剪力圖和彎矩圖4例題

1、剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示F FQQ (x) (x)和和M(x)M(x)的圖線。的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡(jiǎn)稱這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡(jiǎn)稱F FQQ圖和圖和MM圖。圖。 正彎矩畫(huà)在正彎矩畫(huà)在x軸下側(cè)，負(fù)彎矩軸下側(cè)，負(fù)彎矩畫(huà)在畫(huà)在x軸上側(cè)，即把彎矩畫(huà)在梁受軸上側(cè)，即把彎矩畫(huà)在梁受拉的一側(cè)。拉的一側(cè)。 繪圖時(shí)一般規(guī)定正號(hào)的剪力繪圖時(shí)一般規(guī)定正號(hào)的剪力畫(huà)在畫(huà)在x軸的上側(cè)，負(fù)號(hào)的剪力畫(huà)軸的上側(cè)，負(fù)號(hào)的剪力畫(huà)

2、在在x軸的下側(cè)；軸的下側(cè)； 例題例題1 1 圖所示，懸臂梁受集中力圖所示，懸臂梁受集中力F F作用，試作此作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖梁的剪力圖和彎矩圖解：解：1.1.列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程FxFQ)( (0 (0 x xl ) l ) FxxM)( (0 x (0 xl) l) 2.2.作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖由剪力圖和彎矩圖可知：由剪力圖和彎矩圖可知：FlMFFQmaxmax一、根據(jù)內(nèi)力方程作內(nèi)力圖一、根據(jù)內(nèi)力方程作內(nèi)力圖剪力方程剪力方程表示橫截面上表示橫截面上剪力剪力FQ隨橫截面位置隨橫截面位置x而變化的函數(shù)關(guān)系；而變化的函數(shù)關(guān)系；彎矩方程彎矩方程表示橫截面上

3、表示橫截面上彎矩彎矩M隨橫截面位置隨橫截面位置x而變化的函數(shù)關(guān)系。而變化的函數(shù)關(guān)系。例題例題2 2 簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。圖。解：解：1.1.求約束反力求約束反力由對(duì)稱關(guān)系，可得：由對(duì)稱關(guān)系，可得：qlFFByAy21最大剪力發(fā)生在梁端，其值為最大剪力發(fā)生在梁端，其值為qlFQ21max2.2.列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程qxqlqxFxFAyQ21)(222121921)(qxqlxxxFxMAy3.3.作剪應(yīng)力圖和彎矩圖作剪應(yīng)力圖和彎矩圖最大彎矩發(fā)生在跨中，它的數(shù)值為最大彎矩發(fā)生在跨中，它的數(shù)值為

4、MMmaxmax281ql例題例題3 3 簡(jiǎn)支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。簡(jiǎn)支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求約束反力求約束反力lFaFlFbFByAy,2.2.列剪力方程和彎矩方程列剪力方程和彎矩方程lFbFxFAyQ)( （0 xa0 xa） lFbxFxMAy)( (0 xa) (0 xa) ACAC段：段：CBCB段：段：lFaFlFbFFxFAyQ)( (axl) (axl) )()()(xllFaaxFxFxMAy (0 xl) (0 xl) 3.3.作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖圖 三Q圖M圖經(jīng)分析可得出經(jīng)分析可得出：剪力、彎矩剪力

5、、彎矩隨荷載變化的規(guī)律隨荷載變化的規(guī)律無(wú)無(wú) 荷荷 載載 區(qū)區(qū) 段：剪力圖水平段：剪力圖水平線；彎矩圖斜直線（剪力為線；彎矩圖斜直線（剪力為正斜向下，傾斜量等于此段正斜向下，傾斜量等于此段剪力圖面積）。剪力圖面積）。集中荷載作用點(diǎn)：剪力圖有集中荷載作用點(diǎn)：剪力圖有突變（突變方向與荷載方向突變（突變方向與荷載方向相同，突變量等于荷載的大相同，突變量等于荷載的大小）；彎矩圖有尖點(diǎn)（尖點(diǎn)?。?；彎矩圖有尖點(diǎn)（尖點(diǎn)方向與荷載方向相同）。方向與荷載方向相同）?？谠E表述：口訣表述：剪力圖剪力圖 沒(méi)有荷載沒(méi)有荷載水平線，集中荷載有突變。水平線，集中荷載有突變。彎矩圖彎矩圖 沒(méi)有荷載斜直沒(méi)有荷載斜直線線, 集中荷

