四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問題

1、四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問題四邊形中的旋轉(zhuǎn)、折疊問題例題：如圖，在直角坐標(biāo)系中放入一個(gè)邊長OC為9的矩形紙片 ABCO將紙片翻折后， 點(diǎn) B 恰好落在 x 軸上，記為 B，折痕為 CE，已知 tanOBC 3 4（1）求 B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求折痕 CE 所在直線的解 析式例題：（1）如圖， ABCD 的對(duì)角線 AC 、BD 交于點(diǎn)O。直線 EF 過點(diǎn) O，分別交 AD 、BC 于點(diǎn) E、F求證： AE=CF 。（ 2）如圖，將 ABCD （紙片）沿過對(duì)角線交點(diǎn) O 的直線 EF 折疊，點(diǎn) A 落在點(diǎn) A 1 處，點(diǎn) B 落在點(diǎn) B1 處。設(shè) FB1 交 CD 于點(diǎn) G，A 1B1 分別交 CD、D

2、E 于點(diǎn) H、I。求證： EI=FG 。例題：（2012?德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為 4 的正方形紙片 ABCD ，點(diǎn) P 為正方形 AD 邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn) A 、點(diǎn) D 重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B 落在 P 處，點(diǎn) C 落在 G 處， PG 交 DC 于 H，折痕為 EF，連接 BP、BH （ 1）求證： APB= BPH ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) P 在邊 AD 上移動(dòng)時(shí)， PDH 的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（ 3）設(shè) AP 為 x，四邊形 EFGP 的面積為 S，求出 S 與x 的函數(shù)關(guān)系式，試問 S 是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由（2012?南

3、寧）如圖，已知矩形紙片 ABCD ，AD=2 ，AB=4將紙片折疊 ，使頂點(diǎn) A 與邊 CD 上的點(diǎn) E 重合，折痕 FG 分別與 AB，CD 交于點(diǎn) G，F(xiàn)，AE 與 FG 交于點(diǎn) O（ 1）如圖 1，求證： A，G，E，F(xiàn) 四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（ 2）如圖 2，當(dāng) AED 的外接圓與 BC 相切于點(diǎn) N 時(shí)，求證：點(diǎn) N 是線段 BC 的中點(diǎn)；（ 3）如圖 2，在（ 2）的條件下，求折痕 FG 的長解：（ 1）由折疊的性質(zhì)可得， GA=GE ，AGF= EGF ， DCAB ， EFG= AGF ， EFG= EGF ， EF=EG=AG ，四邊形 AGEF 是平行四邊形（ EF AG

4、 ，EF=AG ），又 AG=GE ，四邊形 AGEF 是菱形（2）連接 ON， AED 是直角三角形， AE 是斜邊，點(diǎn) O 是 AE 的中點(diǎn)， AED 的外接圓與 BC 相切于點(diǎn) N， ONBC，點(diǎn) O 是 AE 的中點(diǎn)， ON 是梯形 ABCE 的中位線，點(diǎn) N 是線段 BC 的中點(diǎn)（ 3）作 OM AD ，設(shè) DE=x ，則 MO= x，在矩形 ABCD 中， C=D=90°，故 AE 為 AED 的外接圓的直徑延長 MO 交 BC 于點(diǎn) N，則 ONCD，四邊形 MNCD 是矩形， MN=CD=4 ， ON=MN MO=4 x， AED 的外接圓與 BC 相切， ON 是

5、AED 的外接圓的半徑， OE=ON=4 x，AE=8 x，在 Rt AED 中， AD 2+DE2=AE 2， 22+x2=（8x）2，得 x=DE= ， OE=4 x= ， FEO AED ， = ，解得： FO= ， FG=2FO= 故折痕 FG 的長是 對(duì)應(yīng)練習(xí)1.（2012?泰安）如圖，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4 ，對(duì)角線 AC 的垂直平分線分別交AD 、AC 于點(diǎn) E、O，連接 CE ，則 CE 的長為（）2.（2012?泰安）如圖，菱形 OABC 的頂點(diǎn) O 在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn) A 在 x 軸上，B=120°，OA=2，將菱形 OABC 繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 1

6、05°至 OA BC的位置，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）3.（2012?泰安）如圖，將矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊，使點(diǎn) B 與 CD 的中點(diǎn)重合，若 AB=2，BC=3，則 FCB與 BDG 的面積之比為（）AEDF4.如圖，矩形 ABCD 中， E 是 AD 的中點(diǎn)，GBC將 ABE 沿 BE 折疊后得到 GBE，延長 BG 交 CD第 17于 F 點(diǎn)，若 CF=1，F(xiàn)D =2，則 BC 的長為 _5.矩形紙片 ABCD 的邊長 AB=4 ， AD=2 將矩形紙片沿EF 折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，折疊后在其一面著色（如圖） ，則著色部分的面積為（） (試題 82頁）6. （20

7、10山東濰坊）如圖，直角梯形ABCD中， AB BC ，AD BC ，BC AD ，AD 2 ，AB 4 ，點(diǎn) E 在 AB 上，將 CBE 沿 CE 翻折，使 B 點(diǎn)與 D 點(diǎn)重合，則 BCE 的正切值是 _(89 頁 )7.梯形中的對(duì)角線（ 88 頁）8.如圖，將正方形對(duì)折后展開（圖是連續(xù)兩次對(duì)折后再展開），再按圖示方法折疊，能夠得到一個(gè)直角三角形，且它的一條直角邊等于斜邊的一半這樣的圖形有【】(A)4 個(gè)(B)3 個(gè)(C)2 個(gè)(D)1 個(gè)9 如圖所示，把一長方形紙片沿MN 折疊后，點(diǎn) D，C 分別落在 D，C的位置若 AMD 36°，則 NMD 等于（A ）144°

8、 （B）126° （C）108° （D）72°AMDDBFNCC(第1010.一副三角板按圖1 所示的位置擺放 .將E DEF 繞點(diǎn)A（F ）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°后C（圖 2），測(cè)得 CG=10cm，則CDE兩個(gè)三角形重疊（陰影）部分的面積為D(A) 75cm 2GBA ( FBA ( F3) cm2(B) ( 2525圖 1圖 2(C) (2525cm2(第 8題)3)3cm2(D) (25503)3例題：在正方形 ABCD 的邊 AB 上任取一點(diǎn) E，作 EFAB 交 BD 于點(diǎn) F，取 FD 的中點(diǎn) G，連結(jié) EG、CG，如圖（ 1），易證 EG=C

9、G 且 EG CG.（1）將 BEF 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°，如圖（ 2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.（ 2）將BEF 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180°，如圖（3），則線段 EG 和 CG 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明 .解（1）EG=CGEGCG-(2分)（2）EG=CGEGCG-(2分)證明：延長 FE 交 DC 延長線于 M ，連 MG AEM=90° ， EBC=90° ， BCM=90° 四邊形 BEMC 是矩形 . BE=CM ， EMC=90° 又 BE=EF EF=CM EMC=90° ，F(xiàn)G=DG MG= FD=FG BC=EM ，BC=CD EM=CD EF=CM FM=D M F=45°又 FG=