大三上課件南郵通信原理第10章

1、第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.1數(shù)字信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性n 以二進(jìn)制為例研究接收電壓的統(tǒng)計(jì)特性。n 假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)的二進(jìn)制碼元為“0”和“1”，概率分別為P(0)和P(1)，則有P(0) + P(1) = 1n 若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號(hào)抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求 不小于其奈奎斯特速率2fH。n 設(shè)在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個(gè)抽樣值：，則有k 2fHTs。3其第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 由于每個(gè)噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨概率密度可以寫為量，故其一維

2、æön21expç-è÷f (ni ) =is2p s n22n ø式中，sn 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差；sn2 噪聲的方差，即噪聲平均功率；i 1，2，k。n 設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個(gè)抽樣值的k維f k (n1 , n2 ,L, nk )概率密度函數(shù)為4第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相的。這樣，此k 維概率密度函數(shù)可以表示為æ2 ö11kå nii=1expç-

3、2s÷øfk (n1 , n2 ,L, nk ) = f (n1 ) f (n2 )L f (nk ) =()k2npsè2nn 當(dāng)k 很大時(shí)，在一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為：k1 åk=1ån2n2iik2 f Ti=1i=1Hs或者將上式左端的求和式寫成式，則上式變成k)dt =1ån2i2 fT5i=1Hs第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 利用上式關(guān)系，并注意到s= n2fn0H式中 n0 噪聲單邊功率譜密度則前式的概率密度函數(shù)可以改寫為：expé-ù11Ts0òf (n) =2n

4、 (t)dt()êúknpsëû20n式中f (n) = fk (n1 , n2 ,L, nk ) = f (n1 ) f (n2 )L f (nk )n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)噪聲的k個(gè)抽樣值。n 需要注意，f(n)不是時(shí)間函數(shù)，雖然式中有時(shí)間函數(shù)n(t)，但是后者在定內(nèi)，后已經(jīng)與時(shí)間變量t無關(guān)。n是一個(gè)k維矢量，它可以看作是k中的一個(gè)點(diǎn)。6第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 在碼元持續(xù)時(shí)間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：Tòsn2 (t

5、)dt0n 由于噪聲的隨機(jī)性，每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，而另一些則無錯(cuò)。7第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 設(shè)接收電壓r(t)為信號(hào)電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t)則在碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機(jī)性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為sn ，但是均值變?yōu)?s(t)。所以，當(dāng)碼元“0”的信號(hào)波形為s0(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維概率密度函數(shù)為ìü 1 1 n02Tòf (r) =exp -sr(t) - s0 (t)dtýí

6、38;( 2ps )0k0þn式中 r = s + n k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)接收電壓的k個(gè)抽樣值；s k 維矢量，表示一個(gè)碼元內(nèi)信號(hào)電壓的k個(gè)抽樣值。8第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 同理，當(dāng)碼元“1“的信號(hào)波形為s1(t)時(shí)，接收電壓r(t)的k維概率密度函數(shù)為ìü 1 1 n02Tòf (r) =exp -r(t) - s1 (t)dtýsíî()1k2p s0þnn 順便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進(jìn)制碼元，即可能s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當(dāng)s1，碼元是si時(shí)，接收電壓的k 維概率密度函數(shù)

7、為ìü 1 1 n02Tòf (r) =exp -sr(t) - si (t)dtýþíî( 2p s )ik0n仍需記住，以上三式中的k 維數(shù)，并且是一個(gè)標(biāo)量，而r 仍是k矢量。概率密度函數(shù)不是時(shí)間t的函中的一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)9第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.2 數(shù)字信號(hào)的最佳接收n “最佳”的準(zhǔn)則：錯(cuò)誤概率最小n 產(chǎn)生錯(cuò)誤的：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯(cuò)誤概率最小。規(guī)則n設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制通信系統(tǒng)中碼元“1”的概率為P(1)，碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于Pe = P(

