2009年北京高級(jí)中學(xué)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題及答案

1、2009年北京高級(jí)中學(xué)中等學(xué)校招生考試學(xué)校姓名數(shù)學(xué)試卷準(zhǔn)考證號(hào)1 .本試卷共6頁(yè)，共五道大題，25道小題，滿分120分?？紅O寸間120分鐘。2 .在試著和答題卡上認(rèn)真填寫學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3 .試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。4 .在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。5 .考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。一、選擇題（本題共32分，每小題4分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的。1.7的相反數(shù)是A.-B.7C.-D.-7772 .改革開放以來，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值由1978年的3645億元增長(zhǎng)到2008年的3

2、00670億元。將300670用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為_6_5A.0.3006710B.3.006710_4一一4C.3.006710D.30.067103 .若右圖是某幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是A.圓柱B.正方體C.球D.圓錐主視圖左視圖俯視圖4 .若一個(gè)正多邊形白一個(gè)外角是40。，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是。A.10B.9C.8D.65 .某班共有41名同學(xué)，其中有2名同學(xué)習(xí)慣用左手寫字，其余同學(xué)都習(xí)慣用右手寫字，老師隨機(jī)請(qǐng)1名同學(xué)解答問題，習(xí)慣用左手寫字的同學(xué)被選中的概率是A.0B.C.D.141416 .某班派9名同學(xué)參加拔河比賽，他們的體重分別是（單位：千克）：67,59,61,59,6

3、3,57,70,59,65這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是A59,63B59,61C59,59D57,61322.一.一一.一一7 .把x2xy+xy分解因式，結(jié)果正確的是22_22A.xxyx-yB.xx-2xyyC.xxyD.xx-y8 .如圖，C為。直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交。于D、E兩點(diǎn)，餐.且/ACD=45°,DF±AB于點(diǎn)F,EG±AB于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AF=x,DE=y,下列中圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系式f的圖象大致是16分，每小題4分）CEA=28",貝叱ABD二°10.如圖，AB為。O的直徑，弦CDAB,E

4、為BC上一點(diǎn)，若/9.不等式3x+2之5的解集是二、填空題（本題共2211 .若把代數(shù)式x-2x-3化為（xm）+k的形式，其中m,k為常數(shù)，則m+k=12 .如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1,M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使A落在MN上，落點(diǎn)記為A',折痕交AD于點(diǎn)E,若M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，則A'N=;若M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點(diǎn)（n圭2,且n為整數(shù)），則A'N=（用含有n的式子表示）三、解答題（本題共30分，每小題5分）13.計(jì)隼/-20090-275-V2014 .解分式方程:15 .已知：如圖

5、，在4ABC中，/ACB=90'，CD_LAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上，CE=BC,過E點(diǎn)作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AB=FC2216 .已知x5x=14,求(x1)(2x1)(x*1)*1的值17 .如圖，A、B兩點(diǎn)在函數(shù)y=(xA0)的圖象上.(1)求m的值及直線AB的解析式；(2)如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)請(qǐng)直接寫出圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)。18 .列方程或方程組解應(yīng)用題：北京市實(shí)施交通管理新措施以來，全市公共交通客運(yùn)量顯著增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2008年10月11日到2009年2月28日期間，地面公交日均客運(yùn)量與軌道交通日均客運(yùn)量

6、總和為1696萬(wàn)人次，地面公交日均客運(yùn)量比軌道交通日均客運(yùn)量的4倍少69萬(wàn)人次.在此期間，地面公交和軌道交通日均客運(yùn)量各為多少萬(wàn)人次？四、解答題(本題共20分，第19題5分，第20題5分,第21題6分，第22題4分)19 .如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,/B=90,，/C=45'，AD=1,BC=4,E為AB中點(diǎn)，EF/DC交BC于點(diǎn)F,求EF的長(zhǎng).20 .已知：如圖，在ABC中，AB=AC,AE是角平分線，BM平分/ABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過B,M兩點(diǎn)的。交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,FB恰為。O的直徑.(1)求證：AE與。相切；(2)當(dāng)BC=4,cosC=-時(shí)，求。O的半徑.32

7、1 .在每年年初召開的市人代會(huì)上，北京市財(cái)政局都要報(bào)告上一年度市財(cái)政預(yù)算執(zhí)行情況和當(dāng)年預(yù)算情況。以下是根據(jù)2004-2008年度報(bào)告中的有關(guān)數(shù)據(jù)制作的市財(cái)政教育預(yù)算與實(shí)算北京市財(cái)政依印佛11與冥際投入對(duì)比魏計(jì)國(guó)際投入統(tǒng)計(jì)圖表的一部分.表120042008年北京市財(cái)政教育實(shí)際投入與預(yù)算的差值統(tǒng)計(jì)表(單位：億元)年份20042005200620072008教育實(shí)際投入與預(yù)算的差值一6.75.714.67.3請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題：(1)請(qǐng)?jiān)诒?的空格內(nèi)填入2004年市財(cái)政教育實(shí)際投入與預(yù)算的差值；(2)求20042008年北京市財(cái)政教育實(shí)際投入與預(yù)算差值的平均數(shù)；(3)已知2009年北京市財(cái)政

