第八章的有限字長(zhǎng)效應(yīng)

1、2010版版22010版版3前置預(yù)濾波器A/D變換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A變換器模擬濾波器模擬模擬Xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬模擬Ya(t) 完成完成DF設(shè)計(jì)后，接下來(lái)要實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)后，接下來(lái)要實(shí)現(xiàn)DSP（數(shù)字信號(hào)（數(shù)字信號(hào)處理）。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，字長(zhǎng)總是有限的，因?yàn)榇嫣幚恚?。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，字長(zhǎng)總是有限的，因?yàn)榇鎯?chǔ)器是有限字長(zhǎng)的，所以有限字長(zhǎng)效應(yīng)有儲(chǔ)器是有限字長(zhǎng)的，所以有限字長(zhǎng)效應(yīng)有DF的有的有限字長(zhǎng)效應(yīng)、限字長(zhǎng)效應(yīng)、DFT（FFT）有限字長(zhǎng)效應(yīng)、）有限字長(zhǎng)效應(yīng)、A/D變變換器的量化誤差換器的量化誤差。2010版版42010版版52010版版62010版版71.若字長(zhǎng)（通用計(jì)算機(jī)）固定，進(jìn)

2、行誤差分析，可知結(jié)果的可信度，否則若置信度差，要采取改進(jìn)措施。一般情況下，由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)較長(zhǎng)，所以可以不考慮字長(zhǎng)的影響。2.用專(zhuān)用DSP芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，定點(diǎn)與硬件采用字長(zhǎng)有關(guān)：(1)一般采用定點(diǎn)實(shí)現(xiàn)，涉及硬件采用的字長(zhǎng)。(2)精度確定字長(zhǎng)。因此，必須知道為達(dá)到設(shè)計(jì)要求所需精度下必須選用的最小字長(zhǎng)。(3)由最小字長(zhǎng)選用專(zhuān)用DSP芯片類(lèi)型由于選用不同DSP芯片，價(jià)格差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等價(jià)格差異很大2010版版82010版版9 用專(zhuān)用DSP芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字信號(hào)處理時(shí)，一般采用定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)碼表示方法和舍入量化方式。因此定點(diǎn)、補(bǔ)碼、舍入重點(diǎn)

3、分析。2010版版10（1）原碼（2）補(bǔ)碼（3）反碼二進(jìn)制符號(hào)位：0-表示正號(hào)，1-表示負(fù)號(hào)；2010版版110. 1 1 0 01. 1 1 0 00101( 1)2bBiiixB 0. 2-1.2-b1. 2-1.2-b正數(shù)：負(fù)數(shù)：2010版版12補(bǔ)碼通用公式：10012biiixBB x10=0.75=(x2)補(bǔ)=0.110=原碼x10=-0.75=(x2)補(bǔ)=1.010=反碼+1x10=0.75=(x2)反=0.110=原碼x10=-0.75=(x2)反=1.001=除符號(hào)位外原碼各位取反2010版版13（1）加法：任何加法運(yùn)算不會(huì)增加字長(zhǎng)，但可能產(chǎn)生溢出 xB1 0.110-0 11

4、0 + xB2 0.110-0 011 xB1-xB2=9/8 1.001,其真值為-7/8，（2）乘法：不會(huì)溢出，但字長(zhǎng)加倍 溢出，使其變?yōu)樨?fù)數(shù)例：b=3=0.101 0.011 101 101 0.001111 成為六位數(shù)，截尾變成0.001。產(chǎn)生誤差。2010版版142010版版152010版版16一個(gè)信號(hào)x(n)：還沒(méi)截尾112)(biiiBXnx由于有限字長(zhǎng)：截尾biiiTBX12看出:b1b所以，原碼和補(bǔ)碼的截尾誤差為：112bbiiiTTBXXe1120bbiiiTTqBee最大誤差：最小誤差：截尾量化誤差范圍為：發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為1情況。發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為0

5、情況。0. 2-1 .2-b 0 0 .0b1-bb最小誤差0. 2-1 .2-b 1 1 1最大誤差2010版版17截尾量化誤差與負(fù)數(shù)表示方式有關(guān)。還沒(méi)截尾112)(biiiBXnx負(fù)數(shù)原碼表示，其截尾量化誤差：)0(211TcbbiiiTceqBe發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為1情況。發(fā)生在被截去的位數(shù)上的數(shù)都為0情況。0. 2-1 .2-b 0 0 .0b1-bb最小誤差0. 2-1 .2-b 1 1 1最大誤差負(fù)數(shù)補(bǔ)碼表示，其截尾量化誤差：)0(211qeBeTcbbiiiTc同樣，負(fù)數(shù)截尾量化誤差，最大誤差=q,最小誤差=0.2010版版180. 1 0 1 0 1 0 1 0 0bb