8、1)Pe1+ P(0)Pe0式中Pe1= P(0/1) “1”時(shí)，收到“0”的條件概率；“0”時(shí)，收到“1”的條件概率；Pe0= P(1/0) 上面這兩個(gè)條件概率稱為錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率。10第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收按照上述分析，接收端收到的每個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間內(nèi)的電壓可以用一個(gè)k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對(duì)每個(gè)接收矢量作判碼元“0”，還是“1”。決，判定它是概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫由接收矢量決定的兩個(gè)在下圖中（在圖中把r 當(dāng)作1維矢量畫出。）：A0A1f0(r)f1(r)P(A0/1)r0¢r可以將此空間劃分為兩個(gè)區(qū)域A0和A1，其邊界是r0¢，并將判決規(guī)則規(guī)定為

9、：若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為碼元是“0”；碼元是“1”。11第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個(gè)互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個(gè)區(qū)域的邊界r0¢確定后，錯(cuò)誤概率也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為A0A1f0(r)P(A0/1)f1(r)P(A1/0)r0¢rPe = P(1)P( A0 /1) + P(0)P( A1 / 0)式中，P(A0/1)表示P(A1/0)表示“1”時(shí)，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率“0”時(shí)， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率這兩個(gè)條件概率可以寫為：òòP( A0 / 1) =/ 0)

10、 =f1(r)drP( A1f0 (r )drAA01這兩個(gè)概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。12第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收將上兩式代入Pe = P(1)P( A0/1) + P(0)P( A1 / 0)得到òòPe = P(1)f (r)dr + P(0)f0 (r)dr1AA01參考上圖可知，上式可以寫為r '¥òòP = P(1)0f (r)dr + P(0)f (r)dre10'-¥r0上式表示Pe是r0¢的函數(shù)。為了求出使Pe最小的分界點(diǎn)r0¢，將上式對(duì)r0¢求導(dǎo)¶Pe

11、= P(1) f (r ' ) - P(0) f (r ' )1000¶r '0并令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出最佳分界點(diǎn)r0的條件：A0A1f0(r)P(A0/1)f1(r)P(A /0)1P(1) f (r ) - P(0) f (r ) = 0100013r0¢r第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收P(1) f1 (r0 ) - P(0) f 0 (r0 ) = 0f0 (r0 )P(1)即=P(0)f1 (r0 )當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，即P(1) = P(0)時(shí)，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點(diǎn)位于圖中兩條曲線交點(diǎn)處的r 值上。邊界確定之后，按照接收矢

12、量r 落在區(qū)域A0應(yīng)判為收在到的是“0”的若準(zhǔn)則，這時(shí)有：A0A1f0 (r)P(1)<P(0)P(1)f1 (r)f0(r)P(A0/1)f1(r)則判為“0” ；P(A1/0)f (r)> 0f1 (r)反之，若P(0)r0¢r則判為“1” 。在為：“0”和“1”的先驗(yàn)概率相等時(shí)，上兩式的條件簡(jiǎn)化若f0(r) > f1(r)，則判為“0”若f0(r) < f1(r)，則判為“1”14第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收這個(gè)準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。按照這個(gè)準(zhǔn)則就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達(dá)到理論上的誤碼率最小值。p 以上對(duì)于二進(jìn)制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可以推廣到多進(jìn)

13、制信號(hào)的場(chǎng)合。設(shè)在一個(gè)M 進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗(yàn)概率相等，能碼元是si時(shí)，接收電壓的k 維量相等。當(dāng)數(shù)為概率密度函ìü 1 1 n02Tòf (r) =exp -r(t) - si (t)dtýsíî( 2p s )ik0þn于是，若則判為si(t)，fi其(r中) >，f j (r ),j ¹ i j = 1,üM ý2,L,þ15第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.3 確知數(shù)字信號(hào)的最佳n 確知信號(hào)：指其取值在任何時(shí)間都是確定的

14、、可以預(yù)知的信號(hào)。準(zhǔn)則碼元為“0”，波形為so(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為n當(dāng)ìü 1 1 n02Tòf (r) =exp -sr(t) - s0 (t)dtýíî( 2ps )0k0þn碼元為“1”，波形為s1(t)時(shí)，接收電壓的概率密度為當(dāng)ìü 1 1 n02Tòf (r) =exp -r(t) - s1 (t)dtýsíî( 2p s )1k0þn因此，將上兩式代入準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡(jiǎn)化，得到：16第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收若ìü&#