8、教育預(yù)算是141.7億元.在此基礎(chǔ)上，如果2009年北京市財(cái)政教育實(shí)際投入按照(2)中求出的平均數(shù)增長(zhǎng)，估計(jì)它的金額可能達(dá)到多少億元？22 .閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問題：5個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形他的做法是：按圖2所示的方法分割后，將三角形紙片繞AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至三角形紙片處，依此方法繼續(xù)操作，即可拼接成一個(gè)新的正方形DEFG.請(qǐng)你參考小明的做法解決下列問題：(1)現(xiàn)有5個(gè)形狀、大小相同的矩形紙片，排列形式如圖3所示請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)平行四邊形.要求：在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形(畫出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可)；(2)如圖4

9、,在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，分別連結(jié)AF、BG、CH、DE得到一個(gè)新的平行四邊形MNPQ請(qǐng)?jiān)趫D4中探究平行四邊形MNPQ面積的大小(畫圖并直接寫出結(jié)果)圖3圖”五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題8分，第25題7分)2。23.已知關(guān)于x的一兀二次方程2x2+4x+k1=0有實(shí)數(shù)根，k為正整Sr-數(shù).61(1)求k的值；4：(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)二_2-4-2Oy=2x+4x+kT的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分

10、沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線1y=gx+b(b<k)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值氾圍.24.在|_ABCD中，過點(diǎn)C作CECD交AD于點(diǎn)E,將線段EC繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段EF(如圖1)(1)在圖1中畫圖探究：當(dāng)P為射線CD上任意一點(diǎn)(R不與C重合)時(shí)，連結(jié)ER繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段ECi.判斷直線FCi與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當(dāng)P2為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.(2)若AD=

11、6,tanB=-,AE=1,在的條件下，設(shè)CP尸x,&pFC=y,求y與x之間的3函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC三個(gè)機(jī)戰(zhàn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(6,0),C(0,48),延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使CD=1AC,過點(diǎn)D作DE/AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點(diǎn)的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；(3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是

12、它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。(要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明)2009年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案、選擇題題號(hào)12345678答案DBABCBDA、填空題題號(hào)9101112答案x>128-3叵J2n.1一-"1(n>2,且n為整數(shù))n2三、解答題1n13 .解：-2009°|-2.5|-.206=6-12-55=5.14 .解：去分母,得x(x+2)+6(x2)=(x2)(x+2).解得x=1.經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是原方程的解.原方程的解是x=1.15 .證明：.FE，AC于點(diǎn)E

13、,/ACB=90°,/FEC=/ACB=90°.ZF+ZECF=90°.又;CD±AB于點(diǎn)D, .AECF=90°. 1-A/=/F.在AABC和AFCE中，1/A=/F,kACB=2FEC,_IBC=CE, AABC0AFCE.AB=FC.16.解：(x-1)(2x-1)-(x1)2122=2x-x-2x1-(x2x1)1-2x_x_2x1_x_2x_112=x5x+1.當(dāng)x25x=14時(shí),原式=(x2-5x)+1=14+1=15.17 .解：(1)由圖象可知，函數(shù)y=m(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,6),x可得m=6.AB16設(shè)直線A

14、B的解析式為y=kx+b.kb=6,6kb=1.工k=1,解得b=7.A(1,6),B(61)兩點(diǎn)在函數(shù)y=kx+b的圖象上,直線AB的解析式為y=x+7.(2)圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)是18 .解法一：設(shè)軌道交通日均客運(yùn)量為x萬(wàn)人次，則地面公交日均客運(yùn)量為(4x-69)萬(wàn)人次.依題意，得x+(4x69)=1696.解得x=353.4x-69=4353-69=1343.答：軌道交通日均客運(yùn)量為353萬(wàn)人次，地面公交日均客運(yùn)量為1343萬(wàn)人次.解法二：設(shè)軌道交通日均客運(yùn)量為x萬(wàn)人次，地面公交日均客運(yùn)量為y萬(wàn)人次.xy=1696,依題意，得yy=4x-69.x=353,解得y=13

15、43.答：軌道交通日均客運(yùn)量為353萬(wàn)人次，地面公交日均客運(yùn)量為1343萬(wàn)人次.四、解答題19 .解法一：如圖1,過點(diǎn)D作DG±BC于點(diǎn)G.AD/BC,NB=90°, /A=90°.可得四邊形ABGD為矩形.BG=AD=1,AB=DG.BC=4,GC=3.ZDGC=90°,/C=45°,.CDG=45°. DG=GC=3.AB=3.又E為AB中點(diǎn)， CL13 BE=AB=.2.EF/DC,/EFB=45在ABEF中，EFqsin45/B=90°.=372.2解法二：如圖2,延長(zhǎng)FE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.AD/BC,EF/DC

