1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算

1、§ 3.1 數(shù)的概念及其運(yùn)算一、選擇題1 .已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=2xf'(1)+x2,則f'(1)=()A.-1B.2C.1解析：f'(x)=2f'(1)+2x,令x=1,得f'(1)=2f'(1)+2,f'(1)=2.答案：Bx1.2.設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=x-1()A. 2B. -2C.D.解析】由題意得:切續(xù)的斜率為J=所以一工二二解得口=一工,故選c.2a2答案B3,已知f(x)=xlnx,若f'(>0)=2,則x0=()

2、.A.e2B.eC.In22解析f(x)的定義域?yàn)?0,+00),f'(x)=lnx+1,由f'(x0)=2,即Inx0+1=2,解得x0=e.答案B4 .設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y=f(x)在x=5處的切線的斜率為()A.-1B.0C.1D.555解析因?yàn)閒(x)是R上的可導(dǎo)偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f(x)在x=0處取得極值，即f'(0)=0,又f(x)的周期為5,所以f'(5)=0,即曲線y=f(x)在x=5處的切線的斜率為0,選B.答案B5 .設(shè)f°(x)=sinx,f1(x)=f'0(x),

3、f2(x)=f'1(x),，fn+1(x)=f'n(x),nCN,則f2013(x)等于().A.sinxB.sinxC.cosxD.cosx解析,.fo(x)=sinx,fi(x)=cosx,f2(x)=sinx,f3(x)=cosx,f4(x)=sinx,.fn(x)=fn+4(x),故f2012(x)=f0(x)=sinx,.2013(x)=f'2012(x)=COsx.答案C6 .已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=2xf'(1)+lnx,則f'(1)=()-A.eB.1C.1D.e1解析由f(x)=2xf(1)+lnx

4、,得f(x)=2f(1)+-，xf'(1)=2f'(1)+1,則f'(1)=1.答案B7 .等比數(shù)列an中，a=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(xa)(x-a2)(x-as)，則f'(0)=()-A.26B.29C.212D.215解析函數(shù)f(x)的展開式含x項(xiàng)的系數(shù)為a1a2a8=(a1as)4=84=212,而f'(0)=aaas=212,故選C.答案C二、填空題八一一，/九'rr(冗)8 .已知函數(shù)f(x)=f35所x+cosx,貝Uf'j=.lr一,一''九解析由已知：f(x)=f-cosx-sinx.則f-1=-

5、1,因此f(x)=sinx+cosx,f|=0.答案09 .函數(shù)f(x)=x3+ax(xwR)在x=1處有極值，則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程是_.解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+ax(xwR)在x=1處有極值，貝Uf'(1)=3+a=0,a=-3.所求切線白斜率為-3,所以切線方程為y=-3x.答案3x+y=010 .若過原點(diǎn)作曲線y=ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為,切線的斜率為解析y'=ex,設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,yo)則”=exo,即絲=ex0,.xo=1.因此切Xoxo點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,e),切線的斜率為e.答案(1,e)e11 .已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(

6、2x)x2+8x8,則曲線y=f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)=.解析.f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,.x=1時，f(1)=2f(1)1+88,.f(1)=1,即點(diǎn)(1,1),在曲線y=f(x)上.又.f'(x)=2f'(2-x)-2x+8,x=1時，f'(1)=2f'(1)-2+8,f'(1)=2.答案212,已知f(x)=sinx+cosx,記f2(x)=f/(x),f3(x)=f2'(x),，fn(x)，,一*-.丁九).九'!.九、=fn1(x)(nCN,n>2),則f1g|+f20I+-+f2012g

7、|=.解析：f2(x)=f/(x)=cosxsinx,f3(x)=(cosxsinx)'=sinxcosx,f4(x)=cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx,以此類推，可得出fn(x)=fn+4(x)又;f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,f1萬J+f2才廣+心12萬卜f1JJ+f23"f2,!+f2尸S答案：0三、解答題13.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x*12sin_ex+1x；片口;解析：(i)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.法一：y1ex+1ex1ex+1ex1ex-12e

8、xex1;ex1ex+1exx2.法二：y=.y'=r+/2收一12e1-f(x)+g(x)<n(x1)恒成立.綜上：m的取值范圍是4，0.b16.設(shè)函數(shù)f(x)=ax,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線萬程為7x-4yx12=0.求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.解析(1)方程7x4y12=0可化為y=7x3,1當(dāng)x=2時，y=2.又fcb12a一=一222,、b(x)=a+$，于是.xba+-=44'解得1b=3.故f(x)=x3.證明設(shè)P(xo,yo)為曲線上任一點(diǎn),

9、.3由f(x)=1+知，曲線在點(diǎn)P(x°,yo)處的切線萬程為yyo=x3,、1+鏟-xo),3,3.、即y-"xvx-xo)令x=o得，y=-,從而得切線與直線x=o交點(diǎn)坐標(biāo)為o,xok6xo.令'='得y=x=2xo,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2xo,2xo).所以點(diǎn)P(x0,yo)處的切線與直線x=o,y=x所圍成的三角形面積為6xo|2xo|=6.故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=。和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.ex-1ex-1+2/2ex-1=1+ex-1'x2eex12.14.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1

10、)y=(2x+1)n,(nCN*)；y=2xsin(2x+5).解析(1)y'=n(2x+1)n1(2x+1)'=2n(2x+1)n1(2)y'=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).15.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x23x+2,其中xCR,a、b為常數(shù),已知曲線y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線1.(1)求a、b的值，并寫出切線l的方程；(2)若方程f(x)+g(x)=mx有三個互不相同的實(shí)根0、Xi、x2,其中Xi<X2,且對任意的xCxi,X2,f(x)+g(x)<n(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范

11、圍.解析(1)f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x3,由于曲線y=f(x)與y=g(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線，故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1,由此解得a=-2,b=5;切線l的方程為：xy2=0.(2)由(1)得f(x)+g(x)=x33x2+2x,依題意得：方程x(x23x+2m=0有三個互不相等的根0,Xi,X2,故Xi,X2是方程x2-3x+2-m=0的兩個相異實(shí)根，1所以A=94(2m)>0?m>4;又對任意的xCXi,X2,f(x)+g(x)<m(x1)恒成立，特別地，取x=Xi時，f(Xi)+g(x。-mx<m成立，即0<m?n<0,由韋