6、載有尖點(diǎn)。集中荷載有尖點(diǎn)。例題例題4 4 簡(jiǎn)支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖。簡(jiǎn)支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫(huà)梁的剪力圖和彎矩圖。解：解：1.1.求約束反力求約束反力lMFlMFeByeAy,2.2.列剪應(yīng)力方程和彎矩方程列剪應(yīng)力方程和彎矩方程ABAB段：段：lMxFeQ)(（0 xl0 xl）CBCB段：段：eeAYMxlMMexFxM)( (axl)(axl)ACAC段：段：xlMexFxMAy)( (0 xa)(0 xa)3.3.繪出剪力圖和彎矩圖繪出剪力圖和彎矩圖 力偶荷載作用點(diǎn)：力偶荷載作用點(diǎn)：剪力圖無(wú)變化；彎矩圖剪力圖無(wú)變化；彎矩圖有突變（荷載逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，向上突

7、變，突有突變（荷載逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，向上突變，突變量等于荷載的大小）。變量等于荷載的大?。?。 口訣表述：口訣表述：剪力圖剪力圖 力偶荷載無(wú)影響。力偶荷載無(wú)影響。 彎矩圖彎矩圖 力偶荷載有突變。力偶荷載有突變。（）在均布荷載作用段，（）在均布荷載作用段， F FQQ圖是斜直線，傾斜方向與荷載指向相同圖是斜直線，傾斜方向與荷載指向相同(2)(2)無(wú)荷載作用區(qū)段，即無(wú)荷載作用區(qū)段，即q(x)=0q(x)=0，F(xiàn) FQQ圖為平行圖為平行x x軸的直線。軸的直線。(3)(3)在集中力作用處，在集中力作用處，F(xiàn)QFQ圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數(shù)值等圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數(shù)值等于該集中

8、力的大小。于該集中力的大小。(4)(4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQFQ圖是連續(xù)無(wú)變化。圖是連續(xù)無(wú)變化。2.2.彎矩圖與荷載的關(guān)系彎矩圖與荷載的關(guān)系 在均布荷載作用的區(qū)段，在均布荷載作用的區(qū)段，MM圖為拋物線。圖為拋物線。(2)(2)當(dāng)當(dāng)q(x)q(x)朝下時(shí)，朝下時(shí)，0)()(22xqdxxMdMM圖為上凹下凸。圖為上凹下凸。當(dāng)當(dāng)q(x)q(x)朝上時(shí)，朝上時(shí)，0)()(22xqdxxMdMM圖為上凸下凹。圖為上凸下凹。二、根據(jù)內(nèi)力圖規(guī)律做圖二、根據(jù)內(nèi)力圖規(guī)律做圖.剪力圖與荷載的關(guān)系剪力圖與荷載的關(guān)系(3) (3) 在集中力作用處，在集中力作用處，

9、MM圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力向下，則圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力向下，則MM圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。(4) (4) 在集中力偶作用處，在集中力偶作用處，MM圖產(chǎn)生突變，順時(shí)針?lè)较虻募辛ε紙D產(chǎn)生突變，順時(shí)針?lè)较虻募辛ε际雇蛔兎较蛴缮隙?；反之，由下向上。突變的?shù)值等于該集使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。中力偶矩的大小。(1)(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。(2) (2) 當(dāng)當(dāng)F FQQ圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段的圖為斜直線時(shí)，對(duì)應(yīng)梁段的MM圖為二次拋物線。當(dāng)圖為二次

10、拋物線。當(dāng)F FQQ圖為平行于圖為平行于x x軸的直線時(shí)，軸的直線時(shí)，MM圖為斜直線。圖為斜直線。3. 3. 彎矩圖與剪力圖的關(guān)系彎矩圖與剪力圖的關(guān)系(3) (3) 剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、負(fù)號(hào)的截面，彎矩也具有極值。負(fù)號(hào)的截面，彎矩也具有極值。解：解： 1. 1. 求約束反力求約束反力例題例題 簡(jiǎn)支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分簡(jiǎn)支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作此梁的剪力圖和彎矩圖。關(guān)系作