15、236;üýþ 1 n0 1s2r(t) - s (t) dtTTòòP(1) expí-r(t) - s1 (t)dtý < P(0) exp -2sí0n0î0þî0則判為碼元是s0(t)；若ìüìüýþ 1 n0 1 n02r(t) - s (t) dtTTòò2P(1) exp -r(t) - s1 (t)dtý > P(0) exp -ssíîí

16、000þî碼元是s1(t)。則判為將上兩式的兩端分別取對(duì)數(shù)，得到若11r(t) - s (t) dt > n lnr(t) - s (t)2 dtTs0Tòò2+sn ln0100P(1)P(0)0碼元是s0(t)；反之則判為碼元是s1(t)。由于已則判為經(jīng)假設(shè)兩個(gè)碼元的能量相同，即Ts0Ts0òòs 2 (t)dt =s 2 (t)dt01所以上式還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。17第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收若TsoTs0òòW +r(t)s (t)dt < W +r(t)s (t)dt1100式中= n0= n0

17、Wln P(0)Wln P(1)0122碼元是s0(t)；反之，則判為碼元是s1(t)。W0因子。則判為和W1可以看作是由先驗(yàn)概率決定的n 最佳u 按照上式畫出的最佳原理方框圖如下：18第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收TsoTs0òò+r(t)s (t)dt < W+Wr(t)s (t)dt1100r(t)t = TsW0S0(t)W1S1(t)19第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收若此二進(jìn)制信號(hào)的先驗(yàn)概率相等，則上式TsoTs0òòW +r(t)s (t)dt < W+r(t)s (t)dt1100簡(jiǎn)化為TTòòr(t)s (t)dt

18、 <ssr(t)s (t）dt1000最佳的原理方框圖也可以簡(jiǎn)化成S0(t)t = Tsr(t)S1(t)20第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收由上述討論不難推出M 進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳結(jié)構(gòu)S0(t)S1(t)MMr(t)MMSM(t)的u 上面的最佳是由相乘和的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。u 由最佳得到的誤碼率是理論上可能達(dá)到的最小值。21第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.4 確知數(shù)字信號(hào)最佳接收的誤碼率n 總誤碼率在最佳中，若11r(t) - s (t) dt > n lnr(t) - s (t)2 dtTTòò2+ssn ln0100P(1)P(0)0

19、0則判為碼元是s0(t)。因此，在碼元為s1(t)時(shí)，若上式成立，則將發(fā)生錯(cuò)誤。所以若將r(t) = s1(t)+ n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯(cuò)誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的計(jì)算結(jié)果如2 下x-1aò2s 2P(0 /1) = P(x < a) =edxx2p sx-¥22第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收x2-1a2s 2òP(0 /1) = P(x < a) =edxx2ps x-¥式中a = n0ln P(0) - 1Tòs (t) -ss (t)2 dt102P(1

20、)20s= D(x ) = n0Tòss (t) -2s (t)2 dtx1020s0(t)時(shí)，為收到s1(t)的條件錯(cuò)誤概率同理，可以求出x2-1b2s 2òP(1/ 0) = P(x < b) =edxx2psx-¥式中b = n0ln P(1) - 1TS0òs (t) - s (t)2 dt012P(0)223第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收因此，總誤碼率為Pe = P(1)P(0 /1) + P(0)P(1/ 0)éêùúéêùx2x2- 1 2p sx 1 2p sxabd

21、xúò2s 2ò2s 2= P(1)dx+ P(0)eexxêúêú-¥-¥ëûëûn 先驗(yàn)概率對(duì)誤碼率的影響當(dāng)先驗(yàn)概率P(0) = 0及P(1) = 1時(shí)，a = - ¥及b = ¥，因此由上式計(jì)算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時(shí)由于碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。發(fā)生錯(cuò)誤。24第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收u 當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)：P(0) = P(1) = 1/2，