16、,，四邊形GFCD為平行四邊形，/G=/1.GD=FC.EA=EB,/2=/3, AGAEVAFBE. AG=BF.AD=1,BC=4,設(shè)AG=x，則BF=x,CF=4x,GD=x+1.x+1=4x.,一3解得x=一.2：NC=45,/1=45°.在ABEF中，BF一EF二cos45/B=90°,20. (1)證明：連結(jié)OM,則OM=OB.1 "2.BM平分/ABC./1=/3./2=/3.OM/BC./AMO=NAEB.在ABC中，AB=AC,AE是角平分線，AE±BC./AEB=90°./AMO=90°.OM±AE.AE

17、與。O相切.(2)解：在zXABC中，AB=AC,AE是角平分線,1BE=BC,/ABC=/C.21BC=4,cosC=,31BE=1,cos/ABC=.3在AABE中，/AEB=90°,.BE-AB=6cosZABC設(shè)。的半徑為r,則AO=6r.OM/BC,AAOMabe.OMAO=.BEAB,r6-r一一=26,一3解得r=3.23，OO的半徑為3.221.解:(1)表120042008年北京市財(cái)政教育實(shí)際投入與預(yù)算的差值統(tǒng)計(jì)表（單位：億元）年份20042005200620072008教育實(shí)際投入與預(yù)算的差值86.75.714.67.3(2)86.75.714.67.342.35

18、5=8.46(億元).所以2004-2008年市財(cái)政教育實(shí)際投入與預(yù)算差值的平均數(shù)是8.46億元.(3)141.7+8.46=150.16(億元).（2）正確畫出圖形（如圖4）一，一，一，2平行四邊形MNPQ的面積為2.5五、解答題：23.解：（1）由題意得，=16-8（k-1）0.k<3.k為正整數(shù),k=1,2,3.(2)當(dāng)k=1時(shí)，方程2x2+4x+k1=0有一個(gè)根為零;當(dāng)k=2時(shí)，方程2x2+4x+k-1=0無整數(shù)根;2.當(dāng)k=3時(shí)，萬(wàn)程2x+4x+k1=0有兩個(gè)非零的整數(shù)根.綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去;k=3符合題意.當(dāng)k=3時(shí)，二次函數(shù)為y=2x2+4x+2,把它的

19、圖象向下平移析式為y=2x2+4x-6.(3)設(shè)二次函數(shù)y=2x2+4x6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A(3,0),B(1,0).依題意翻折后的圖象如圖所示.1.當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得21_當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得2b=3；2b2，一13由圖象可知，符合題意的b(b<3)的取值范圍為'cbc3.24.解：(1)直線FG1與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.證明：如圖1,設(shè)直線FG1與直線CD的交點(diǎn)為H.;線段EC、ER分別繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。依次得到線段EF、EG1,/PEG1=/CEF=90°,EG1=EP1,EF=EC.G1EF=90°

20、/REF,2REC=90°/REF,G1EF=/pEC.AG1EF9APEC./GFE=/pCE.圖1.ECLCD,/PCE=90°,ZG1FE=90°.ZEFH=90°.ZFHC=90°.FG1±CD.按題目要求所畫圖形見圖1,直線G1G2與直線CD的位置關(guān)系為互相垂直.(2)四邊形ABCD是平行四邊形,/B=/ADC.4AD=6,AE=1,tanB=,-4DE=5,tanZEBC=tanB=-可得CE=4.由(1)CH可得四邊形EFCH為正方形.=CE=4.如圖2,當(dāng)Pi點(diǎn)在線段CH的延長(zhǎng)線上時(shí),FGi=CR=x,PH=x-4,c

21、1x(x-4)SaFPrG1=2MFG1父PH=212y=-x-2x(x>4).如圖3,當(dāng)P1點(diǎn)在線段CH上(不與FG1=CR=x,PH=x-4,c1x(4-x).SA=FGPH=-SAPFG12rPH212y=x+2x(0<x<4).當(dāng)Pi點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，即x=4時(shí)，PlFGi不存在.綜上所述，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍是12y=-x+2x(0<x<4).25.解：(1)A(-6,0),C(0,4石)，OA=6,OC=473.設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M.由DE/AB可得DMCs匕AOC.一1又CD=AC,2MDCMCD1=一OACOCA2'CM

22、=2#,MD=3.同理可得EM=3.OM=6©D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,673).（2）由（1）可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,6，3）.白CSM.由DE/AB,EM=MD,可得y軸所在直線是線段ED的垂直平分線.F在y軸上.M為其對(duì)稱中心.S、點(diǎn)T.可證FTM，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)ED與CF互相垂直平分.CD=DF=FE=EC.，四邊形CDFE為菱形，且點(diǎn)作直線BM.設(shè)BM與CD、EF分別交于點(diǎn)FT=CS.FE=CD,.TE=SD.EC=DF,.TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS.，直線BM將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形.由點(diǎn)B(6Q)，點(diǎn)M(0,6j3)在直線y=kx+b上，可得直線BM的解析式為y=-73x+673.（3）確定G點(diǎn)位置的方法：過A點(diǎn)作AH±BM于點(diǎn)H.則AH與y軸的交點(diǎn)為所求的G點(diǎn).由OB=6,OM=6技可得NOBM=60&