6、1舍去：0.1010-信號(hào)比原來(lái)小;舍入：0.1011-信號(hào)比原來(lái)大;所以，最大誤差為最大誤差為q/2,最小誤差為最小誤差為-q/2舍入量化誤差范圍為舍入量化誤差范圍為|en|舍入誤差。e(n)量化誤差是隨機(jī)變量，所以要用統(tǒng)計(jì)方法，統(tǒng)計(jì)公式去分析。應(yīng)用比舍入少些2010版版20 上面我們分析了量化誤差的范圍，但要精確地知道誤差究竟是多大，幾乎是不可能的。視信號(hào)具體情況而定。 所以我們只要知道量化誤差的平均效應(yīng)即可。它可以作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。例如：A/D變換器量化誤差-決定A/D所需字長(zhǎng)。2010版版21 為了進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)e(n)的統(tǒng)計(jì)特性作以下假設(shè)：(1)e(n)是平穩(wěn)隨機(jī)序列即它的統(tǒng)計(jì)特性不

7、隨時(shí)間變化。即 , 均與n無(wú)關(guān)。（2）e(n)與取樣序列x(n)是不相關(guān)的。即Ee(n)*x(n)=0(互相關(guān)函數(shù)=0）e(n)與輸入信號(hào)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。(3)e(n)序列本身的任意兩個(gè)值之間不相關(guān)。即e(n)本身是白噪聲序列 Ee(n)*e(n)=0(自相關(guān)函數(shù)=0）(4)e(n)在誤差范圍內(nèi)均勻分布（等概率分布的隨機(jī)變量）即P(e)（概率密度）下的面積=1)(ne2n2010版版22截尾誤差：負(fù)數(shù)原碼與負(fù)數(shù)反碼截尾誤差：舍入誤差：P（e)e-2-b2bP（e)e2-b2b00P（e)e-2-b/22b2-b/202010版版232010版版24理想A/D采樣器xa(t)x(n)=xa(nT)

8、e(n)()()( nenxnx2010版版25的概率密度：誤差無(wú)關(guān)與數(shù)學(xué)期望，eepnmEdeepmemneEdeeepndenepneneEmeeeee)(: )()()()()()()()(222e2 下面，分別對(duì)舍入誤差及截尾誤差的均值和方差進(jìn)行分析。2010版版2612012)2()2(31)()(01)()()(02/)(2/1)(2223322222222qmqqqqdeepmeedeqndenepnemqneqqePeeqqeeqqqqe方差：均值：其余P（e)e2b0-2-b/22-b/22010版版27122121)2()()(221)(00)(/1)(2220202202

9、0qqmqdeqqedeepmeqeqdeeepmneqqePeeqqeeqqe方差：均值：其余P（e)e2b0-2-b2010版版283231)2()()(221)(0)(0/1)(22202022020qqmqdeqqedeepmeqeqdeeepmqneqePeeqqeeqqe方差：均值：其余P（e)e2b0-2-b2010版版292010版版3022222222222lg102lg2012lg102(lg1012lg1012lg1012121xbxxxxexbqqqNSqqNS代入）將數(shù)）：表示成分貝形式（求對(duì)量化噪聲信號(hào)方差（量化噪聲）噪聲平均功率信號(hào)平均功率信噪比：看出：（1）信號(hào)

10、功率 越大，信噪比越高（但受A/D變換器動(dòng)態(tài)范圍的限制。（2）隨著字長(zhǎng)b增加，信噪比增大，字長(zhǎng)每增加1位，則信噪比增加約6dB.(3)最小信噪比：S/N=10.79+6.02bx22010版版31P(e)exA41bitbdBdBbANSeex12,70)(25. 16)161lg(10)lg(102222至少需要可知：若需要信噪比解：2010版版32h(n)或H(z)( nx)()()( nefnyny)(ne)(nx求：量化噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)后：1.系統(tǒng)輸出 2輸出噪聲3輸出噪聲均值 4輸出噪聲方差2010版版33dweHneEmmnemhnhnenenhnenxnyjwefefefmf22

11、220)(2)(0)()()()()()(*)()()(輸出噪聲方差輸出噪聲均值輸出噪聲系統(tǒng)輸出分析前題：（1）系統(tǒng)完全理想，無(wú)限精度的線性系統(tǒng)。（2）e(n)舍入噪聲舍入噪聲，均值=0（3）線性相加（加性噪聲）-到輸出端2010版版34）（根據(jù)帕塞伐定理：不相關(guān)）時(shí)，輸出噪聲方差dweHmhdweHnelmmhlnemneElhmhlnelhmnemhEneEjwmjwememlmlfef20222022000022)(21)()(2)()()()()()()()()()()(2010版版35)()( )()()()(2)()()()()()()(*)()()(00022220jememff