22、a = b。這樣，上式可以化簡(jiǎn)為x2-1cò2s 2P =edxxe2p s-¥xc = - 1Ts s (t) - s (t)2 dtò式中0120上式表明，當(dāng)先驗(yàn)概率相等時(shí)，對(duì)于給定的噪聲功率sx ，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有2關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe 也越小。u 當(dāng)先驗(yàn)概率不等時(shí)：由計(jì)算表明，先驗(yàn)概率不等時(shí)的誤碼率將略小于先驗(yàn)概率相等時(shí)的誤碼率。就誤碼率而言，先驗(yàn)概率相等是最壞的情況。25第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 先驗(yàn)概率相等時(shí)誤碼率的計(jì)算在噪聲強(qiáng)度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號(hào)碼 元的區(qū)別

23、?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個(gè)參量， 即碼元的相關(guān)系數(shù)r ，其定義如下：Ts0Ts0òòs (t)s (t)dts (t)s (t)dt0101r =E0 E1éùéùúûTsTsòò22s (t)dts(t)dtê 0úê 0ë0ûë1Ts0Ts0òòE=E =s 2 (t)dts 2 (t)dt式中0011E0、E1為信號(hào)碼元的能量。當(dāng)s0(t) = s1(t)時(shí)，r1，為最大值；當(dāng)s0(t) = -s1(t

24、)時(shí)，r1，為最小值。所以r 的取值范圍在-1 £ r £ +1。26第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收當(dāng)兩碼元的能量相等時(shí)，令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成TSòs (t)s (t)dt01r =0Eb并且c = - 1TS0òs (t) - s (t)2 dt = -E (1 - r )01b2將上式代入誤碼率公式，得到x2x2-11-Eb (1-r )cò2s 2ò-¥2s 2P =dx =eedxxxe2p s2p s-¥xx為了將上式變成實(shí)用的形式，作如下的代數(shù)變換：令則有2s xz = x /dz =

25、 dx /2s x/ 2s= x 2z 22x27第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收于是上式變?yōu)?1-Eb (1-r) /2sx-Eb (1-r) /2sxò-¥p ò-¥e-z2e-z2 dz2s dz =P =xe2psxìùüéê(1- r)21 ée-z dz =ù = 1 ï -ïE12¥¥òEò-z2=úýúûïþbedzúí1erfê

26、;pp2sx2 ë2 ïî(1-r) /2sE (1-r) /2sûêëxxbb 2 pxò2- zerf (x) =edz式中0利用下式中sx 和n0關(guān)系2s= D(x ) = n0Tòs (t) - s (t)2 dt = n E (1- r)s2x100b20代入上式，得到誤碼率最終表示式：1 éEb (1 - r ) öùæéerfcêëEb (1 - r ) ù12ê1 - erf ç÷ú

27、; =Pe =úûç÷22n2nêëøúû28è00第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收1 éEb (1 - r ) öùæéerfcêëEb (1 - r ) ù12ê1 - erf ç÷ú =Peúûç÷22n2nêëøúûè00式中 2 pxò2- zerf (x) =ed

28、z 誤差函數(shù)0erfc(x) = 1 - erf (x)Eb 碼元能量；r 碼元相關(guān)系數(shù)；n0 噪聲功率譜密度。上式是一個(gè)非常重要的理論公式，它給出了理論上二進(jìn)制等能量數(shù)字信號(hào)誤碼率的最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實(shí)際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差， 補(bǔ)誤差函數(shù)但是絕對(duì)不可能超過它。29第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 誤碼率曲線dB30第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 最佳接收性能特點(diǎn)誤碼率僅和Eb / n0以及相關(guān)系數(shù)r有關(guān)，與信號(hào)波形及噪聲功率無直接關(guān)系。碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實(shí)際上相當(dāng)于信號(hào)噪聲功率比Ps/Pn。因?yàn)槿粝到y(tǒng)帶寬B等于1/Ts，uu則有Eb= P

29、sTsPsPsPs=n0n0n0 (1/ Ts )n0 BPn按照能消除碼間串?dāng)_的奈奎斯特速率傳輸基帶信號(hào)時(shí)，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對(duì)于已調(diào)信號(hào)，若采用的是2PSK或2ASK信號(hào)，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號(hào)帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號(hào)噪聲功率比。31第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收u 相關(guān)系數(shù) r 對(duì)于誤碼率的影響很大。當(dāng)兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，即r = 1時(shí)，誤碼率最大。這時(shí)的誤碼率Pe=1/2。因?yàn)檫@時(shí)兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即r = -1時(shí)，誤碼率最小。