11、此梁的剪力圖和彎矩圖。kNFkNFByAy15,152. 2. 畫(huà)畫(huà)F FQQ圖圖各控制點(diǎn)處的各控制點(diǎn)處的FQFQ值如下：值如下：F FQAQA右右=F=FQCQC左左=15kN =15kN F FQCQC右右=F=FQDQD=15 kN =15 kN 10kN=5kN 10kN=5kN F FQDQD=5kN =5kN F F QB QB左左= =15kN15kN3. 3. 畫(huà)畫(huà)MM圖圖MMA A = 0, M = 0, MCC =15kN =15kN2m=30 kN.m 2m=30 kN.m M MD D = 15kN = 15kN4m4m10kN10kN2m=40kN.m 2m=40kN

12、.m M MD D右右= 15kN= 15kN4m4m5kN5kN4m4m2m=20 kN.m2m=20 kN.mMB=0MB=0mkNmmmkNmkNME5.22233/5315例題例題6 6 一外伸梁如圖示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)一外伸梁如圖示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作此梁系作此梁的的F FQQ、MM圖圖。解：解：1.1.求約束力求約束力kNFkNFByAy13,52.2.畫(huà)內(nèi)力圖畫(huà)內(nèi)力圖(1)(1)剪力圖。剪力圖。ACBACB段：段： F FQAQA右右=F=FQCQC=F=FQBQB左左= =5kN5kNF FQQ圖為一水平直線圖為一水平直線 BDBD段：段：

13、FQFQ圖為右下斜直線。圖為右下斜直線。FQB右 F FQBQB左左+13=8kN +13=8kN FQD=0(2) (2) 彎矩圖彎矩圖 ACAC段：段：F FQQ00，故，故MM圖為一右上斜直線圖為一右上斜直線 MMA A=0=0，MMCC左左= =5kN5kN2m=2m=10kN.m 10kN.m CBCB段：段： F FQQ0,0,故故MM圖為一右上斜直線，圖為一右上斜直線，在在CC處彎矩有突變。處彎矩有突變。 MMCC右右= =5kN5kN2m+12kN.m2m+12kN.mMMB B= =4kN/m4kN/m2m2m1m=1m=8kN.m8kN.mBDBD段：段： 段內(nèi)有向下均布荷

14、載，段內(nèi)有向下均布荷載，MM圖為下凸圖為下凸拋物線，拋物線， MMB B= =8KN.m8KN.m，MMD D=0=0例例7 外伸梁如圖所示，試畫(huà)出該梁的內(nèi)力圖。外伸梁如圖所示，試畫(huà)出該梁的內(nèi)力圖。解：解： （1）求梁的支座反力）求梁的支座反力由由 0 Am 0221352 aqmaRaPB解得解得 kNqaamPRA102431 由由 0Y 02qaRRPBA解解得得 kNRqaPRAB52 q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB （2）畫(huà)內(nèi)力圖：）畫(huà)內(nèi)力圖：CACA段段: q=0: q=0，剪力圖為水平直線；剪力圖為水平直線；彎矩

15、圖為斜值線。彎矩圖為斜值線。 kNPQQAC3 0CMkNaPMA8 . 1 ADAD段段:q=0,:q=0,剪力圖為水平直線； 彎矩圖為斜值線。kNaPMA8 . 1 kNRPQQADA7 mkNaRaPMAD 4 . 22DB段段:q0, :q0, 剪力圖為斜直線；彎矩圖為拋物線。 kNRQBB5 qxRxQBax200 xQ令：mxqRB5 . 0 mkNmaRaPMAD 2 . 12mkNqRMBE 25. 12/5 . 05 . 020BM根據(jù)根據(jù)Q QB B 5kN Q5kN QC C 3kN 3kN 、 Q QA A 7kN 7kN 、Q QA A 3kN 3kN 、Q QD D 7kN7kN的對(duì)應(yīng)值便可作出圖的對(duì)應(yīng)值便可作出圖(b)(b)所示的剪力圖所示的剪力圖 。可見(jiàn)，?？梢?jiàn)， 在在ADAD段段剪力最大，剪力最大，kNQ7max mkNMMD 4 . 2max（Q）（M） q=10kN/mBEDACm=3.6kNmP3kNa=0.6ma=0.6m2a=1。2mxRARB3kN7kN5kN1.8kNm2。4k