12、fjwefefmfeHmmhmmnemhEneEmmdweHneEmnemhnhnenenhnenxny，還有一直流分量輸出噪聲除以上方差外輸出噪聲方差輸出噪聲均值輸出噪聲系統(tǒng)輸出分析前題：（1）系統(tǒng)完全理想，無(wú)限精度的線性系統(tǒng)。（2）e(n)截尾噪聲噪聲，（3）線性相加（加性噪聲）-到輸出端20qmmee ，2010版版362010版版372010版版382010版版39Miiiza101iiiaaaMiMiiiiizaza1101設(shè)此時(shí)極點(diǎn)都在單位園上，則z=1代入：則量化誤差：MiMiiiaa11045. 0745. 07 . 111. 7(6209. 0/7 . 109. 0045.

13、0222)1取若為截尾，則可求得舍入），長(zhǎng)取為了穩(wěn)定，系數(shù)最小字現(xiàn)用最大系數(shù)：（bbqqbb2010版版40)()(1)(11zAzBzazbzHNiiiNiii)()(1)(11zAzBzazbzHNiiiNiii為量化誤差。，其中iiiiiiiiaabb2010版版41之間偏差與研究)()(. 1zHzH)()( )(nynyneNiiiNiiiNiiiEzezEzzzzzAzHzzzH000)(,)(,)()()()()()(，)()()(zXzHzEE看出系數(shù)量化后，實(shí)際：。的偏差的無(wú)限精度)()()(zHDFzHDFzHEH(z)HE(z)()()(nenyny)(ne)(ny)(n

14、x2010版版42)()jwjwjwEeHeHeH（）（zdzzHzHjdweHEcEjwE)()(21)21122（由均方偏差2010版版43210)()()()(Nnnenhnhnh為系數(shù)量化后單位沖激響應(yīng)22)()()()2,2(wEEwHwHwEqqw頻響誤差函數(shù)）（內(nèi)均勻分布對(duì)于舍入誤差，它在qNwENnnNeneDFFIR2)(101()(）線性相位對(duì)于第一類(lèi)2010版版442010版版452010版版462010版版47)()1()(nxnynyR0)(ny。系統(tǒng)失去穩(wěn)定出現(xiàn)振蕩處，移至看出極點(diǎn)由此時(shí)處于振蕩時(shí)，可以證明當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)位字長(zhǎng)，均為和系數(shù)15 . 011)() 1( )

15、( 3001. 0)4( , 4001. 0)3( , 3010. 0100. 0*100. 0)2()1 ( *100. 0)2( , 2100. 00111. 0) 1 (111. 0*100. 0) 1 ( , 1111. 0111. 00*100. 0)()1( 100. 0)0( , 081223)(),( 13zzzzHnynynynynxyynxynnxyynqnxnyRRRRRRb2010版版482010版版492010版版502172.07.1104.0)(zzzH2010版版511.7-0.72x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n) 其中，e

16、0(n),e1(n),e2(n)分別為系數(shù)0.04，1.7，-0.72相乘后的舍入噪聲。輸出噪聲ef(n)是由這三個(gè)噪聲通過(guò)H(z)=1/B(z)網(wǎng)絡(luò)形成的。ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n)221224 .228 . 02, 9 . 01)(1213qzzzdzzBzBjefceef代入（利用留數(shù)定理）將（輸出噪聲方差0.042010版版520.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)222212111222121121222210222221102 .15:12,8 . 01)(,9 . 01)()()(121)()()()

17、(1212)()()()()()()(1)()()()()(1)()()(),(qqzzBzzBzdzzBzBjzdzzBzBzBzBjnhnenhnenenezBzHzHnezBzBzHzHnenefececeff代入用留數(shù)定理將網(wǎng)絡(luò)只通過(guò)而噪聲網(wǎng)絡(luò)通過(guò)看出0.8)(1)(04.08.0119.0104.0)(2111zBzBzzzH2010版版530.90.04x(n)e1(n)e2(n)Z-1Z-1y(n)+ef(n)e0(n)22222221211122211122232110,34. 1:12,8 . 01)(,9 . 01)()()(1212)()(1212)(1)()()(1)()(直級(jí)并輸出誤差看出代入用留數(shù)定理將通過(guò)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)看出ffffececefqqzzBzzBzdzzBzBjzdzzBzBjzBnenezBnene0.8)(32.0)(36.08.0132.09.0136.0)(2111zBzBzzzHe4(n)0.36-0.322010版版54我們討論橫截型FIR DF：F