30、這時(shí)的最小誤碼率等于1 éöùææöEbEb12Pe =ê1 - erf ç÷ú =erfcç÷ç÷ç÷2nnêë0 øúûèèø0例如，2PSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。u 當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù) r 等于0時(shí)，誤碼率等于1 éöùæéerfcêëùúû

31、;EbEb12Pe =ê1 - erf ç÷ú =ç÷22n2nêë0 øúûè0u 例如，2FSK信號(hào)的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。32第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收u 若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號(hào)，則c = - 1Ts s (t)2 dtò020誤碼率為1 æöæöEb12EbPe =ç1 - erf÷ =erfcç÷2 ç÷ç÷

32、;4n4nèøèø00u 比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號(hào)的性能比2FSK信號(hào)的性能差3dB，而2FSK信號(hào)的性能又比2PSK信號(hào)的性能差3dB。33第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 多進(jìn)制通信系統(tǒng)u 若不同碼元的信號(hào)正交，且先驗(yàn)概率相等，能量也相等， 則其最佳誤碼率計(jì)算結(jié)果如下：ù M -1dxúúûéæ 2 E öx22y 2211çè÷-e¥òy +1 / 2 2pòP = 1 -êedyn

33、ø0e2p-¥ êë-¥式中，M 進(jìn)制數(shù)；E M 進(jìn)制碼元能量；n0 單邊噪聲功率譜密度。由于一個(gè)M 進(jìn)制碼元中含有的比特?cái)?shù)k 等于log2M，故每個(gè)= E / log 2 M比特的能量等于EbEbEE并且每比特的信噪比為=n0n0 log2Mn0 k34下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收u 誤碼率曲線由此曲線看出，對(duì)于給定的誤碼率，當(dāng)k 增大時(shí)，需要的信噪比Eb/n0減小。當(dāng)k 增大到¥時(shí)，誤碼率曲 線變成一條垂直線；Pe這時(shí)只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到無誤碼的傳輸。0.

34、69335Eb/n0第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.5 隨相數(shù)字信號(hào)的最佳接收n 假設(shè)：u 2FSK信號(hào)的能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)；u 通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；u 接收信號(hào)碼元相位的概率密度服從均勻分布。n 因此，可以將此信號(hào)表示為：s0 (t,j0 ) = A cos(w0t + j0 )s1 (t,j1 ) = A cos(w1t + j1 )及將此信號(hào)隨機(jī)相位的概率密度表示為：) = ì1/ 2p ,0 £ j0 < 2p其他處) = ì1/ 2p ,0 £ j1< 2pf (jf (jíí01&

35、#238;0,î0,其他處36第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有nTs0Ts0òòs (t,j )dt =s (t,j )dt = E220011b在討論確知信號(hào)的最佳接收時(shí)，對(duì)于先驗(yàn)概率相等的信號(hào)，按照下式條件作：若接收矢量r使f1(r) < f0(r)，則判若接收矢量r使f0(r) < f1(r)，則判碼元是“0”，碼元是“1”?，F(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機(jī)相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為：f0 (r) = ò0f (j0 ) f0 (r / j0 )dj0f1 (r) = ò0f (

36、j1 ) f1 (r / j1 )dj12p2p上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算后，代入條件，就可以得出37最終的條件：第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收若接收矢量r 使M1 < M0 ，則判為22若接收矢量r 使M0 < M1 ，則判為22碼元是“0”，碼元是“1”。上面就是最終條件，其中：M=X+ Y,M=X+ Y 2 ,222111000TS0òTS0òr(t) sin w tdtY=r(t) cosw tdtX=0000TS0TS0òr(t) sin w tdtò=r(t) cosw tdtX=Y1111按照上面圖中。準(zhǔn)則的隨相信號(hào)最佳的結(jié)構(gòu)示于下38第

