2+z2=50 （ R為球的半徑），得R225，所以球的表面積為S=4 n R2=50 n .故選：C.【思路點(diǎn)撥】將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，通過(guò)求解長(zhǎng)方體的對(duì)角

4、線就是球的直徑, 然后求解外接球的表面積.已知正四面體的棱長(zhǎng)為 2，則它的外接球的表面積的值為 【知識(shí)點(diǎn)】球內(nèi)接多面體.【答案解析】3p解析：解：正 四面體擴(kuò)展為正方體，它們 的外接球是同一個(gè)正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，正方體的棱長(zhǎng)為:1;對(duì)角線長(zhǎng)為：.3，棱長(zhǎng)為.2的正四面體的外接球半徑為2所以外接球的表面積為【思路點(diǎn)撥】正四面體擴(kuò)展為正方體，它們的外接球是同一個(gè)球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)就是球的直徑，求出直徑即可求出外接球半徑，可求外接球的表面積.已知正三棱錐P ABC點(diǎn)P，A，B, C都在半徑為J3的求面上，若PA PB, PC兩兩互相垂直，則球心到截面 ABC的距離為【答案】3【點(diǎn)評(píng)】本題

5、主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求 解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。該題若直接利用三棱錐來(lái)考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱將 其 沿 對(duì) 角 線折 成 四 面 體使平面的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為中，1.A 根 據(jù) 題 意 ， 如 圖 ， 可 知，在又因?yàn)槠矫嫠?以 球 心 就 是, 所以球的體積為：正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為（)A81B . 16 C . 9D . 2744【答案】A【解析】設(shè)球的半徑為 R,則棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,R二（4- R） 2+ （呵 2,.r*球的

6、表面積為4n ?（點(diǎn)）2晉1 .故選：A一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積【答案解析】 旦解析：解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面SAC3與底面垂直，高SO為.3，如圖：其中OA=OB=OC=1SOL平面 ABC其外接球的球心在 SO上，設(shè)球心為 M OM=x則.廠X2x，得x= 3，.外接球的半徑 R=2：3，.幾何體的外接球的表面積33S=4 nX 4二丄.33【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特征；再求幾何體的外接球的表面

7、積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過(guò)圓心位置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題如圖，三棱錐P ABC中，ABC 90，它的三視圖如下，求該棱錐的（I）全面積；（U）內(nèi)切球體積；（川）外接球表面積.【答案解析】（1）48 12. 2 ; (2)36(4, 2)3343_2894解析：解：（1）由三視圖可知此三棱錐是：底面是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形ABC,頂點(diǎn)P在底面上射影是底面直角三角形斜邊中點(diǎn)E,且高為4的三棱錐側(cè)面PAB PAC勺高都是5,底面斜邊長(zhǎng) 6、2，所以全面積為：1 116 6 26 56、24 48 12.2:2 22(2)設(shè)內(nèi)切球球心O

8、,半徑r，則由VpABCVoABCVoPABVoPACVopbc得r，解得r=11116 6 448 12、23 23 2所以內(nèi)切球體積為288 43432894（3）設(shè)外接球球心M,半徑R,M在高PE所在直線上，因?yàn)?<3 2,所以R 4 2 2 R2,解得R7，所以外接球表面積為4【思路點(diǎn)撥】（1）三視圖的定義正確讀取三棱錐 P ABC中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系, 從而求得三棱錐的全面積（ 2）內(nèi)切球球心與三棱錐各頂點(diǎn)連線，把原三棱錐分割 成四個(gè)小三棱錐，利用等體積法求內(nèi)切球半徑。（3）分析外切球球心位置，利用已知的數(shù)量，求外切圓半徑。三棱錐A BCD的外接球?yàn)榍颍?0的直徑是AD，且

9、 ABC, BCD都是邊長(zhǎng)為1的等C12 8【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積【答案解析】A解析：因?yàn)榻孛鍮OC與直徑AD垂直，而B(niǎo)0二CO送，所以三角形BOC2為等腰直角三角形，其面積為-，而AD= 2，所以三棱錐A BCD2224的體積為1 -2，選A3 412【思路點(diǎn)撥】求棱錐的體積若直接利用所給的底面求體積不方便時(shí)，可通過(guò)換底面 法或補(bǔ)形法或分割法求體積，本題采取分割法求體積即把一個(gè)棱錐分割成兩個(gè)棱錐 的體積的和.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，俯視圖是一個(gè)等腰直 角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用、球的表面積SAC【答案解析】 魚解析：解：

10、由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的側(cè)面3與底面垂直，高SO為3，如圖： 其中OA=OB=OC=1SOL平面 ABC其外接球的球心在 SO上，設(shè)球心為 M OM=x則Jx7爲(wèi)x，得x=V，外接球的半徑 R=2，幾何體的外接球的表面積33S=4nX - = -.33【思路點(diǎn)撥】由三視圖解決幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確的判斷出原幾何體的基本形狀特 征；再求幾何體的外接球的表面積與體積時(shí)，能直接確定圓心位置的可通過(guò)圓心位 置求球的半徑，若圓心位置難以確定可考慮用補(bǔ)形法轉(zhuǎn)化為正方體或長(zhǎng)方體外接球 問(wèn)題已知A,B是球0的球面上兩點(diǎn)，/ AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐 O-ABC體 積的最大值為36，則球0的表面積為A. 36 n B.64 n C.144 n D.256 n【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn) C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐 O ABC的體 積最大，設(shè)球0的半徑為R，此時(shí)VO abc VC AOB 1 1 R2 R 1 R3 36，故R 6，3 26則球O的表面積為S 4 R2144，故選 C.已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都