37、10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 最佳的結(jié)構(gòu)X0cosw0tY0r(t)sinw0tX1cosw1tY1sinw1t39第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 誤碼率：隨相信號(hào)最佳的誤碼率，用類似10.4節(jié)的分析方法，可以計(jì)算出來，結(jié)果如下：P = 1 exp(-E/ 2n )eb02及其誤碼率也就是2FSK確和誤碼率。因?yàn)殡S相信號(hào)的相化，所以在接收端不可能n 最后指出，上述最佳知信號(hào)的非相干位帶有由信道引入的隨采用相干接收方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號(hào)。對(duì)于隨相信號(hào)而言，非相干接收已經(jīng)是最佳的接收方法了。40第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.6 起伏數(shù)字信號(hào)的最佳接收n 仍以2FSK信號(hào)為

38、例簡(jiǎn)要地討論其最佳接收問題。n 假設(shè)：u 通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；u 信號(hào)是互不相關(guān)的等能量、等先驗(yàn)概率的2FSK信號(hào)。u 2FSK信號(hào)的表示式s0 (t,j0 , A0 ) = A0 cos(w0t + j0 )s1 (t,j1, A1 ) = A1 cos(w1t + j1 )式中，A0和A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏振幅，它們服從同一瑞利分布：æöA2Aç÷f (V ) =exp -èA ³ 0, i =1,2 i i,issi2s22s ø41第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收æöA2A&#

39、231;÷f (V ) =exp -èA ³ 0, i =1,2 i i,issi2s22s ø式中，ss2為信號(hào)的功率；而且j0和j1的概率密度服從均勻分布：f (j i ) = 1/ 2p ,0 £ ji < 2p ,i = 1,2此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號(hào)si(t, ji, Ai)的功率ss2和其振幅Ai的均方值之間的關(guān)系為sE A = 222si42第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 接收矢量的概率密度:u 由于接收矢量不但具有隨機(jī)相位，還具有隨機(jī)起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為：2p¥

40、f0 (r) = ò0ò0f ( A0 ) f (j0 ) f0 (r / j0 , A0 )dA0 dj02p¥f1 (r) = ò0ò0f ( A1 ) f (j1 ) f1 (r / j1 , A1 )dA1dj143第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收經(jīng)過繁復(fù)的計(jì)算，上兩式的計(jì)算結(jié)果如下：é2sù2 M 2nf (r) = 0 s0K 'expêú0n+ T sn (n+ T s22 )ëû0ss00ssé2sù2 M 2nf (r ) = 0 s1K 

41、9;expêú1n+ T sn (n+ T s22 )ë00ssû0ss式中expé-ùú1Ts0ò2r (t)dtênëû (K ' =)k02p s nn0 噪聲功率譜密度；sn2 噪聲功率。44第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 誤碼率：實(shí)質(zhì)上，和隨相信號(hào)最佳接收時(shí)一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M 2和M 2的大小。所以，不難推論，01起伏信號(hào)最佳的結(jié)構(gòu)和隨相信號(hào)最佳的一樣。但是，這時(shí)的最佳誤碼率則不同于隨相信號(hào)的誤碼率。這時(shí)的誤碼率等于1P =e2 + (E /

42、n )0式中，E 接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量。45第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 誤碼率曲線由此圖看出，在有時(shí)，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。當(dāng)誤碼率等于10-2時(shí)，使性能下降約10 dB；當(dāng)誤碼率等于10-3時(shí)，下降約20 dB。46第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.7 實(shí)際和最佳的性能比較47實(shí)際的Pe最佳的Pe相干2ASK信號(hào)1 erfcr / 41 erfcE / 4n22b0非相干2ASK信號(hào)1 exp(- r / 4)1 exp(- E/ 4n )b02211相干2FSK信號(hào)erfcr / 2erfcEb / 2n02211非相干2FSK信號(hào)exp(- r / 2)exp(-Eb / 2

43、n0 )2211相干2PSK信號(hào)erfcrerfcEb / n0221差分相干2DPSK信號(hào)exp(- r )1 exp(- E/ n )22b0同步檢測(cè)2DPSK信號(hào) erfcr æ1 - 1 erfcr ö erfcEb æ1 - 1 erfcEb öç÷ç÷è2øn 0 ç2n 0 ÷èø第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收l 10.8 數(shù)字信號(hào)的匹配濾波接收法n 什么是匹配濾波器？用線性濾波器對(duì)接收信號(hào)濾波時(shí)，使抽樣時(shí)刻上輸出信號(hào)噪聲比最大的線性濾波器稱為匹

44、配濾波器。n 假設(shè)條件：u 接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時(shí)間為Ts，信號(hào)和噪聲之和r(t)為r(t) = s(0 £ t £ Ts),式中，s(t) 信號(hào)碼元，n(t) 高斯白噪聲；48第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收u 并設(shè)信號(hào)碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙 邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。n 輸出電壓u 假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號(hào)和噪聲兩部分時(shí)，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號(hào)so(t)和輸出噪聲no(t

45、)兩部分，即y(t) = so ()式中¥ò-¥H ( f )S ( f )e j2pft dfs (t) =o49第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 輸出噪聲功率2P ( f ) = H * ( f )H ( f )P ( f ) =由H ( f )P ( f )YRR這時(shí)的輸出噪聲功率No等于× n0= n0¥¥ò-¥ò-¥22 dfN=H ( f )dfH ( f )o22n 輸出信噪比在抽樣時(shí)刻t0上，輸出信號(hào)瞬時(shí)功率與噪聲平均功率之比為2¥òj 2pftH ( f )S

46、( f )e0 df2s (t )-¥o0r=0nN¥ò2 0 2H ( f )dfo-¥50第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求 r0的最大值2¥¥¥ò-¥£ ò-¥2dxò-¥2f1 (x) f 2 (x)dxf1 (x)f 2 (x)dx若f ( x ) = kf * ( x )12其中k為任意常數(shù)，則上式的等號(hào)成立。將上信噪比式右端的f1 (x) = H ( f ),看作是上式的左端，并令j 2pftf 2 (x)

47、 = S ( f )e0則有¥¥¥£ ò-¥2 dfò-¥2 df= ò-¥2 dfH ( f )S ( f )S ( f )= 2Er0nnn¥ò2 0 2 0 2H ( f )df0-¥¥ò2 df式中E =S ( f )51-¥第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收而且當(dāng)H ( f ) = kS * ( f )e- j2pft0時(shí)，上式的等號(hào)成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信

48、號(hào)碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。52第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)：¥¥òòkS *( f )e- j 2pft0 e j 2pft dfH ( f )e j2pft df =h(t) =-¥-¥*s(t )e- j 2pft dt ù e- j 2pf (t0 -t ) df饥òò= k-¥ êë -¥úû¥é¥e j 2pf

49、 (t -t0 +t ) df ùs(t )dtòò= k-¥ êë -¥úû¥= k ò-¥ s(t )d (t - t0 + t)dt = ks(t0 - t)由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號(hào)s(t)的鏡像s(-t)，但在時(shí)間軸上（向右）平移了t0。53第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 圖解s(t)t0(a)t1t2s(-t)t-t2-t10(b)h(t)t0t0t2-t1(c)54第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 實(shí)際的匹配濾波器一個(gè)實(shí)際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可

50、實(shí)現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有：h(t) = 0,即要求滿足條件s(t0 - t) = 0,或滿足條件s(t) = 0,當(dāng)t < 0當(dāng)t < 0當(dāng)t > t0上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號(hào)碼元s(t)在抽樣時(shí)刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后 很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為h(t) = ks(Ts - t)55第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收這時(shí)，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號(hào)碼元的波形為：so (t) = ò-¥ s

51、(t - t )h(t )dt = k ò-¥ s(t - t )s(Ts - t )dt¥¥¥ò-¥s(-t ¢)s(t - T - t ¢)dt ¢ = kR(t - T )= kss上式表明，匹配濾波器輸出信號(hào)碼元波形是輸入信號(hào)碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個(gè)任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k 1。56第10章 數(shù)字信號(hào)最佳接收n 【例10.1】設(shè)接收信號(hào)碼元s(t)的表示式為0 £ t £ Ts其他ts(t) = ì1,íî0,試求其匹配濾波器的特性和輸出信號(hào)碼元的波形?！窘狻可鲜剿镜男盘?hào)波形是一個(gè)矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為s(t)s(t